|
傅里葉 北京大學 郭敦仁 孫小禮 傅里葉，J．B．J．(Fourier，Jean Baptiste Joseph)1768年3月21日生于法國奧塞爾；1830年5月16日卒于巴黎．數(shù)學、物理學． 傅里葉出身平民，父親是位裁縫．9歲時雙親亡故，以后由教會送入鎮(zhèn)上的軍校就讀，表現(xiàn)出對數(shù)學的特殊愛好．他還有志于參加炮兵或工程兵，但因家庭地位低貧而遭到拒絕．后來希望到巴黎在更優(yōu)越的環(huán)境下追求他有興趣的研究．可是法國大革命中斷了他的計劃，于1789年回到家鄉(xiāng)奧塞爾的母校執(zhí)教． 在大革命期間，傅里葉以熱心地方事務而知名，并因替當時恐怖行為的受害者申辯而被捕入獄．出獄后，他曾就讀于巴黎師范學校，雖為期甚短，其數(shù)學才華卻給人以深刻印象．1795年，當巴黎綜合工科學校成立時，即被任命為助教，協(xié)助J．L．拉格朗日(Lagrange)和G．蒙日(Monge)從事數(shù)學教學．這一年他還諷刺性地被當作羅伯斯庇爾(Robespierre)的支持者而被捕，經同事營救獲釋．1898年，蒙日選派他跟隨拿破侖(Napoleon)遠征埃及．在開羅，他擔任埃及研究院的秘書，并從事許多外交活動，但同時他仍不斷地進行個人的業(yè)余研究，即數(shù)學物理方面的研究． 1801年回到法國后，傅里葉希望繼續(xù)執(zhí)教于巴黎綜合工科學校，但因拿破侖賞識他的行政才能，任命他為伊澤爾地區(qū)首府格勒諾布爾的高級官員．由于政聲卓著，1808年拿破侖又授予他男爵稱號．此后幾經宦海浮沉，1815年，傅里葉終于在拿破侖百日王朝的尾期辭去爵位和官職，毅然返回巴黎以圖全力投入學術研究．但是，失業(yè)、貧困以及政治名聲的落潮，這時的傅里葉處于一生中最艱難的時期．由于得到昔日同事和學生的關懷，為他謀得統(tǒng)計局主管之職，工作不繁重，所入足以為生，使他得以繼續(xù)從事研究． 1816年，傅里葉被提名為法國科學院的成員．初時因怒其與拿破侖的關系而為路易十八所拒．后來，事情澄清，于1817年就職科學院，其聲譽又隨之迅速上升．他的任職得到了當時年事已高的 P．S．M．de 拉普拉斯(Laplace)的支持，卻不斷受到 S．D．泊松(Poisson)的反對．1822年，他被選為科學院的終身秘書，這是極有權力的職位．1827年，他又被選為法蘭西學院院士，還被英國皇家學會選為外國會員． 傅里葉一生為人正直，他曾對許多年輕的數(shù)學家和科學家給予無私的支持和真摯的鼓勵，從而得到他們的忠誠愛戴，并成為他們的至交好友．在他幫助過的科學家中，有知名的 H．C．奧斯特(Oersted)、P．G．狄利克雷(Dirichlet)、N．H．阿貝爾(Abel)和 J．C．F．斯圖姆(Sturm)等人．有一件令人遺憾的事，就是傅里葉收到 ．伽羅瓦(Galois)的關于群論的論文時，他已病情嚴重而未閱，以致論文手稿失去下落． 傅里葉去世后，在他的家鄉(xiāng)為他樹立了一座青銅塑像．20世紀以后，還以他的名字命名了一所學校，以示人們對他的尊敬和紀念． 傅里葉的科學成就主要在于他對熱傳導問題的研究，以及他為推進這一方面的研究所引入的數(shù)學方法．早在遠征埃及時，他就對熱傳導問題產生了濃厚的興趣，不過主要的研究工作是在格勒諾布爾任職期間進行的．1807年，他向科學院呈交了一篇很長的論文，題為“熱的傳播”(Mémoire sur la propagation de la chaleur)，內容是關于不連結的物質和特殊形狀的連續(xù)體(矩形的、環(huán)狀的、球狀的、柱狀的、棱柱形的)中的熱擴散(即熱傳導，筆者注)問題．其基本方程是 這是三維情形． 在論文的審閱人中，拉普拉斯、蒙日和 S．F．拉克魯瓦(Lacroix)都是贊成接受這篇論文的．但是遭到了拉格朗日的強烈反對，因為文中所用如下的三角級數(shù)(后來被稱為傅里葉級數(shù)) 表示某些物體的初溫分布與拉格朗日自己在19世紀50年代處理弦振動問題時對三角級數(shù)的否定相矛盾．于是，這篇文章為此而未能發(fā)表．不過，在審查委員會給傅里葉的回信中，還是鼓勵他繼續(xù)鉆研，并將研究結果嚴密化． 為了推動對熱擴散問題的研究，科學院于1810年懸賞征求論文．傅里葉呈交了一篇對其1807年的文章加以修改的論文，題目是“熱在固體中的運動理論”(Theorie du mouvement de chaleur clansles corps solides)，文中增加了在無窮大物體中熱擴散的新分析．但是在這一情形中，傅里葉原來所用的三角級數(shù)因具有周期性而不能應用．于是，傅里葉代之以如下的積分形式(后來被稱為傅里葉積分)： 這篇論文在競爭中獲勝，傅立葉曾獲得科學院頒發(fā)的獎金．但是評委——可能是由于拉格朗日的堅持——仍從文章的嚴格性和普遍性上給予了批評，以致這篇論文又未能正式發(fā)表、傅里葉認為這是一種無理的非難，他決心將這篇論文的數(shù)學部分擴充成為一本書．他終于完成了這部書：《熱的解析理論》(Théorie anatylique de la chaleur)，于1822年出版．他原來還計劃將論文的物理部分也擴充成一本書，名為《熱的物理理論》(Théorie physiquede la chaleur)．可惜這個愿望未能實現(xiàn)，雖然處理熱的物理方面的問題也是他的得獎論文中的重要內容，而且在他的晚年的研究工作中甚至是更重要的內容． 《熱的解析理論》，是記載著傅里葉級數(shù)與傅里葉積分的誕生經過的重要歷史文獻，在數(shù)學史，乃至科學史上公認是一部劃時代的經典性著作．然而，對于傅里葉在數(shù)學上和數(shù)學物理上工作的具體評價，歷來眾說紛壇．有些人只注意了傅里葉級數(shù)和傅里葉積分本身的推導，從非時代的嚴格性標準來要求他．實際上，要全面地理解傅里葉的成就，還應該注意到以下兩個方面：一是他把物理問題表述為線性偏微分方程的邊值問題來處理．這一點，連同他在單位和量綱方面的工作，使分析力學超出了I．牛頓(Newton)在《原理》(Principia)中所規(guī)定的范疇．二是他所發(fā)明的解方程的強有力的數(shù)學工具產生了一系列派生學科，在數(shù)學分析中提出了許多研究課題，極大地推動了19世紀及以后的數(shù)學領域中的第一流的工作，并且開拓了一些新的領域(見后文)．況且，傅里葉的理論和方法幾乎滲透到近代物理的所有部門． 傅里葉在《熱的解析理論》這部基本著作中，寫進了他的差不多所有有關的工作，而且在此書的各個版本中幾乎絲毫未加更動．因此，把這些內容與其他沒有發(fā)表的、為人引述的、散見于各處的資料聯(lián)系貫串起來，就可以切實地概現(xiàn)他的全部研究成果，以及他表述和處理問題的風格．同時，通過這些材料，也可以看出，在某些關鍵之處，傅里葉未能克服的困難和他失敗的原因． 傅里葉在熱的分析理論方面的第一件工作中，采用了這樣的模型：熱是由分立粒子間的穿梭機制傳送的，其物理理論是簡單的混合過程，所用數(shù)學屬于18世紀50年代．在他所從事研究的問題中，其一是關于排列在一圓環(huán)上的n個粒子．他獲得在n為有限的情形下的完全解．他想把結果推廣到連續(xù)的情形，未能成功，因為當n無限增大時，指數(shù)上的時間常數(shù)趨于零，從而使所得的解與時間無關．后來他才明白應如何修正他的傳輸模型以避免這一反常的結果．此外，在他集中注意于完全解及其困難時，他未能意識到，當t=0時，他的解給出一個內推公式，可用以得到連續(xù)情形下的傅氏級數(shù)．(拉格朗日前此之所以未能發(fā)現(xiàn)傅氏級數(shù)也可類似地來解釋，而并非象通常所認為的那佯，是由于顧慮到嚴格性所致．) 傅里葉成功地建立的熱傳導方程可能是得益于 J．B．畢奧(Biot)早先關于金屬條中的穩(wěn)定溫度的工作，畢奧區(qū)分了體內傳導和體外輻射．但是畢奧的分析，由于用了一個錯誤的物理導熱模型而導出一不正確的方程．傅里葉則因構建了較好的物理模型而克服了困難，容易地獲得一、二維情形下充分顯示與時間的關系的類似于(1)這一型的方程． 傅里葉的杰作是選擇這樣一種情形的問題來應用他的方程的，即一條半無窮的帶，一端是較熱的均勻溫度，沿其邊則是較冷的均勻溫度；具有極其簡單的、導源于伯努利兄弟(Bernoullis)和L．歐拉(Euler)的分析力學傳統(tǒng)中的物理意義．穩(wěn)定情形無非就是笛卡兒坐標下的拉普拉斯方程．傅里葉可能試用過復變函數(shù)方法(這樣的解見于他的《熱的解析理論》一書)．但其后就用分離變數(shù)法得到了級數(shù)解和以下邊界條件的方程 用無窮矩陣的方法來求方程(4)的解，并將它推廣到任意函數(shù)f(x)，這一工作曾屢次遭受評議．但不應忘記，這一工作是在柯西-魏爾斯特拉斯(Cauchy-Weierstrass)的正統(tǒng)理論建立之前幾十年做的．傅里葉不是一個頭腦簡單的形式主義者；他精于處理有關“收斂”的問題，在他討論鋸齒形函數(shù)的級數(shù)表示時就顯示出了這種能力．有關傅里葉級數(shù)的收斂性的幾種基本證明，例如狄利克雷的證明，其主要思想均可在傅里葉的著作中找到．而且，比任何人更早，他已看到，在計算傅氏級數(shù)的系數(shù)時，對一給定的三角級數(shù)逐項積分，是不能保證其正確性的． 傅里葉的三角級數(shù)展開的使人震驚之處在于，他示明一種似乎是矛盾的性質：在一有限區(qū)間內，完全不同的代數(shù)式之間的相等性．對于很廣泛的一類函數(shù)中的任何一個函數(shù)，都可以相應地造出一個三角級數(shù)，它在指定的區(qū)間內具有與這函數(shù)相同的值．他用例子說明，那給定的函數(shù)甚至可以在基本區(qū)間內分段有不同的代數(shù)表示式．雖然三角級數(shù)展開和任意函數(shù)兩者都曾為其他人(包括泊松)用過，但前者只限于有關周期現(xiàn)象的問題，而后者，當作為偏微分方程的解出現(xiàn)時，由于其性質，是假定不可能用代數(shù)式表示的． 關于傅里葉這一首次成功的研究結果的早期記載，說明了這個結果的生命力和他本人對此成果的驚異．在他的工作中，有受到蒙日影響的痕跡，如用曲面表示解，以及確定方程的解的邊界值的分離表示．此后，傅里葉滿懷信心地進入了新的領域．在三維情形遇到了一些困難，但把原方程分為兩個方程就解決了．這兩個方程，一個與內部傳導有關，一個則與表面上的溫度梯度所產生的輻射有關．應用于球體時運用球坐標，結果是一非諧的三角級數(shù)展開，其中的本征值是一超越方程的諸根．傅里葉運用他關于方程式論的知識，論證了這些根的實數(shù)性．當然，這一問題曾使他困惑了多年．在圓柱體的熱傳導問題中他又作了進一步的推廣，其傅里葉解就是如今所稱的貝塞耳(Bessel)函數(shù)．所用的技巧由傅里葉后來的同事 J． C．佛朗索(Francois)、斯圖姆和 J．劉維爾(Liouville)全面地予以普遍化． 在研究沿一條無窮長的線上的熱傳導問題時發(fā)展出來的傅里葉積分理論，可能是基于拉普拉斯把熱擴散方程的解表示為一任意函數(shù)的積分變換的思想，這函數(shù)表示初始的溫度分布．傅里葉通過對有限區(qū)間中級數(shù)展開的推廣，分別導出了對原點是對稱的和反對稱的情形之下的余弦和正弦變換．逐漸地他才認識到，把一給定的函數(shù)分解為偶函數(shù)和奇函數(shù)的普遍性． 傅里葉在這方面的創(chuàng)造性工作于1817—1818年間又最后一次綻發(fā)光輝，他成功地洞察到積分變換解與運算微積之間的關系．當時，傅里葉、泊松、柯西之間形成了三足鼎立之爭．后二人于1815年已開始運用這樣的技巧，但是傅里葉針對泊松的批評給予了摧毀性的反擊．他展示了幾個方程的積分變換解，這幾個方程是長期以來未能得到分析的，同時他還指出了導至系統(tǒng)理論之門徑．其后，柯西運用復變函數(shù)中的殘數(shù)(residue)理論也獲得了同樣的結果． 作為一位數(shù)學家，傅里葉對于實際問題中的嚴格性的關心，不亞于除柯西和阿貝爾以外的任何人．但他未能想到極限理論本身的重要意義．在對他1811年獲獎論文的評議中，關于缺乏嚴格性和普遍性的批評，長久以來是被誤解了．那些批評，其動機有許多是帶有非學術成分的．泊松和畢奧，是在熱擴散理論方面被他超過的勁敵，多年來總是力圖貶低傅里葉的成就．關于嚴格性的批評，可能是根據(jù)泊松的觀點，即認為在球形問題中出現(xiàn)的本征值未能證明是實數(shù)，而復數(shù)根將導致在物理上是不可能的解．(泊松自己在數(shù)年后為傅里葉解決了這一問題．)所謂傅里葉級數(shù)解(2)缺乏普遍性，可能是將它同拉普拉斯早先得到的積分解對比，而在后者中，被積函數(shù)清楚地含有任意函數(shù)． 傅里葉的機智在于分析力學方面．他對分析技巧和符號表示極為精 觀力，使他的研究能夠獲得成功．在他之前，分析力學中出現(xiàn)的主要方程常是非線性的，所用解法都是專設的近似法．當時，微分方程領域也象是一個尚無通路的叢林．傅里葉為解偏微分方程創(chuàng)造了和說明了一種連貫的方法，即可以把一個方程及其級數(shù)解按照不同的物理情況清楚地分離為不同的分部來加以分析．我國數(shù)學家、微分方程方面的著名學者申又棖教授(1901—1978)曾經說：傅里葉的創(chuàng)造，是給各種類型的偏微分方程(波動方程、擴散方程、拉普拉斯方程等)提供了一種統(tǒng)一的求解方法，就好比從前解“四則問題”時，各種難題有各種解法，而運用代數(shù)方程以后，就有了統(tǒng)一的簡便的解法．這個比喻，很好地形容了傅里葉的方法在微分方程領域的重要意義和廣泛的實用價值．事實上，傅里葉的方法是如此之強有力，以致過了整整一個世紀，非線性微分方程才重新在數(shù)學物理學中突起． 對傅里葉來說，每一數(shù)學陳述(盡管不是形式論證中的每一中間階段)都應有其物理含意，包括展示真實的運動和能夠(至少原則上)被測量兩個方面．他總是如是地說明他的解，使所得到的極限情況能為實驗所檢驗，而且一有機會他就自己動手來作實驗． 傅里葉早年草設的物理模型雖很粗糙，但在他1807年所寫的文章里，就已全面地把一些物理常數(shù)揉進他的熱傳導理論中．對物理意義的關注，使他看到在他的形式技法中所存在的潛力，能檢驗在傅里葉積分解的指數(shù)上出現(xiàn)的成群的物理常數(shù)的相關性．由此出發(fā)，他得出了關于單位和量綱的全面理論，雖然其中一部分是L．卡諾(Lazare Carnot)曾預期到的．這是自伽利略以來在物理量的數(shù)學表示理論方面第一個有成效的進展．與他同時代的人，如畢奧，在同一問題上的混亂情形相比，就更顯示出傅里葉的成就． 雖然傅里葉多年從事熱的物理理論的研究．但是他最初基于熱輻射現(xiàn)象方面的貢獻卻未能存在長久．他對他的理論的各種應用都很關心，諸如對溫度計的作用和房間供暖問題的分析，以及最重要的、對地球年齡下限首次作出的科學的估算等．令人不解的是，傅里葉相信熱作為宇宙中的首要媒介的重要性，但他似乎對于熱作為一種動力方面的問題卻不感興趣，以致對 S．卡諾(Sadi Carnot，是 L．卡諾的兒子)有關熱動力問題的著名論文毫無所知． 和傅里葉的著名的熱傳導問題的成就相比，他在數(shù)學的其他方面的工作就鮮為人知了．首先是他對方程式論有著長時間的濃厚興趣．早在16歲時他就作出了對笛卡兒正負號法則的一個新證明．這一法則可表述如下： 設f(x)=xm+a1xm-1+…+am-1x+am，則f(x)的諸系數(shù)具有一系列正負號．如果把同號的兩相鄰系數(shù)稱為“不變”，異號的稱為“變”，那么 f(x)的正(或負)根的數(shù)目最多等于序列中“變”(或“不變”)的數(shù)目． 傅里葉的證明方法是這樣的：以(x+p)乘f(x)，得一新的多項式，它比 f(x)多了一個系數(shù)，使系數(shù)序列中多了一個正負號，同時多了一個正(或負)根 p；并且可以看出系數(shù)序列中“變”(或“不變”)的數(shù)目至少增加1個．因為傅里葉的這一成果很快就成為標準的證法，所以證明的詳情可見于任何一本講述這一法則的教科書，雖然人們未嘗知道這一證法的發(fā)明者就是青年傅里葉． 傅里葉還把笛卡兒法則推廣到估計在一給定區(qū)間[a，b]內f(x)的實根數(shù)，并于1789年向科學院遞交了一篇文章，其中有他對自己的定理的證明，可惜文章在巴黎那革命動蕩的年代里丟失了．大約30年后這篇文章才得以發(fā)表．由于另有一位兼職數(shù)學家比當(Ferdinand Budan de Bois-Laurent)也發(fā)表過類似的結果，所以關于在給定區(qū)間內n次代數(shù)方程的實根數(shù)的判定法，后來被稱為傅里葉-比當定理．直到傅里葉逝世之前，他始終沒有中斷過方程式論方面的研究，并且計劃寫出一部七卷本的專著：《方程判定之分析》(Analyse des équations déterminées)．他已寫出頭兩卷，但他預感到生前大概不可能完成這部著作，于是寫了一個全書提要．1831年，即他逝世的第二年，由他的友人納維(Navier)將這部未完成的著作編輯出版．從全書提要中，可以看出傅里葉對方程式論有過十分廣泛的研究．其中最重要的是各種區(qū)分實根和虛根的方法，對牛頓-拉夫遜(Raphson)求根近似法的改進，對D．伯努利求循環(huán)級數(shù)中相繼項之比的極限值的法則的推廣，等等．由于傅里葉還有線性不等式的求解法和應用方面的工作以及他對這一問題的出眾的理解，因而也被后人稱為線性規(guī)劃的先驅． 在傅里葉的最后的歲月里，當他支持統(tǒng)計局的工作時，他的研究接觸到概率和誤差問題．他寫下了一些關于根據(jù)大量觀測來估計測量誤差的重要文章，發(fā)表于1826年和1829年的統(tǒng)計局報告上． 傅里葉對力學問題也作過相當多的探討，他曾發(fā)表過關于虛功原理的文章． 縱觀傅里葉一生的學術成就，他的最突出的貢獻就是他對熱傳導問題的研究和新的普遍性數(shù)學方法的創(chuàng)造，這就為數(shù)學物理學的前進開辟了康莊大道，極大地推動了應用數(shù)學的發(fā)展．從而也有力地推動了物理學的發(fā)展． 傅里葉大膽地斷言：“任意”函數(shù)(實際上是在有限區(qū)間上只有有限個間斷點的函數(shù))都可以展成三角級數(shù)，并且列舉大量函數(shù)和運用圖形來說明函數(shù)的三角級數(shù)展開的普遍性．雖然他沒有給出明確的條件和嚴格的證明，但是畢竟由此開創(chuàng)出“傅里葉分析”這一重要的數(shù)學分支，拓廣了傳統(tǒng)的函數(shù)概念．l837年狄利克雷正是研究了傅里葉級數(shù)理論之后才提出了現(xiàn)代數(shù)學中通用的函數(shù)定義．1854年 G．F．B．黎曼(Riemann)在討論傅里葉級數(shù)的文章中第一次闡述了現(xiàn)代數(shù)學通用的積分定義．1861年魏爾斯特拉斯運用三角級數(shù)構造出處處連續(xù)而處處不可微的特殊函數(shù)．正是從傅里葉級數(shù)提出來的許多問題直接引導狄利克雷、黎曼 G．G．斯托克斯(Stokes)以及從 H．E．海涅．(Heine)直至 G．康托爾(Cantor)、H．L．勒貝格(Lebesque)、F．里斯(Riesz)和E．費希(Fisch)等人在實變分析的各個方面獲得了卓越的研究成果，并且導致一些重要數(shù)學分支，如泛函分析、集合論等的建立．傅里葉的工作對純數(shù)學的發(fā)展也產生了如此深遠的影響，這是傅里葉本人及其同時代人都難以預料到的，而且，這種影響至今還在發(fā)展之中． 傅里葉之所以能取得富有如此深刻內容的成就，正如撰寫過傅里葉傳記的兩位作者所說：這只有富于生動的想象力和具有適合其工作的清醒的數(shù)學哲學頭腦的數(shù)學大師才能達到．從傅里葉的著作中，我們看到：他堅信數(shù)學是解決實際問題的最卓越的工具，并且認為“對自然界的深刻研究是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的最富饒的源泉”．這一見解是傅里葉一生從事學術研究的指導性觀點，而且已經成為數(shù)學史上強調通過研究實際問題發(fā)展數(shù)學(包括應用數(shù)學和純粹數(shù)學)的一派數(shù)學家的代表性格言． 傅里葉的研究成果又是表現(xiàn)數(shù)學的美的典型，傅里葉級數(shù)被一些科學家稱頌為“一首數(shù)學的詩”．他的工作還引起了他的同時代的哲學家的重視．法國哲學家、實證主義的創(chuàng)始人 A．孔德(Comte)在《實證哲學教程》(Cours de philosophie positive，1842)中，把牛頓的力學理論和傅里葉的熱傳導理論都看作是實證主義基本觀點在科學中的重要印證．而辯證唯物主義哲學家 F．恩格斯(Engels)則把傅里葉的數(shù)學成就與他所推崇的哲學家 G．W．F．黑格爾(Hegel)的辯證法相提并論，他寫道：傅里葉是一首數(shù)學的詩，黑格爾是一首辯證法的詩． |
|
|
來自： l1hf > 《數(shù)學家》
