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棣莫弗 中國科學院自然科學史研究所 張祖貴 棣莫弗，A．(De Moiver，Abraham)1667年5月26日生于法國維特里的弗朗索瓦；1754年11月27日卒于英國倫敦．數(shù)學． 棣莫弗出生于法國的一個鄉(xiāng)村醫(yī)生之家，其父一生勤儉，以行醫(yī)所得勉強維持家人溫飽．棣莫弗自幼接受父親的教育，稍大后進入當?shù)匾凰熘鹘虒W校念書，這所學校宗教氣氛不濃，學生們得以在一種輕松、自由的環(huán)境中學習，這對他的性格產(chǎn)生了重大影響．隨后，他離開農(nóng)村，進入色拉的一所清教徒學院繼續(xù)求學，這里卻戒律森嚴，令人窒息，學校要求學生宣誓效忠教會，棣莫弗拒絕服從，于是受到了嚴厲制裁，被罰背誦各種宗教教義．那時，學校不重視數(shù)學教育，但棣莫弗常常偷偷地學習數(shù)學．在早期所學的數(shù)學著作中，他最感興趣的是C．惠更斯(Huygens)關(guān)于賭博的著作，特別是惠更斯于1657年出版的《論賭博中的機會》(Deratiociniis in ludo aleae)一書，啟發(fā)了他的靈感． 1684年，棣莫弗來到巴黎，幸運地遇見了法國杰出的數(shù)學教育家、熱心傳播數(shù)學知識的J．奧扎拉姆(Ozanam)．在奧扎拉姆的鼓勵下，棣莫弗學習了歐幾里得(Enclid)的《幾何原本》(Ele-ments)及其他數(shù)學家的一些重要數(shù)學著作． 1685年，棣莫弗與許多信仰新教的教友一道，參加了震驚歐洲的宗教騷亂，在這場騷亂中，他與許多人一起被監(jiān)禁起來．正是在這一年，保護加爾文教徒的南茲敕令被撤銷．隨后，包括棣莫弗在內(nèi)的許多有才華的學者由法國移住英國．據(jù)教會的材料記載，棣莫弗一直被監(jiān)禁至1688年才獲釋，并于當年移居倫敦．但據(jù)20世紀60年代發(fā)現(xiàn)的一份當時的材料，1686年時棣莫弗已經(jīng)到了英國．隨后，棣莫弗一直生活在英國，他對數(shù)學的所有貢獻全是在英國做出的． 抵達倫敦后，棣莫弗立刻發(fā)現(xiàn)了許多優(yōu)秀的科學著作，于是如饑似渴地學習．一個偶然的機會，他讀到I．牛頓(Newton)剛剛出版的《自然哲學的數(shù)學原理》(Mathematical principles of natural philosophy)，深深地被這部著作吸引了．后來，他曾回憶起自己是如何學習牛頓的這部巨著的：他靠做家庭教師糊口，必須給許多家庭的孩子上課，因此時間很緊，于是就將這部巨著拆開，當他教完一家的孩子后去另一家的路上，趕緊閱讀幾頁，不久便把這部書學完了．這樣，棣莫弗很快就有了充實的學術(shù)基礎(chǔ)，并開始進行學術(shù)研究． 1692年，棣莫弗拜會了英國皇家學會秘書E．哈雷(Halley)，哈雷將棣莫弗的第一篇數(shù)學論文“論牛頓的流數(shù)原理”(On New-ton’s doctrine of fluxions)在英國皇家學會上宣讀，引起了學術(shù)界的注意．1697年，由于哈雷的努力，棣莫弗當選為英國皇家學會會員． 棣莫弗的天才及成就逐新受到了人們廣泛的關(guān)注和尊重．哈雷將棣莫弗的重要著作《機會的學說》(The doctrine of chances)呈送牛頓，牛頓對棣莫弗十分欣賞．據(jù)說，后來遇到學生向牛頓請教概率方面的問題時，他就說：“這樣的問題應(yīng)該去找棣莫弗，他對這些問題的研究比我深入得多”．1710年，棣莫弗被委派參與英國皇家學會調(diào)查牛頓-萊布尼茨關(guān)于微積分優(yōu)先權(quán)的委員會，可見他很受學術(shù)界的尊重．1735年，棣莫弗被選為柏林科學院院士．1754年，又被法國的巴黎科學院接納為會員． 棣莫弗終生未婚．盡管他在學術(shù)研究方面頗有成就，但卻貧困潦倒．自到英國倫敦直至晚年，他一直做數(shù)學方面的家庭教師．他不時撰寫文章，還參與研究確定保險年金的實際問題，但獲得的收入?yún)s極其微薄，只能勉強糊口．他經(jīng)常抱怨說，周而復始從一家到另一家給孩子們講課，單調(diào)乏味地奔波于雇主之間，純粹是浪費時間．為此，他曾做了許多努力，試圖改變自己的處境，但無濟于事． 棣莫弗在87歲時患上了嗜眠癥，每天睡覺長達20小時．當時有一 等差級數(shù)．當24小時高睡不起時，他便在貧寒中離開了人世． 概率論肇始于17世紀，G．卡爾達諾(Cardano)、P．費馬(Ferman)、B．帕斯卡(Pascal)等人是概率論早期的研究者，他們所研究的主要是關(guān)于相互獨立隨機事件的概率——機會方面的問題，討論如賭博、有獎抽彩過程中的“機會”．逐漸地，人們要求解決與大量事件集合有關(guān)的概率或期望值問題，如獎券的總數(shù)很大，已知每一張獎券中獎的機會都相等，那么抽取1000張、10000張獎券中獎的概率有多大呢？人們希望了解，如果要保證中獎的可能性達到90％，那么至少應(yīng)該購買多少張獎券． 考慮一系列隨機事件(如隨機地拋擲硬幣)，某一事件出現(xiàn)(如拋擲硬幣時出現(xiàn)正面)之概率為P，n表示所有隨機事件的總數(shù)，m是某一事件出現(xiàn)的數(shù)目，那么該事件出現(xiàn)的次數(shù)(m)與全體事件的次數(shù)(n)之比將會呈現(xiàn)什么規(guī)律呢？這是17世紀概率論中一個十分重要的問題． 1713年，雅格布·伯努利(Jacob Bernoulli)的遺著《猜度術(shù)》(Ars conjectandi)出版，書中表明他經(jīng)過多次反復的試驗，證明在一定范圍內(nèi) 試驗，則上述概率為0.9999；再增加5708次，即進行36966次試驗，則上述概率為0.99999，等等．因此雅格布·伯努利指出：“無限地連續(xù)進行試驗，我們終能正確地計算任何事物的概率，并從偶然現(xiàn)象之中看到事物的秩序?！钡牵⑽幢硎龀鲞@種偶然現(xiàn)象中的秩序．這一工作是由棣莫弗完成的． 棣莫弗在雅格布·伯努利的《猜度術(shù)》出版之前，就對概率論進行了廣泛而深入的研究．1711年，他在英國皇家學會的《哲學學報》(Philosophical Transactions)上發(fā)表了“論抽簽的原理”(De mensure sortis)，該文于1718年用英文出版時翻譯成《機會的學說》(The doctrine of chances)，并擴充成一本書．他在書中并沒討論上述雅格布·伯努利討論的問題，1738年再版《機會的學說》時，棣莫弗才對上述問題給出了重要的解決方法． 棣莫弗在《機會的學說》(1738年版)中稱，在1725年左右，他就考慮過多次反復試驗中的預(yù)期概率問題．他曾在注明日期為1733年11月13日的一份拉丁文論文中指出：“坦率地說，這是在關(guān)于機會的學問中所能提出的最困難的問題．”他的解答是這樣的：在n次試驗中，獲得m次成功(即某一特定事件出現(xiàn))的概率，是通過(a＋b)n的表達式中含有m次的那一項(即第m＋1項)表示出來的，也就是說，n次試驗中某一事件出現(xiàn)m次的概率為 其中，a是某一事件出現(xiàn)的概率，而b=1-a． 這樣，棣莫弗就得到二項分布 其中ξ隨機變數(shù)，而P(ξ-K)為ξ的分布列． 然后，他又考慮一般的二項式公式(a＋b)n，發(fā)現(xiàn)二項式(1＋1)n的中項與各項之和(2n)之間的比例關(guān)系為(當n很大時) 弗在1730年的《分析雜論》(Miscellanea analytica)中給出了對很大的n，關(guān)于n！的近似公式 這是棣莫弗首先給出的，但在數(shù)學史上卻被稱為斯特靈公式或斯特靈逼近．歷史事實是，棣莫弗首先得到 他知道常數(shù)C僅僅是一個無窮級數(shù)之和的極限，但卻沒有求出C的值．后來，他的朋友J．斯特 靈(Stirling)利用他的發(fā)現(xiàn)作了進一步的探討， 莫弗． 式(a＋b)n從任意一項至中心項的總和．于是，他發(fā)現(xiàn)了二項分布Cmn·am·(1-a)n-m的極限式將呈現(xiàn)一種新的形式．他提出一個具有啟發(fā)性的例子，并認為這是“機會”(概率論)最難解決的問題：事件 于1830次，也不少于1770次，也就是說，已經(jīng)得到平均誤差為 n次試驗中出現(xiàn)m次事件的概率之期望值滿足的關(guān)系式 其中m(n)是n次試驗中出現(xiàn)m次事件的概率．也就是說，棣莫弗首次發(fā)現(xiàn)二項分布的極限形式為一正態(tài)分布． 后來，P．S．拉普拉斯(Laplace)對棣莫弗的結(jié)果進行推廣，得到了今天的棣莫弗-拉普拉斯積分極限定理： 若隨機變數(shù)ξn服從二項分布，即P(ξn=m)=Cmnam·(1-a)n-m，其中0＜a＜1，m=0，1，2，…，n，則有 棣莫弗最先引入的正態(tài)分布在概率、統(tǒng)計發(fā)展中占有重要地位．后來，拉普拉斯、C．F．高斯(Gauss)等進行了推廣．人們陸續(xù)發(fā)現(xiàn)，許多隨機現(xiàn)象服從正態(tài)分布． 設(shè)ξn(n=1，2，…)為相互獨立的隨機變數(shù)序列，有有限的數(shù)學期望E(ξk)=ak和方差D(ξk)=δ2k，(k=1，2，…)，令 一致地有 則稱隨機序列｛ξn｝服從中心極限定理． 不難證明，若設(shè)ξn(n=1，2，…)為相互獨立且具有相同兩點分布的隨機變數(shù)序列，且P｛ξm=1｝=a，P｛ξm=0｝=1-a，(m=1，2，…)，0＜a＜1，則｛ξn｝服從中心極限定理．這一定理的雛型是棣莫弗最先提出的． 在對概率論的研究中，棣莫弗第一次引入了正態(tài)密度函數(shù)(正 布的極限式為正態(tài)分布的發(fā)現(xiàn)，在相當長時間里被人遺忘了．直到1924年K．皮爾遜(Pearson)著“正態(tài)曲線史”(Ahistory ofthe normal curve)一文，重新提到棣莫弗的工作，人們才認識到他的貢獻． 利用棣弗莫的上述結(jié)論，可以解決在一定范圍內(nèi)存在的期望的概率 棣莫弗將他的成果大量地應(yīng)用于諸如此類的問題．上述棣莫弗-拉普拉斯積分極限定理及中心極限定理還可用來解決反過來的統(tǒng)計問題：已知在一定范圍內(nèi)存在的期望的概率，求某一事件出現(xiàn)的概率，或者求滿足一定概率條件所需要的試驗次數(shù)，等等． 棣莫弗的《機會的學說》在概率論發(fā)展中起著承前啟后的作用，尤其是二項分布、正態(tài)分布函數(shù)、中心極限定理等方面的工作，開辟了概率論發(fā)展的新方向．對于他來說，重要的是解決了這樣的哲學問題：在人們以為是純粹偶然的事件中，可以尋找出其規(guī)律和必然．正如他在該書英文第三版中所指出的那樣，盡管機會具有不規(guī)則性，由于機會無限多，隨著時間的推移，不規(guī)則性與秩序相比將顯得微不足道．他認為，這種秩序自然是從“固有設(shè)計中”產(chǎn)生出來的． 在《機會的學說》中，棣莫弗得到了泊松分布的一種特殊情形，并將母函數(shù)用于對正態(tài)分布的討論；在研究差分方程時，他將循環(huán)級數(shù)方法應(yīng)用于差分方程的求解；此外，他在這部著作中還對賭博中涉及的概率問題進行了深入探討．他的許多方法尤其是母函數(shù)方法在概率論發(fā)展中占有十分重要的地位． 棣莫弗是18世紀力主將概率論應(yīng)用于人文、社會科學研究的重要人物之一，他在這方面的工作與哈雷密切相關(guān)．哈雷在1693年就制定了確定保險年金的理論，在他的統(tǒng)計數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，棣莫弗于1725年出版了《年金論》(Anuities upon lives)一書． 《年金論》不僅改進了以往眾所周知的關(guān)于人口統(tǒng)計的方法，而且在假定死亡率所遵循的規(guī)律以及銀行利息不變的情況下，推導出了計算年金的公式，從而為保險業(yè)提供了合理處理有關(guān)問題的依據(jù)，這些內(nèi)容被后人奉為經(jīng)典．在這部書中，棣莫弗提出了一個死亡假說，即在每86個嬰兒出生后，每年將死掉一個．他的《年金論》在歐洲產(chǎn)生了廣泛影響，先后出版了7次之多，1725年、1743年、1750年、1752年、1756年分別用英文出版，1776年出版了意大利文本，1906年出版了德文譯本． 另外，棣莫弗還得到一些與復數(shù)有關(guān)的重要結(jié)果．他運用復數(shù)理論，證明了求解二項方程 xn-1=0 相當于把圓周分成n等分，故二項方程又稱分圓方程． 在復數(shù)理論的發(fā)展中，現(xiàn)在稱之為棣莫弗定理的 顯得十分重要，它是早期復數(shù)理論中最有意義的關(guān)鍵公式之一．棣莫弗在1707年的一篇文章中隱約地得到了這一結(jié)果，在1722年的一篇筆記中，他利用1707年的結(jié)論，推導出代表比為1∶n的角的正矢(vers α=1-cosα)中x與t之間的關(guān)系，可以通過參數(shù)z表示： 他認為這一表示式在n是正整數(shù)時成立．實際上，他只得到了上述表達式．如令x=1-cosθ，t=1-cosnθ，則可得到(cosθ±isinθ)n=cosnθ±isinnθ．他從未寫出過最后明確的結(jié)論．完整的棣莫弗公式是歐拉在1748年給出的，歐拉還給出完整的證明．值得提出的是，棣莫弗間接地得到了下述公式： |
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