|
馬哈維拉 湖南科學(xué)技術(shù)出版社 陳一心 馬哈維拉(Mahāvīra) 9世紀(jì)活躍于印度邁索爾．?dāng)?shù)學(xué)． 馬哈維拉是印度南部邁索爾人，耆那教教徒，曾在拉喜特拉庫塔王朝(R11strak&ta)的宮廷里生活過很長(zhǎng)一段時(shí)間．約公元850年，他撰寫了《計(jì)算精華》(Ganitas1rasagraha)一書．該書在印度南部曾被廣泛使用， 11世紀(jì)被譯成泰盧固語．20世紀(jì)初，它被重新發(fā)現(xiàn)．1912年，在馬德拉斯譯為英文出版．《計(jì)算精華》是印度第一本初具現(xiàn)代形式的數(shù)學(xué)教科書，現(xiàn)今數(shù)學(xué)教材中的一些論題和結(jié)構(gòu)在其中已可見到． 馬哈維拉的工作屬于純數(shù)學(xué)領(lǐng)域，對(duì)天文學(xué)問題幾乎沒有涉獵．這與他的前輩們是頗為不同的．在古代印度，數(shù)學(xué)家一般也是天文學(xué)家． 馬哈維拉的《計(jì)算精華》共含9章：(1)術(shù)語；(2)算術(shù)運(yùn)算；(3)與分?jǐn)?shù)有關(guān)的運(yùn)算；(4)有各種特點(diǎn)的運(yùn)算；(5)與三分律(比例律)有關(guān)的運(yùn)算；(6)混合運(yùn)算；(7)面積計(jì)算；(8)與挖掘有關(guān)的計(jì)算；(9)與影子有關(guān)的計(jì)算． 馬哈維拉改進(jìn)和推廣了他的前輩們的許多結(jié)果，其中最有特色的研究包括：零的運(yùn)算、二次方程、利率計(jì)算、整數(shù)性質(zhì)、排列組合、單分?jǐn)?shù)法則，等等． 1．零的算法 《計(jì)算精華》中敘述了零的算法：“一個(gè)數(shù)乘零得零，一個(gè)數(shù)加零、減零或除以零，這數(shù)都不變”．這表明，當(dāng)時(shí)尚未認(rèn)識(shí)到零不能作除數(shù)． 2．一元二次方程和不定方程 在這方面，成書于約公元1世紀(jì)時(shí)的中國(guó)《九章算術(shù)》已有較多的成果．公元3世紀(jì)時(shí)，希臘數(shù)學(xué)家丟番圖(Diophantus)著《算術(shù)》一書，也解決了不少二次方程、不定方程問題，但他不承認(rèn)負(fù)數(shù)的合理性．馬哈維拉以前的印度數(shù)學(xué)家不斷地研究了這些方程的解法，阿耶波多(Aryabhata I)建立了求一次線性不定方程正整數(shù)通解的法則，即庫塔卡(Kuttaka)．婆羅摩笈多(Brahmagupta)給出了一元二次方程的一個(gè)求根公式．馬哈維拉也討論了很多這方面的問題．例如： 還有20腕尺露出在水面上，親愛的朋友，請(qǐng)問這柱子有多高？” 馬哈維拉給出方程 并求出了它的有理解． 在另一些問題中，他還給出了形如 的方程的解． 馬哈維拉對(duì)庫塔卡也作了一些改進(jìn)．他在倒回去求方程的解時(shí)省略了用第一個(gè)商數(shù)參與運(yùn)算的一步，一個(gè)未知數(shù)是用代入方程法求得的．但他總是躲閃著不讓輾轉(zhuǎn)除法的余數(shù)為0，這其實(shí)是不必要的． 3．“花環(huán)數(shù)” 兩整數(shù)相乘，若其乘積的數(shù)字呈中心對(duì)稱，馬哈維拉便稱之為“花環(huán)數(shù)”，例如： 14287143×7=100010001； 142857143×7=1000000001； 12345679×9=111111111； 333333666667×33=11000011000011； 11011011×91=1002002001； 27994681×441=12345654321． 他對(duì)這種狀似花環(huán)的特殊整數(shù)的構(gòu)成規(guī)律進(jìn)行了研究． 4．排列組合 古代耆那教典籍中含有一些簡(jiǎn)單的排列組合問題，馬哈維拉給出公式 5．單分?jǐn)?shù)法則 單分?jǐn)?shù)是分子為1的分?jǐn)?shù)．古埃及數(shù)學(xué)家阿梅斯(Ahmes)曾造出 馬哈維拉研究出一套比較完整的單分?jǐn)?shù)表示法： (1)把1表示成n個(gè)單分?jǐn)?shù)的和 (2)把1表示成2n-1個(gè)單分?jǐn)?shù)的和 (3)把給定的單分?jǐn)?shù)表示成r個(gè)分子分別為a1，a2，…，ar的分?jǐn)?shù)之和 (4)把任何分?jǐn)?shù)表示為單分?jǐn)?shù)的和 步便停止了． (5)把一個(gè)單分?jǐn)?shù)表示為兩個(gè)單分?jǐn)?shù)的和 (6)把任何分?jǐn)?shù)表示成有給定分子的兩分?jǐn)?shù)之和 其中p可整除n，m可整除ap＋b． 結(jié)合(1)和(6)，任何分?jǐn)?shù)都可表示為2n個(gè)帶給定分子的分?jǐn)?shù)之和． 在幾何學(xué)方面，馬哈維拉重新研究了婆羅摩笈多關(guān)于邊為有理數(shù)的圓內(nèi)接四邊形的作圖．像婆羅摩笈多一樣，馬哈維拉也沒有覺察到這類四邊形必須是內(nèi)接于圓的． 馬哈維拉所討論過的幾何作圖問題很多，例如：(1)給定一條邊，作一個(gè)其他兩邊均為有理數(shù)的直角三角形；(2)給定一斜邊c求作一直角三角形，使二直角邊均為有理數(shù)；(3)求作一個(gè)三邊相等的梯形；(4)求作一有給定面積的圓內(nèi)接四邊形；(5)作一有給定周長(zhǎng)的圓內(nèi)接四邊形；(6)求作一長(zhǎng)方形，使其面積在數(shù)量上是其周長(zhǎng)或?qū)蔷€長(zhǎng)的倍數(shù)，或者一般地，是其邊長(zhǎng)與對(duì)角線長(zhǎng)的線性組合；(7)作兩個(gè)長(zhǎng)方形：①其周長(zhǎng)相等，但其中一個(gè)的面積是另一個(gè)的2倍；②其面積相等，但其中一個(gè)的周長(zhǎng)是另一個(gè)的2 后這個(gè)作圖問題，一般地對(duì)應(yīng)著方程 m(x+y)=n(u+v)， pxy=quv， 其中(x，y)，(u，v)分別為兩個(gè)長(zhǎng)方形的邊，m，n，p，q是給定的數(shù)．馬哈維拉得到了兩個(gè)解． 馬哈維拉還研究過橢圓和其他幾何圖形．他給出橢圓的面積為周長(zhǎng) (其中b為弓形的弦長(zhǎng)，h為弓形的高)，這一公式最早出現(xiàn)在中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中． |
|
|
