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格林 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所 李文林 格林，G．(Green，George)1793年6月或7月生于英國(guó)諾丁漢郡；1841年5月31日卒于諾丁漢郡．?dāng)?shù)學(xué)． 1793年7月14日，英國(guó)諾丁漢郡圣瑪麗教堂的命名登記簿上增加了當(dāng)?shù)孛姘鼛烥．格林(Green)與其妻莎拉(Sarah)新生男嬰的名字——與父親同名的喬治．格林的具體生日不詳，據(jù)命名日估計(jì)應(yīng)在當(dāng)年6月1日與7月14日之間．格林8歲時(shí)曾就讀于R．古達(dá)克爾(Goodacare)私立學(xué)校． 據(jù)格林的妹夫W．湯姆林(Tomlin)回憶，格林在校表現(xiàn)出非凡的數(shù)學(xué)才能．可惜這段學(xué)習(xí)僅延續(xù)了一年左右．1802年夏天，格林就輟學(xué)回家，幫助父親做工．19世紀(jì)初的諾丁漢郡正處于上升時(shí)期．編織業(yè)的發(fā)達(dá)，造成了人口的密集，與拿破侖的戰(zhàn)爭(zhēng)又促使小麥生意興隆．1807年，格林的父親在諾丁漢近郊的史奈登(Sneiton)地方買下一座磨坊，從面包師變成了磨坊主．父子二人慘淡經(jīng)營(yíng)，家道小康．但格林始終未忘他對(duì)數(shù)學(xué)的愛好，以驚人的毅力堅(jiān)持白天工作，晚上自學(xué)，把磨坊頂樓當(dāng)作書齋，攻讀從本市布朗利(Bromley)圖書館借來(lái)的數(shù)學(xué)書籍．布朗利圖書館是由諾丁漢郡有影響的知識(shí)界與商業(yè)界人士贊助創(chuàng)辦的，收藏有當(dāng)時(shí)出版的各種重要的學(xué)術(shù)著作以及全套《皇家學(xué)會(huì)哲學(xué)學(xué)報(bào)》(Philosophical Transactions of Royal Society)．對(duì)格林影響最大的是法國(guó)數(shù)學(xué)家P．S．拉普拉斯(Laplace)、J．L．拉格朗日(Lagrange)、S．D．泊松(Poisson)、S．P．拉克魯阿(Lacroix)等人的著作．通過(guò)鉆研，格林不僅掌握了純熟的分析方法，而且能創(chuàng)造性地發(fā)展、應(yīng)用，于1828年完成了他的第一篇也是最重要的論文——“論數(shù)學(xué)分析在電磁理論中的應(yīng)用”(An essay on theapplication of mathematical analysis to the theories of electri－city and magnetism)．這篇論文是靠他的朋友們集資印發(fā)的，訂閱人中有一位E．F．勃隆黑德(Bromhead)爵士，是林肯郡的貴族，皇家學(xué)會(huì)會(huì)員．勃隆黑德發(fā)現(xiàn)了論文作者的數(shù)學(xué)才能，特地在自己的莊園接見了格林，鼓勵(lì)他繼續(xù)研究數(shù)學(xué)． 與勃隆黑德的結(jié)識(shí)成為格林一生的轉(zhuǎn)折．勃隆黑德系劍橋大學(xué)岡維爾-凱厄斯(Gonville－Caius)學(xué)院出身，同時(shí)又是劍橋分析學(xué)會(huì)的創(chuàng)始人之一．他建議格林到劍橋深造．1829年1月，格林的父親去世，格林獲得了一筆遺產(chǎn)和重新選擇職業(yè)的自由，遂將磨坊變賣，全力以赴為進(jìn)入劍橋大學(xué)作準(zhǔn)備．這期間他又完成了三篇論文——“關(guān)于與電流相似的流體平衡定律的數(shù)學(xué)研究及其他類似研究”(Mathematical investigations concerning the lawsof the equilibrium of fluids analogous to the electric fluidwith other similar research，1832．11)、“論變密度橢球體外部與內(nèi)部引力的計(jì)算”(On the determination of the exterior andinterior attractions of ellipsoids of variable densities，1833．5)和“流體介質(zhì)中擺的振動(dòng)研究”(Researches on the vibration ofpendulums in fluid media， 1833．12)，均由勃隆黑德爵士推薦發(fā)表．1833年10月，年已40的格林終于跨進(jìn)了劍橋大學(xué)的大門，成為岡維爾-凱厄斯學(xué)院的自費(fèi)生．經(jīng)過(guò)4年艱苦的學(xué)習(xí)，1837年獲劍橋數(shù)學(xué)榮譽(yù)考試(Mathematical Tripo)一等第四名，翌年獲學(xué)士學(xué)位，1839年當(dāng)選為岡維爾-凱厄斯學(xué)院院委．正當(dāng)一條更加寬廣的科學(xué)道路在格林面前豁然展現(xiàn)之時(shí)，這位磨坊工出身的數(shù)學(xué)家卻因積勞成疾，不得不回家鄉(xiāng)休養(yǎng)，于1841年5月31日在諾丁漢病故． 格林生前長(zhǎng)期與磨坊領(lǐng)班W．史密斯(Smith)的女兒簡(jiǎn)(Jane)同居，但始終未正式結(jié)婚．最初可能是由于他父親反對(duì)這門婚事，后來(lái)則因劍橋?qū)S爾-凱厄斯學(xué)院院委資格只授予單身漢，格林為了事業(yè)只好放棄正式結(jié)婚的打算．格林去世后，簡(jiǎn)被承認(rèn)為其合法遺孀，人們都稱她為“格林夫人”，他們生有兩個(gè)兒子、五個(gè)女兒． 格林短促的一生，共發(fā)表過(guò)10篇數(shù)學(xué)論文，這些原始著作數(shù)量不大，卻包含了影響19世紀(jì)數(shù)學(xué)物理發(fā)展的寶貴思想． 格林是現(xiàn)代位勢(shì)理論的先驅(qū)與奠基人之一．拉普拉斯在引力計(jì)算、泊松在電磁問(wèn)題中都曾用過(guò)這樣的函數(shù)V，它同力場(chǎng)分量(X，Y，Z)的關(guān)系為 拉普拉斯同時(shí)指出函數(shù)V滿足方程 并采用球調(diào)和方法來(lái)解此方程．但拉普拉斯和泊松的方法都僅適用于特殊的幾何形體，因此有必要發(fā)展更一般的理論，這正是格林的工作與前人不同的地方． 格林認(rèn)識(shí)到函數(shù)V的重要性，并首先引進(jìn)了“位勢(shì)函數(shù)”這一名稱，他在第一篇論文“論數(shù)學(xué)分析在電磁理論中的應(yīng)用”中寫道： “這樣的函數(shù)以如此簡(jiǎn)單的形式給出電荷基元在任意位置受力的數(shù)值．由于它在下文中頻繁出現(xiàn)，我們冒昧地稱其為屬于該系統(tǒng)的位勢(shì)函數(shù)，它顯然是所考慮的電荷基元P的座標(biāo)的函數(shù)”． 格林接著便發(fā)展了位勢(shì)函數(shù)V的一般理論，特別是建立了許多對(duì)于推動(dòng)位勢(shì)論的進(jìn)一步發(fā)展極為關(guān)鍵的定理與概念，其中尤以現(xiàn)用他的名字命名的“格林公式”與“格林函數(shù)”最為著名．設(shè)有函數(shù)U與V，在以曲面σ為邊界的區(qū)域τ內(nèi)充分光滑．格林從體積分 出發(fā)，應(yīng)用分部積分法推導(dǎo)得 以上采用的是格林的原始記號(hào)，其中dσ為曲面σ的微元，dω為σ的內(nèi)法線段微元，而 公式(或稱格林定理)．用現(xiàn)代記號(hào)表示則相當(dāng)于 格林還進(jìn)一步探討了U，V在τ內(nèi)有奇點(diǎn)的情況，提出格林函數(shù)的概念．這是一種帶奇性的特殊位勢(shì)U，滿足方程δU=0，且“僅在曲面 的距離”．格林同時(shí)假設(shè)U在曲面本身上恒等于零．用現(xiàn)代記號(hào)表示，格林函數(shù)G(r，r′)滿足條件： 且有 以及 G(r，r′)= 0(當(dāng)r∈σ)． 格林未給出函數(shù)U的存在與唯一性證明，但卻闡述了其物理意義：“為了說(shuō)明確實(shí)存在所述函數(shù)U，我們?cè)O(shè)想曲面是一個(gè)接地良導(dǎo)體，在點(diǎn)p′上置一單位正電荷，則由p′及其在曲面上引發(fā)的電荷所產(chǎn)生的總位勢(shì)將等于所要求的U的值”，而“U滿足前述論證中所賦予的一切性質(zhì)”． 格林公式與格林函數(shù)已成為現(xiàn)代分析的基本工具，格林函數(shù)更被日益廣泛地應(yīng)用于現(xiàn)代物理的許多領(lǐng)域，如量子碰撞、基本粒子理論與固體物理等． 格林對(duì)于波動(dòng)的數(shù)學(xué)理論有濃厚的興趣并發(fā)表了多篇論文，其中最重要的是關(guān)于光波的研究．光的波動(dòng)的數(shù)學(xué)描述，在19世紀(jì)數(shù)學(xué)家中一直是一個(gè)時(shí)髦的課題．在格林時(shí)代，科學(xué)界所持的一種普遍意見是把光看作彈性固體以太的振動(dòng)，例如A．L．柯西(Cauchy)在光以太研究中采用了吸引與排斥形式相互作用的機(jī)械模型．格林對(duì)柯西和其他學(xué)者對(duì)以太中力的性質(zhì)作特殊假設(shè)的做法持批判態(tài)度，他在論文“論光在兩非晶介質(zhì)公共面上的反射與折射定律”(On the laws of reflexion and refraction of light at the common surface of two noncrystallized media，1837)中深刻地指出： “我們對(duì)于發(fā)光以太元之間相互作用的方式知道得如此少，因而最可靠的辦法還是以某種一般的物理原理作為推理的基礎(chǔ)，而不要去作特殊的假設(shè)．” 格林接著表述他所說(shuō)的“一般原理”如下： “任一物質(zhì)系統(tǒng)的元素間不論以何種方式相互作用，若以所有的內(nèi)力分別乘以相應(yīng)的方向元，則對(duì)該物質(zhì)系統(tǒng)的任一指定部分，此乘積的和永遠(yuǎn)等于某函數(shù)的恰當(dāng)微分．” 這實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于能量守恒原理．格林是第一個(gè)將這種一般形式的守恒原理引入彈性力學(xué)的學(xué)者．他由此出發(fā)導(dǎo)出了描述光媒質(zhì)振動(dòng)規(guī)律的偏微分方程．在格林寫成他的光學(xué)論文時(shí)，M．法拉第(Faraday)的電磁感應(yīng)剛發(fā)現(xiàn)不久，格林關(guān)于光波的數(shù)學(xué)研究還不具備突破機(jī)械以太觀的條件，但他選擇一般數(shù)學(xué)原理作為推導(dǎo)光媒質(zhì)運(yùn)動(dòng)方程的基礎(chǔ)而避免對(duì)以太的力學(xué)性質(zhì)作人為的假設(shè)，說(shuō)明他在這方面比同時(shí)期的其他數(shù)學(xué)物理學(xué)家要高出一籌．格林的光波研究對(duì)彈性力學(xué)的發(fā)展亦有重要意義．現(xiàn)代彈性理論中的一種應(yīng)變張量就被稱為“格林張量”． 格林關(guān)于水波的研究也引起人們的注意．1337年，英國(guó)工程師 S．羅素(Russell)首先觀察到一種叫“孤立波”(solitarywave)的現(xiàn)象．羅素于1844年第二次在不列顛科學(xué)協(xié)進(jìn)會(huì)上作淺水波問(wèn)題報(bào)告時(shí)，曾埋怨數(shù)學(xué)家們未能預(yù)報(bào)與描述他所觀察到的現(xiàn)象．然而在此之前，格林已發(fā)表了兩篇這方面的論文，其中第一篇“論具有較小深度與寬度的可變渠道中波的運(yùn)動(dòng)”(On themotion of waves in a variable canal of small depth andwidth，1837)幾乎是與羅素的第一份報(bào)告同時(shí)發(fā)表，格林在其中導(dǎo)出淺水波方程為： 其中φ為水平面對(duì)平衡位置的位移，2β，2γ分別表示矩形截面渠道的寬與深，它們是x的函數(shù)．為了解上述方程，格林作變換：φ=Af(t+X)(A和X均為x的函數(shù))．將 A，β，γ寫成 ωx的函數(shù)，設(shè)含ω2的項(xiàng)可忽略不計(jì)，則變換后原方程化為兩個(gè)方程：一個(gè)是關(guān)于函數(shù)A的方程，另一個(gè)是關(guān)于函數(shù)X的方程．分別解出這兩個(gè)方程，得到淺水波方程的解為： 其中f與F是任意函數(shù)．經(jīng)過(guò)比較不難看出，格林的上述方法與現(xiàn)代孤立波理論中普遍使用的所謂WKB方法是一致的． 格林在他的第二篇淺水波論文“關(guān)于渠道中波的運(yùn)動(dòng)的注記”(Note on the motion of waves in canals，1839)中，利用前述理論討論深度為c的渠道波的速度，獲得了與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相符合的近似公式． 目前所知的第一個(gè)非線性孤立波方程是由D．J．科特維克(Kotteweg)與G．德 弗里斯(De Vries)在1895年給出的．但如果調(diào)查一下19世紀(jì)水波方面的文獻(xiàn)，可以清楚地看出一條線索，說(shuō)明科特維克與德弗里斯的理論是前人一系列研究的結(jié)晶，而格林的工作則處于這條線索的開端．格林無(wú)疑是歷史上最早試圖從數(shù)學(xué)上描述孤立波現(xiàn)象的數(shù)學(xué)家． 格林的著作中還包含許多其他的貢獻(xiàn)，它們的意義與影響還有待進(jìn)一步探討．n維空間的概念是H．格拉斯曼(Grassmann)于1844年首先提出的．但在格林著作中已出現(xiàn)高維幾何的思想．格林1833年完成的論文“論變密度橢球體外部與內(nèi)部引力的計(jì)算”，率先發(fā)展了n元函數(shù)分析，其中使用s個(gè)坐標(biāo){x1，x2，…，xs}來(lái)代替通常的三維歐氏坐標(biāo)，并使用s維球體與橢球體作為相應(yīng)的三維圖形的推廣． 現(xiàn)代分析中扮演重要角色的所謂狄利克雷(Dirichlet)原理，溯其源亦為格林首創(chuàng)．在上述同一篇論文中，格林假設(shè)積分(用格林的原始記號(hào)) 存在一個(gè)極小化函數(shù)V0，并指出V0滿足方程 這正是s維情形的狄利克雷原理．W．湯姆生(Thomson，即后來(lái)的凱爾文勛爵)在1847年也闡述了同樣的原理，而他對(duì)格林的工作是十分熟悉的． 格林的工作孕育了以湯姆生、G．G．史托克斯(Stokes)和J．C．麥克斯韋(Maxwell)等人為代表的劍橋數(shù)學(xué)物理學(xué)派．現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理仍然可以從格林著作中汲取營(yíng)養(yǎng)．然而這位靠自學(xué)成才的數(shù)學(xué)家生前卻默默無(wú)聞．他的第一篇論文因未正式發(fā)表幾乎瀕于失傳．湯姆生在劍橋當(dāng)學(xué)生時(shí)，從一篇論文的文獻(xiàn)索引中了解到格林這篇文章的題目，四處尋覓原作而不得．1845年，湯姆生從劍橋畢業(yè)，在行將離校的前夕將此事告訴了一位叫霍普金斯(Hopkins)的私人數(shù)學(xué)教師．出乎他的意料，霍普金斯細(xì)心收藏著格林這篇著作的傳本．湯姆生帶著這篇著作踏上了赴法國(guó)考察的旅途，并在巴黎向 J．劉維勒(Li ouville)和C．F．斯圖姆(Sturm)介紹了格林的論文，二者閱后立即意識(shí)到該文的價(jià)值，認(rèn)為格林已為位勢(shì)論及其應(yīng)用奠定了完整的基礎(chǔ)．后來(lái)，在德國(guó)數(shù)學(xué)家 A．L．克勒爾(Crelle)贊助下，格林這篇論文終于在他去世十年后在克勒爾主編的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》(Jour．für Rei．undAug．Math．)上正式發(fā)表(1850)，湯姆生并為此撰寫了介紹格林生平與工作的導(dǎo)言．1871年，劍橋?qū)S爾-凱厄斯學(xué)院院委N．M．費(fèi)勒(Ferrers)編輯的《格林?jǐn)?shù)學(xué)文集》(Mathematical papers ofthe late George Green)在倫敦出版，格林的工作受到了越來(lái)越多的重視．今天，格林度過(guò)他艱苦自學(xué)歲月的磨坊依然存在，到諾丁漢訪問(wèn)的人，很遠(yuǎn)就可以看到它聳立的風(fēng)輪．諾丁漢市決定維護(hù)好格林遺址，作為對(duì)這位磨坊工出身的數(shù)學(xué)家的永久紀(jì)念． |
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來(lái)自： l1hf > 《數(shù)學(xué)家》
