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婆什迦羅 湖南科學(xué)技術(shù)出版社 陳一心 婆什迦羅(Bh1skara) 1114年生于印度南部的比杜爾；約1185年卒于印度烏賈因．?dāng)?shù)學(xué)、天文學(xué)． 婆什迦羅的父親是正統(tǒng)的婆羅門教徒，曾寫過一本很流行的占星術(shù)著作．婆什迦羅長期在烏賈因(Ujjain)工作，是烏賈因天文臺的主持人． 從印度數(shù)學(xué)的發(fā)展來看，到12世紀已經(jīng)積累了相當(dāng)多的成果．婆什迦羅通過吸收和改進這些成果，并加以進一步研究，其成就又高出前人一籌．他在文學(xué)上的造詣也很深，其著作顯示出較高的詩作技巧． 婆什迄羅的著作至少有6種： (1)《麗羅娃提》(Līl1vatī)； (2)《算法本源》(Bīja1ganita)； (3)《天文系統(tǒng)極致》(Siddh1nta1iromani，寫于1150年)； (4)《關(guān)于天文系統(tǒng)極致的研究》(V1san1bh1sya on the Si-ddh1ntairomani)； (5)《探索珍奇》(Karanakut & ala，寫于1183年)； (6)《關(guān)于拉納的<錫亞赫迪達坦羅>的注釋》(Vivarana onthe 1isyadhivrddhidatantra of Lalla)． 有人認為《麗羅娃提》和《算法本源》是《天文系統(tǒng)極致》的兩個部分．還有一本叫《比卻帕納亞》(R9opanaya的譯音)的書，是否為婆什迦羅的著作，尚無定論． 《麗羅娃提》和《算法本源》是兩部重要的數(shù)學(xué)著作，代表著1000—1500年間印度數(shù)學(xué)的最高水平．婆什迦羅匯編了來自婆羅摩笈多(Brahmagupta)和施里德哈勒(Sridhara)等數(shù)學(xué)家的問題，并填補了他的前輩著作中的許多不足． 關(guān)于書名“麗羅娃提”，流行著一個故事：婆什迦羅的女兒名叫麗羅娃提，由占卜得知，她結(jié)婚后將有災(zāi)禍降臨．按照婆什迦羅的計算，如果婚禮在某一時辰舉行，災(zāi)禍便可以避免．到了那天，正當(dāng)新娘等待著“時刻杯”中的水平面下落時，一顆珍珠不知什么原因從她的頭飾上掉下來，堵在杯孔上，水不再流出了，從而無法測定出準確的時辰，婚禮沒能如期舉行．婚后不久，麗羅娃提便失去了丈夫．為了安慰她，婆什迦羅教她算術(shù)，并以她的名字命名自己的著作． 《麗羅娃提》分為13章，從一個信徒向神祈禱開始展開全書．第1章給出了幾個計算表；第2章講述整數(shù)和分數(shù)運算，包括計算平方根和立方根，使用了10進制記數(shù)法；第3章介紹算術(shù)中的反演法、試位法等技巧；第4章講解來自希臘和中國的應(yīng)用問題；第5章給出某些算術(shù)級數(shù)的求和法；第6—11章是幾何學(xué)，主要講面積和體積的計算和可以化為一次方程的實際問題；第12章講述不定方程；第13章涉及組合學(xué)的內(nèi)容．《算法本源》主要是關(guān)于代數(shù)的，由8章組成．第1章講述正負數(shù)法則；第2—3章講整系數(shù)一次和二次不定方程的解法；第4章講線性方程組；第5章研究二次方程，并給出勾股定理的兩個證明；第6章包含一些線性不定方程組的實例；第7—8章補充了二次不定方程的內(nèi)容． 印度人對代數(shù)學(xué)的一大貢獻是采用縮寫文字和符號來表示未知數(shù)和運算，婆什迦羅上述兩本書就是這方面的代表作．書中給出了零的運算 ×0=a是錯誤的．值得注意的是，在《算法本源》中，婆什迦羅引入了一個樸素粗糙的無窮大概念．他寫道：“一個數(shù)除以零便成為一個分母是符號0的分數(shù)．例如3除以0得3/0．這個分母是符號0的分數(shù)，稱為無窮大量．在這個以符號0作為分母的量中，可以加入或取出任何量而無任何變化發(fā)生，就像在世界毀滅或創(chuàng)造世界的時候，那個無窮的、永恒的上帝沒有發(fā)生任何變化一樣，雖然有大量的各 這已經(jīng)進入無窮小運算的領(lǐng)域了．婆什迦羅的幾何工作主要以婆羅摩笈多的工作為基礎(chǔ)．例如 球的表面積＝4×圓面積， 等等．在《麗羅娃提》中還有許多直角三角形和相似三角形問題，例如： (1)直立在地面上的一支長32腕尺(腕尺為印度古代一種量度單位，即從肘至中指端之長，約18—22英寸)的竹子被風(fēng)吹折，其末端在距根部16腕尺處觸地，問折斷后的竹高為多少？ 解：如圖1，竹高=AB=32，AD=16，C為竹折斷之點．若AC=x，則BC=CD=32-x．故x2+162=(32-x)2，x=12． 露出點2腕尺遠處沒于水中．問池中水深多少？ 類似的題目曾出現(xiàn)在婆羅摩笈多的《不定方程講義》中，可見婆什迦羅受到婆羅摩笈多的影響．值得注意的是，上述兩個問題與中國1世紀時的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》“勾股卷”中的“葭生池中央”、“折竹”等問題只是數(shù)據(jù)不同，似乎同出一源． 《麗羅娃提》給出了平截頭臺的體積公式．若上、下底面為長方形、 +(a+a′)(b＋b′)]．它在公元前1800年左右便載入古埃及數(shù)學(xué)著作“莫斯科紙草書”中，中國的《九章算術(shù)》和婆羅摩笈多的著作也給出了這一公式． 婆什迦羅對排列問題進行了深入的研究，提出定理：r個元素中， 希臘人最早發(fā)現(xiàn)了不可通約量，但是長期不承認無理數(shù)是數(shù)．婆什迦羅和其他一些印度數(shù)學(xué)家打破了無理數(shù)與有理數(shù)之間的森嚴界限．他們廣泛地使用無理數(shù)，在運算中和有理數(shù)作同一處理，而兩者之間的鴻溝，似乎置若罔聞． 在《算法本源》中，婆什迦羅比較全面地討論了負數(shù)，把負數(shù)叫做 地敘述了負數(shù)的運算法則：“正數(shù)、負數(shù)的平方，常為正數(shù)；正數(shù)的平方根有兩個，一正一負；負數(shù)無平方根，因為它不是一個平方數(shù)．” 婆什迦羅對一次和二次方程的討論比其他印度數(shù)學(xué)家詳盡，同時也大大超過了希臘的丟番圖(Diophantus)．《算法本源》中還有一個三次方程和一個雙二次方程的例子．婆什迦羅承認二次方程有兩個根，但將負根棄去不?。┤缰赋鰔=50和x=-5都是x2-45x=250的根，但接著說：“本例的第二值不適宜，故棄去，因為人們不贊成負根．” 印度傳統(tǒng)的解不定方程的法則——庫塔卡法則經(jīng)婆什迦羅之手也得到改進和推廣．他指出，若x=α，y=β是不定方程ax＋c=by的解，則(α′，β′)也是該方程的解，這里α′≡α(modb)，β′≡β(mod a)；若x=α，y=β為ax+c=by的一組解，則x=a-b， y=α-β是方程ax＋by＋c=0的解． 婆什迦羅最有獨創(chuàng)性的工作是他對婆羅摩笈多關(guān)于不定方程Nx2＋1=y2解法的改進．改進后的方法稱為圓過程(cyclicprocess)，其內(nèi)容為：對任意適合的K，取a，b，使得Na2+K=b2，另外，N·12＋(m2-N)=m2，在(a，b，K)和(1，m，m2=N)間應(yīng)用婆羅摩篷多引理，可得 利用庫塔卡法，選定m使am＋b可被K整除，且使m2-N在數(shù)值上是較小的．作 婆什迦羅指出：若a1為一整好，b1和K1也是整數(shù)(婆什迦羅定理 出：重復(fù)上述過程有限次后，可得Naα2＋l=β2，其中l(wèi)=±1，±2或±4(婆什迦羅定理2)．再按照婆羅摩笈多的解法，可得出原方程Nx2+1=y2的整數(shù)解．對于上述的兩個定理，婆什迦羅沒有給出證明．他比較注重Nx2＋1=y2型方程的應(yīng)用，用其解更一般的二次方程． 方程Nx2+1=y2的解法稱為婆羅摩笈多-婆什迦羅法則，它得到許多數(shù)學(xué)史家的高度評價． 婆什迦羅在天文學(xué)研究中，也對三角學(xué)的發(fā)展作出了貢獻．在《天文系統(tǒng)極致》第三部分里，他給出了下面一些三角學(xué)公式： sin(A±B)= sinAcosB±cos AsinB； 其中R為圓半徑． 在世界數(shù)學(xué)史上，微積分學(xué)經(jīng)過了漫長而曲折的發(fā)展歷程．在微積分學(xué)創(chuàng)始人I．牛頓(Newton)和G．W．萊布尼茨(Leibniz)以前，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德(Archimedes)和中國古代數(shù)學(xué)家劉徽就在計算面積和體積的法則中，表現(xiàn)出樸素的積分學(xué)思想．婆什迦羅也運用類似的法則求球體的表面積和體積．為了計算球體的表面積，婆什迦羅采用兩種方法．第一種方法是用一系列平行圓把表面積分劃成許多基本的圓環(huán)，這一系列半徑不同的平行圓是取表面上的任意點作圓心的，平行圓的數(shù)目可以任意多．但為了易于計算，應(yīng)該有已知的正弦數(shù)目那么多，基本圓環(huán)的面積的和便給出球體的表面積．第二種方法是用過球極點的子午圈把球表面分劃成許多基本的弓形，每一個弓形再被平行于赤道圓的圓圈分劃成許多基本的四邊形．這些四邊形面積的和給出弓形的面積，所有這些弓形面積的和給出球體的表面積．為了求得球體積，婆什迦羅利用一系列頂點在球心底面在球表面上且其面積為單位面積的小棱錐，這些梭錐體積的和便給出球的體積． 婆什迦羅在天文學(xué)研究中表現(xiàn)出豐富的微分學(xué)思想．他為了準確地掌握行星的運動規(guī)律，引入了“瞬時法則”，即把一天分為許多小的時間間隔，比較行星在相繼時間間隔末的運動位置．若y和y′是行星在相繼時間間隔末的平均近點距離，婆什迦羅給出 siny′－siny＝(y′－y)cosy． 但這一成果在印度可能還不算最早的．按照B．B．達塔(Datta)的說法，印度的門雅那(Munjala，公元932年)及其著作的評注者卜拉沙斯底達拉(Prashastidhara，公元958年)就已悟出了這一結(jié)論． 婆什迦羅還得出結(jié)論：“行星的運動在哪里是個極值，在哪里的運動就將是平穩(wěn)的．”“在逆行的起始和結(jié)尾，行星的明顯運動消失了．”這里包含了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的極值處等于零以及羅爾(Rolle)定理的概念． 婆什迦羅的其他幾本著作是關(guān)于天文學(xué)研究的．《天文系統(tǒng)極致》含數(shù)理天文學(xué)與天體理論兩部分，包括行星的平黃經(jīng)及真黃經(jīng)、與周日運動有關(guān)的三問題、朔望、月食、日食、行星的偕日升落、宇宙結(jié)構(gòu)、行星平均運動原理、行星的離心－周轉(zhuǎn)圓模型、球面三角學(xué)原理、天文儀器等專章．這本著作對印度天文學(xué)的發(fā)展影響很深．婆什迦羅提出了自己的宇宙理論，認為地球居于宇宙之中，靠自己的力量固定于空中；他認為地球上有七重氣，分別推動月亮、太陽和行星運動；并認為天體視直徑大小的變化是由于它們離開地球遠近不同；他甚至還認識到地球具有引力．《關(guān)于天文系統(tǒng)極致的研究》是婆什迦羅自己對《天文系統(tǒng)極致》的注解．《探索珍奇》給出了解天文問題的法則，它們比《天文系統(tǒng)極致》給出的法則更為簡單．《關(guān)于拉納的<錫亞赫迪達坦羅>的注釋》有三本手稿，分別存于貝拿勒斯、比卡內(nèi)爾和烏賈因，尚未出版． 婆什迦羅的著作在印度有很高的地位．在馬哈拉施特拉邦的巴特那，發(fā)現(xiàn)有關(guān)于婆什迦羅的一塊重要碑刻．碑文上記載著1207年8月9日當(dāng)?shù)貦?quán)貴提供給一個教育機構(gòu)一筆捐款，這筆捐款是資助學(xué)者們研究婆什迦羅著作的(從研究《天文系統(tǒng)極致》開始)．按照莫臥兒帝國皇帝阿克拔(Akbar)的旨意，《麗羅娃提》、《算法本源》等都被譯為波斯文，這些譯本分別于1587年和1634年出版．婆什迦羅的嫡孫曾創(chuàng)立了一個專門研究《天文系統(tǒng)極致》的學(xué)派，以后的400多年間，有許多學(xué)者對此書進行了注釋． |
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