|
羅巴切夫斯基 大連理工大學 杜瑞芝 羅巴切夫斯基，Н．И．(Лобачевский，НиколайИванович)1792年12月1日(俄歷11月20日)生于俄國下諾夫哥羅德(今高爾基城)；1856年2月14日卒于俄國喀山．數(shù)學． 尼古拉·伊萬諾維奇·羅巴切夫斯基出生在一個土地測量員的家庭，他是伊萬·馬克西莫維奇·羅巴切夫斯基(Лобачевский，Иван Максимович)和普拉斯科維亞·亞歷山德羅娃·羅巴切夫斯卡姆(Лоσачевская，Прасковья Александрова)的次子．伊萬·馬克西莫維奇是一個天主教徒，從外埠移居到下諾夫哥羅德，在當?shù)氐姆瞰I節(jié)教堂供職．他體弱多病，早年去世．普拉斯科維亞·亞歷山德羅娃是一位頑強而開明的婦女，她竭盡全力維持家計，并送三個兒子(亞歷山大(Александр)、尼古拉和阿列克謝(Але－ксей))到喀山中學寄讀．從此以后，羅巴切夫斯基一直在喀山學習和工作． 羅巴切夫斯基用4年時間讀完了中學課程．在此期間，他得到數(shù)學教師Г．И．卡爾塔舍夫斯基(Карташевский)的特別指導，激發(fā)了他對數(shù)學的興趣．1807年春進入喀山大學．在這里他聽過許多著名教授的課，特別是C．F．高斯(Gauss)的朋友、數(shù)學教授J．M．Ch．巴特爾斯(Bartels)和天文學教授 И．?。亓_夫(Литтров)對羅巴切夫斯基有很大影響．在大學期間， 他掌握了多種外語，并系統(tǒng)地研讀了一等數(shù)學家的原著，在數(shù)學方面表現(xiàn)出特殊的才能．年輕的羅巴切夫斯基富于幻想、倔強并有些自命不凡．這種性格使他經(jīng)常違反學校紀律．學校的行政領導曾指責他的行為具有“無神論的特征”，是“令人憤怒的”．但他的特殊才能和優(yōu)異的學習成績一向為教授們所欣賞，在他們的庇護下，羅巴切夫斯基順利地結束了學業(yè)，于1811年獲得物理數(shù)學碩士學位，并留校工作．1814年任教授助理，1816年升為額外教授，1822年成為常任教授．從1818年起，羅巴切夫斯基開始擔任行政職務，最先被選進喀山大學校委會，他很快成為最積極工作的委員．1822年擔任新校舍工程委員會委員，1825年被推選為該委員會的主席．在這期間，還曾兩度擔任物理數(shù)學系主任(1820—1821，1823—1825)．由于羅巴切夫斯基的工作成績卓著，在1827年，大學校委會決定選舉他擔任喀山大學校長．當時正是俄國反動勢力和宗教統(tǒng)治的囂張時期之后，由于他的出色工作，數(shù)年之后喀山大學成為俄國的第一流學府． 羅巴切夫斯基擔任大學校長期間(1827—1846)，不僅顯示出他卓越的行政管理才能，而且表現(xiàn)了他所獨具的教育家的天才．他曾把喀山大學從火災和傳染病流行等混亂不堪的狀態(tài)中挽救出來．在他的領導下，建造了許多校舍(教學樓、圖書館、天文臺等)，充實了圖書館的藏書，他還親自擔任過圖書館館長(1825—1835)．作為一位杰出的教育家，羅巴切夫斯基認真研究并寫出了許多有關教學法的著作．他還對幾乎所有系的教學工作給予了極大的支持和影響．所有這些，使羅巴切夫斯基成為喀山大學全體師生思想上的鼓舞者，他的工作奠定了喀山大學興盛和發(fā)達的基礎． 在辭去大學校長的職務之后，羅巴切夫斯基被任命為喀山學區(qū)的督學助理．在他的晚年，由于眼睛鞏膜病變，導致雙目失明． 羅巴切夫斯基在1832年與貴族小姐瓦爾瓦拉·阿列克謝耶夫娜·莫伊謝耶娃(Варвара Алексеевна Моисеева)結婚，他們共有7個子女．當羅巴切夫斯基的工作得到公認后，他被封為世襲貴族，他為自己的家族設計了族徽，其圖案象征著智慧、勤勞、輕捷和歡樂． 羅巴切夫斯基的科學活動和創(chuàng)造與他的唯物主義的認識論有密切聯(lián)系．他的青少年時代正是法國唯物主義哲學傳入俄國的時期，他的世界觀在西方進步哲學的影響下形成和發(fā)展．他堅定地相信“真理來源于客觀實踐而不是主觀認識，…一切生活現(xiàn)象首先通過感覺被我們接受，而由感覺所得到的知識(感性認識)必須經(jīng)過理性的抽象整理”．他正確地提出了數(shù)學與現(xiàn)實的關系問題，駁斥了康德的先驗論的唯心主義見解．羅巴切夫斯基認為，最初的數(shù)學抽象，包括幾何學的基礎概念在內，反映了最普遍和最簡單的現(xiàn)實關系及物質世界的特征．想把數(shù)學從單純理智的體系中推導出來是全然無效的．他在自己的科學活動中始終如一地貫徹這種思想． 羅巴切夫斯基最重要的數(shù)學貢獻是創(chuàng)立了一種新的幾何體系，這是第一種非歐幾何學，現(xiàn)在通稱為羅巴切夫斯基幾何學．自從歐幾里得《幾何原本》問世以來，歷代數(shù)學家都為其中的平行公設所困惑，許多學者都嘗試用歐幾里得其他公設來證明平行公設，結果都歸失?。_巴切夫斯基從1816年開始試作平行公設的證明，后來發(fā)現(xiàn)了其中的錯誤．1823年他完成了自己第一部有關著作《幾何學》(Геомерии)．這是一本獨出心裁的教科書、反映了羅巴切夫斯基關于幾何學基礎的深刻思想．在這本書中，他把全部幾何命題按是否依賴于平行公設分為兩部分．不靠平行公設得到證明的命題的總體，現(xiàn)在通常稱為“絕對幾何學”．在《幾何學》的前5章里，羅巴切夫斯基闡述了絕對幾何學的命題，然后轉向不用平行公設無法證明的定理．這種原則上的劃分正是羅巴切夫斯基進一步研究的基礎．但是，當《幾何學》送交科學院院士Н．И．富斯(Фусс)審定時，卻遭到了尖銳的批評，因而未能及時付?。? 在證明平行公設的嘗試屢遭失敗后，羅巴切夫斯基確立了平行公設不依賴于歐幾里得其他公設的信念．他提出了與歐幾里得平行公設對立的平行公設，并由此經(jīng)過嚴密的推導得到一系列命題，構成了邏輯上無矛盾且與絕對幾何學不相沖突，但又和歐幾里得幾何不同的新幾何體系．他稱這種新的體系為“虛幾何學”(воображаемаЯ ГеОметрия)． 在1826年 2月11日(新歷 23日)物理數(shù)學系的學術會議上，羅巴切夫斯基做了題為“附有平行線定理的一個嚴格證明的幾何學原理簡述”(Cжатое иэложениеначал геометрии со строгим цокаэателы о парчалльных)的報告，闡明了他所發(fā)明的“虛幾何學”原理．這一天被后人公認為非歐幾何學誕生的日子．由于羅巴切夫斯基所提出的公設與通常的直覺不一致，他所建立的命題初看起來又近乎荒誕，因此他的報告沒有引起任何人的興趣，甚至連原稿也被遺失了． 1829—1830年羅巴切夫斯基在喀山大學《喀山通訊》(ка-энский вестник)上發(fā)表了研究論文“論幾何學原理”(о-нача-лах геометрии)，其中前三分之一的內容是屬于 1826年的論文的． 這是最早的非歐幾何文獻．《喀山通訊》只是一種地區(qū)性的刊物，所以這篇論文仍未得到廣泛的注意． 但是羅巴切夫斯基沒有灰心，他不屈不撓地繼續(xù)進行研究．幾年之后，他在《喀山大學學報》(ученые записки казанского университета)上發(fā)表數(shù)篇文章，系統(tǒng)論述非歐幾何學的原理及應用：“虛幾何學”(1835)、“虛幾何學在某些積分中的應用”(при-менение воображаемойгеометрии1836)、“具有完善的平行線理論的新幾何學原理”(1835—1838)等．1837年， 他把修改后的“虛幾何學”譯成法文“Géométrie imaginaire”發(fā)表在《純粹與應用數(shù)學雜志》(Journal für die reine und angewan-dte Mathematik， 17(1837)，pp．295—320)上． 1840年，他用德文出版了另一本書《平行線理論的幾何研究》(Geometrische Untersu－chungen zur Theorie der Parallellinien)，向國外介紹自己的學說．高斯對這本書十分欣賞，并在1842年推薦羅巴切夫斯基成為格丁根科學協(xié)會成員．1855年，羅巴切夫斯基已雙目失明，但他仍不放棄發(fā)表自己的見解，口授完成了《泛幾何學》一書，分別用俄文(Пангеометрия，1855)和法文(Pangéométrie，1856)發(fā)表． 羅巴切夫斯基在其他數(shù)學領域也做出了許多貢獻．在分析領域中，他最先確立了函數(shù)的連續(xù)性和可微性的區(qū)別，在三角級數(shù)論和Г-函數(shù)論中也得到一些重要結果；在代數(shù)學方面，他建立了高次代數(shù)方程的一種 在兩方面的主要論著有《代數(shù)學或有限運算》(Алгбра или и，слеские конечных數(shù)的消失》(об исчезноении，триескихстрок1834)、《無窮級數(shù)的收斂性》(О схоцимост Бесконечыхряцв，1841)和《某些定積分的值》(означен некотрых опрецеленных интегралов1852)等 羅巴切夫斯基幾何學 羅巴切夫斯基發(fā)表的幾種非歐幾何的論著內容大體相似，只在某些細節(jié)上有所不同，我們將把它們綜合起來說明羅氏幾何(即羅巴切夫斯基幾何，以下同)的基本內容． 羅氏幾何與歐氏幾何(即歐幾里得幾何，以下同)的基本差異是關于平行線的公設(簡稱平行公設或平行公理)．歐幾里得的平行公設是：如果一條直線與另外兩條直線相交，在前者同側的兩個內角之和小于兩直角，則后二者必在內角之和小于兩直角的一側相交．從這個公設容易得到與它等價的下列定理：“通過直線 AB外一點 C在平面ABC上可作且僅可作一條直線與AB不相交”．羅巴切夫斯基采用了與這個定理相反的假設作為新幾何學的基礎：“通過直線AB外一點C在平面ABC上至少可以作兩條直線與AB不相交．”這個假設叫作羅氏公設，實施羅氏公設的平面叫羅氏平面．由羅氏公設出發(fā)可以直接得到下列結果：通過點C在平面ABC內可以作無窮多條直線與AB不相交．事實上，過點C的所有直線關于AB而言可分為兩類：一類與AB相交，另一類不相交．羅巴切夫斯基斷言：存在兩條邊界直線，它們把過C的兩類直線分開，并且屬于與AB不相交的直線類(圖1)．羅巴切夫斯基稱這兩條邊界直線為已知直線AB的平行線．這個定義是在他的《平行線理論的幾何研究》中給出的． 事實上，如果從點C作直線AB的垂線CD，設CD長為δ，那么存在一個與δ有關的角π(δ)，使得所有過C點的直線，當它與CD所成的角小于π(δ)時將與AB相交，否則不與AB相交．與CD成角π(δ)的兩條直線是AB的平行線，除此而外、過C而不與AB相交的直線稱為AB的不相交直線(也稱為發(fā)散線或超平行線)．按歐氏幾何的涵義，不相交即平行，所以在這個意義上講，在羅氏平面中，過直線AB外一點可以有無窮多條直線與AB平行．角π(δ)稱為線段CD 明，平行角α=π(δ)與平行距離δ之間的函數(shù)關系是 這里k是依賴于單位長度的常數(shù)，α=π(δ)稱為羅巴切夫斯基函數(shù)．由關系式(1)可以立即看出：當δ=0時 在歐氏幾何中，平行線間的距離是個常數(shù)，但在羅氏幾何中情形卻大不相同．設EF是過直線AB外一點C與AB平行的直線，考察直線EF上一點X到直線AB的距離(圖2)，可以證明，當X沿CE方向(∠DCE為平行角)向右移動時，它到AB的距離(即垂線段的長度)不僅逐漸變小，而且當X趨向無限遠處時，還要趨向于零！這就是說，平行直線EF與AB在CF方向逐漸地逼近．同樣可以證明，當X向相反方向移動時，X與AB的距離不僅增大，而且趨向無窮． 因此，在歐氏平面上描繪羅氏平行線時，通常把它們畫成漸近線．還應該指出，因為過直線外一點可以作兩條直線與已知直線平行，所以應該區(qū)別平行線的方向，使兩條平行線逐漸接近的方向規(guī)定為平行線的方向． 在羅氏幾何中，還有許多不同于歐氏幾何的定理、列舉幾個如下： 1．如果兩條直線與第三條直線相交，內錯角相等，那么這兩條直線是發(fā)散的． 2．兩條平行線與第三條直線相交，在平行方向上的同旁內角之和小于兩直角． 3．三角形內角之和小于π，并且當三角形面積無限增大時，其內角 數(shù)，以下同)，α，β，γ為三角形的三個角，則有 α+β+γ=π+ KS，(2) 由此可見，三角形面積越小，其內角和越接近于π也就是說，在極小的三角形里，羅氏幾何與歐氏幾何很相似．如果用△表示三角形的角欠——π與三角形各角和之差，那么由(2)式可得 S=k2·△． 4．在羅氏幾何中，不存在不相等的相似三角形，即如果兩個三角形的三個角對應相等，那么它們就全等． 5．如果兩條直線a，b具有公垂線d，那么它們將在公垂線的兩側無限遠離；并且在其中任一條直線，例如b上，可以作兩條垂線c，c′，使它們平行于直線a(圖3)． 6．半徑無限增大的圓周的極限不是直線，而是一種特殊曲線，叫作極限圓． 7．到一條直線等距離的點的軌跡不是直線，而是一條特殊曲線，叫作等距線． 8．通過三點并不總能作一個圓，而能夠作的或者是一個圓，或者是一個極限圓，或者是一條等距線． 9．半徑無限增大的球面不是平面而是一種特殊曲面，叫作極限球面．在極限球面上的幾何恰好就是歐氏平面幾何，這也是羅巴切夫斯基推導三角公式的基礎． 10．圓周長l與半徑r不成正比，而是更迅速地增長，它們之間的關系是 l=πk(er/k-e-r/k)， (3) 利用er/k和e-r/k的泰勒展開式，由(3)式可得 (4)式表明，當半徑r很小或常數(shù)k足夠大時，圓的周長就很接近2πr． 羅氏幾何的一個重要性質在于：在充分小的區(qū)域內，它與歐氏幾何差異很小，這是因為，區(qū)域的縮小形式上等價于單位長度的增大，這也相當于常數(shù)k變大．那么在極限情形，當k→∞時，由(1)式可知對 ；由(2)式可知 α＋β＋γ→π，即三角形內角之和的極限是π；由(4)式可知 l→ 2πr，即圓周長與直徑之比的極限為π．這就是說，當k無限變大時，羅氏幾何就變成了歐氏幾何，或者說歐氏幾何正好是羅氏幾何的極限情形．因而，如果在羅氏幾何中添加上這個極限情形，則它也就包括了歐氏幾何．在這個意義下，羅氏幾何就顯得是更普遍的幾何學．正因為這個緣故，羅巴切夫斯基把自己的幾何體系命名為“泛幾何學”，即普遍的幾何學． 在羅氏幾何中還有與歐氏幾何完全不同的刻劃三角形邊角關系的正弦定理和余弦定理．這些公式羅巴切夫斯基是在《論幾何學基礎》中給出的．他在這篇文章中指出：“這些等式可以從球面三角學中的等式轉 而在通常的幾何學和球面三角學中到處都有相同的線段比，因此，通常的幾何學、三角學和新幾何學將永遠是彼此一致的．” 這就是說，如果我們對半徑是r的球寫出正弦定理、余弦定理和余弦對偶定理如下： 那么羅氏平面中的三角公式可以如此得到：把三角形的三邊a，b，c分別換成乘積ai，bi，ci，因為邊長a，b，c乘以i相當于球的半徑乘以i，所以若設r=ki，并利用關系式 cos(ix)=chx， sin(ix)＝ ishx， 那么，羅氏平面中的相應公式可寫為： 羅巴切夫斯基在他的文章中并沒有使用雙曲函數(shù)chx和shx，而使用他所 基為什么又把自己的新幾何學叫“虛幾何學”，它的引入正像數(shù)系中虛數(shù)的引進一樣． 羅巴切夫斯基從以上事實中看到了他所發(fā)現(xiàn)的幾何學的無矛盾性．事實上，如果采用下列方法，可以使這種思想變得極其嚴格：在歐氏空間中引進虛點，產(chǎn)生所謂復歐氏空間，在這種空間中規(guī)定純虛半徑的球面，并在這種球面上討論具有實直角坐標x和y以及純虛坐標z的點集．這種空間里的虛半徑的球面顯然是雙葉雙曲面，它的每一葉都是羅氏平面的模型，這模型的結構證明它本身是無矛盾的． 羅巴切夫斯基否定了歐幾里得平行公設，但是并沒有發(fā)生任何矛盾，因此他得出“歐氏幾何不是唯一可想象出的幾何學”的結論．但是，他始終認為“不應該信賴天賦的感覺所產(chǎn)生的概念”，因此提出通過實驗來確定哪一種幾何學在現(xiàn)實中成立．于是，他決定在非常大的三角形中測量各角．考慮由地球在它的軌道上兩個對徑點和天狼星所組成的三角形，他根據(jù)當時最新的天文歷法計算，確定這個三角形的一個角是直角，另一個角則是平行角．測量結果發(fā)現(xiàn)，該三角形的內角和不等于π，它與π有一個小的偏差，但是這個偏差小于當時所允許的觀察誤差．所以他認為現(xiàn)實世界可能是歐氏幾何的．這就解釋了他為什么在1826年的報告中附有“平行線定理的一個嚴格證明”．盡管如此，他認為可以規(guī)定上述偏差的大小，然后在此基礎上建立新的平行線理論．羅巴切夫斯基在他后來的《具有完善的平行線理論的新幾何學原理》中預言，他的幾何學會在“分子引力的密接球面”上得到應用． 幾乎與羅巴切夫斯基同時，匈牙利數(shù)學家J．波爾約(JanosBolyai)也發(fā)現(xiàn)了平行公設的不可證明性和非歐幾何的原理，并在1832年，把他的發(fā)現(xiàn)作為附錄發(fā)表在他父親F．波爾約(FarkasBolyai)的幾何著作中．F．波爾約把這個附錄寄給高斯評閱，高斯認為這個青年“有極高的天才”，但是他不能稱贊這項工作，因為那相當于稱贊他自己，J．波爾約的發(fā)現(xiàn)與他自己40年來(1792年以來)思考所得的結果不約而同．高斯的態(tài)度對J．波爾約無疑是一個沉重的打擊，從此他再沒有做進一步的研究．至于高斯本人，雖然比較早地得到了非歐幾何的要領，但他過于小心謹慎，怕引起“蠢人的叫喊”，而在生前沒有公開發(fā)表過有關論著． 因此，雖然現(xiàn)在一般認為非歐幾何是由這三位學者彼此獨立地發(fā)現(xiàn)的，但就發(fā)表時間之早，論證的完整和內容的豐富，以及對新幾何學始終不渝的捍衛(wèi)來說，要首推羅巴切夫斯基． 羅巴切夫斯基幾何的確認 羅巴切夫斯基的發(fā)現(xiàn)在他生前沒有得到社會的公認．前面已經(jīng)提到，他在1826年的報告沒有引起任何人的興趣，當他的報告送交評委會審閱時，沒有人能作出結論．1832年，他把“論幾何學原理”一文送交圣彼得堡科學院，由數(shù)學家М．В．奧斯特羅格拉茨基(Остроградский)審查，可是這位著名的學者對羅巴切夫斯基的發(fā)現(xiàn)很不理解，他在1832年11月7日對這篇論文給科學院一個很不公正的答復，其結論是：“羅巴切夫斯基先生的論著不值得科學院去注意．”奧斯特羅格拉茨基還在1834年出版了一本嘲笑羅巴切夫斯基論文的小冊子．高斯雖然十分欣賞羅巴切夫斯基1840年用德文寫的非歐幾何著作，還專門學俄文來讀他的原著，但他生前沒有公開發(fā)表過對非歐幾何的支持意見． 高斯去世不久，1860—1865年，他的通信錄發(fā)表，他在給天文學家H．K．舒馬赫(Schumacher)的信中對羅巴切夫斯基的《平行線理論的幾何研究》推崇備至，從此羅巴切夫斯基的發(fā)現(xiàn)才逐漸引起數(shù)學界的重視．1866年在波爾多和巴黎出版了由G．J．烏埃爾(Hoüel)翻譯的《平行線理論的幾何研究》的法文譯本，附有高斯與舒馬赫通信的摘錄．不久，這本書被譯成俄文，在莫斯科的一家雜志上發(fā)表．評論羅巴切夫斯基的生活和貢獻的文章也開始出現(xiàn)． 但是，羅氏幾何的真正確認是在1868年．這一年，意大利幾何學家E．貝爾特拉米(Beltrami)發(fā)表了著名的論文“非歐幾何解釋的嘗試”(Saggio di interpretarione della geometria noneuclidea， Giornale di Matem．，Vol．，6，pp．284—312，1868)．在這篇文章中，貝爾特拉米從波蘭(-俄國)數(shù)學家F．明金(Minding)的工作出發(fā)，給出了羅氏幾何的直觀解釋．明金在1839年的文章中證明：如果兩個曲面有相等的常曲率，那么可以把其中一個等距映射到另一個上．他雖然研究了負常數(shù)曲率的曲面，但沒考慮到它和羅氏平面的關系．貝爾特拉米通過計算， 的常數(shù)，也稱羅氏幾何的參數(shù))．這表明羅氏平面可以看作是負常數(shù)曲率的曲面，因此羅氏幾何應該與負常數(shù)曲率的曲面的幾何相符合．為此，他效仿明金，考慮由一條曳物線繞其漸近線旋轉而生成的偽球面(圖4)，這是一個負常數(shù)曲率的曲面．在某些約定下，貝爾特拉米建立了該偽球面與局部羅氏平面間的等距關系．也就是說，對于羅氏平面上的部分區(qū)域來說，羅氏幾何的每一種論斷，都有偽球面內蘊幾何的直接事實．羅氏幾何正是偽球面上抽象地敘述的歐氏幾何學． 貝爾特拉米還證明，整個羅氏平面的幾何可以在歐氏平面上一個圓的內部實現(xiàn)．在偽歐氏空間中，把一個虛半徑的半球面從其中心投影到與這半球相切的歐氏平面上，就可以導出他的這種解釋．但是貝爾特拉米沒有建立任意兩點間的距離公式，也沒有搞清如何表示羅氏平面的運動． 整個羅氏平面的幾何模型是由德國數(shù)學家Ch．F．克萊因(Klein) ber die sogenannte nicht－euklidische Geometrie)中，拓廣了英國數(shù)學家A．凱萊(Cayley)在1859年提出的射影度量的概念，建立了射影度量與非歐幾何的關系．他指出，歐氏幾何與非歐幾何都可以用純射影的方法構造出來，并提供了羅氏幾何的所謂射影模型．按照克萊因的方法，羅氏平面可看作射影平面上一個圓錐曲線的內部，當這圓錐曲線是圓時，羅氏平面在射影平面上的表示與貝爾特拉米的解釋相同．根據(jù)這種表示，羅氏平面上的點是圓內的點，直線是圓的弦，平行線由相交于圓周上的弦來表示，發(fā)散直線由不相交的弦表示，等等．克萊因給出了兩點間的距離和角的大小的射影定義，使圓內部的點、弦以及其他圖形滿足羅氏幾何的公理．這樣一來，所有羅氏幾何中的論斷都是歐氏幾何中的定理．因而，羅氏幾何的相容性歸結為歐氏幾何的相容性．對高維羅氏空間也有同樣的解釋． 1882年，法國數(shù)學家H．龐加萊(Poincaré)聯(lián)系自守函數(shù)的研究，給出了另一種模型，也證明了羅氏幾何的相容性．他仍取圓的內部作為羅氏平面，但卻把垂直于已知圓周的圓弧看作直線，運動是把圓變成自身的反演．1887年龐加萊提出了羅氏幾何的第二種解釋，羅氏平面用雙葉雙曲面表示，就是前文提到的虛半徑的半球面． C．F．B．黎曼(Riemann)對羅氏幾何的發(fā)展也做出了重要貢 pothesen， welche der Geometrie zu Grunde liegen)中，發(fā)揚了高斯關于曲面的微分幾何的研究，建立了黎曼空間的概念，并把歐氏幾何和羅氏幾何包羅在他的體系之中．正常數(shù)曲率的黎曼空間(即黎曼橢球空間)，可由某個球面上的幾何表示，羅氏平面顯然是負常數(shù)曲率的黎曼空間．克萊因在1871年的論文中，發(fā)揮了上述思想，對所有的幾何學進行綜合表述，稱負常數(shù)曲率的曲面上的羅氏幾何為雙曲幾何，正常數(shù)曲率的曲面上的黎曼幾何為橢圓幾何，歐氏幾何為拋物幾何．在1872年克萊因的《新幾何研究的比較分析》(Vergleichende Betrachtungen über neuere geo－metrische Forschungen，即著名的《埃朗根綱領》)中，他又從變換群的觀點出發(fā)，對各種幾何進行分類．每種幾何都由變換群所刻劃，可以看做是某種變換群的不變量理論． 以上這些工作不僅使羅氏幾何最終獲得普遍承認，而且使人們認識到這項最富革命性的創(chuàng)造的歷史意義．羅氏幾何的創(chuàng)立，打破了兩千多年來歐氏幾何的一統(tǒng)天下，從根本上革新和拓廣了人們對幾何學觀念的認識，為幾何學乃至整個數(shù)學及其應用開辟了嶄新的途徑．羅氏幾何的創(chuàng)立，還導致幾何學基礎的深入研究．1899年D．希爾伯特(Hilbert)建立了歐氏幾何的公理體系，這種研究方法很快擴展到許多數(shù)學分支，形成了現(xiàn)代數(shù)學的公理化運動．羅氏幾何的創(chuàng)立對本世紀初物理學中所發(fā)生的時空觀念的改革也起了重大作用．羅氏幾何首先提出了彎曲的空間，它為更廣泛的黎曼幾何的產(chǎn)生創(chuàng)造了前提，而黎曼幾何后來成為愛因斯坦廣義相對論的數(shù)學工具．人們在廣義相對論的基礎上研究宇宙結構，發(fā)現(xiàn)宇宙結構更接近于羅氏幾何，所以許多人采用羅氏幾何作為宇宙的幾何模型． |
|
|
來自： l1hf > 《數(shù)學家》
