復(fù)數(shù)是指能寫成如下形式的數(shù)a+bi,這里a和b是實數(shù)，i是虛數(shù)單位（即-1開根）。 由意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)在十六世紀(jì)首次引入，經(jīng)過達(dá)朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數(shù)學(xué)家所接受。 復(fù)數(shù)有多種表示法，諸如向量表示、三角表示，指數(shù)表示等。它滿足四則運算等性質(zhì)。它是復(fù)變函數(shù)論、解析數(shù)論、傅里葉分析、分形、流體力學(xué)、相對論、量子力學(xué)等學(xué)科中最基礎(chǔ)的對象和工具。另外，復(fù)數(shù)還指在英語中與單數(shù)相對，兩個及兩個以上的可數(shù)名詞。

　　16世紀(jì)意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)（Jerome Cardan1501—1576）在1545年發(fā)表的《重要的藝術(shù)》一書中，公布了三次方程的一般解法，被后人稱之為“卡當(dāng)公式”。他是第一個把負(fù)數(shù)的平方根寫到公式中的數(shù)學(xué)家，并且在討論是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等于40時，他把答案寫成（5+√-15)*(5-√-15)=25-(-15)=40，盡管他認(rèn)為5+√-15和5-√-15這兩個表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的，但他還是把10分成了兩部分，并使它們的乘積等于40。給出“虛數(shù)”這一名稱的是法國數(shù)學(xué)家笛卡爾（1596—1650），他在《幾何學(xué)》（1637年發(fā)表）中使“虛的數(shù)”與“實的數(shù)”相對應(yīng)，從此，虛數(shù)才流傳開來。
　　數(shù)系中發(fā)現(xiàn)一顆新星——虛數(shù)，于是引起了數(shù)學(xué)界的一片困惑，很多大數(shù)學(xué)家都不承認(rèn)虛數(shù)。德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨（1646—1716）在1702年說：“虛數(shù)是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”。瑞士數(shù)學(xué)大師歐拉（1707—1783）說：“一切形如，√-1，√-2的數(shù)學(xué)式子都是不可能有的，想象的數(shù)，因為它們所表示的是負(fù)數(shù)的平方根。對于這類數(shù)，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻。”然而，真理性的東西一定可以經(jīng)得住時間和空間的考驗，最終占有自己的一席之地。法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾（1717—1783）在1747年指出，如果按照多項式的四則運算規(guī)則對虛數(shù)進(jìn)行運算，那么它的結(jié)果總是a+bi的形式（a、b都是實數(shù)）。法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667—1754）在1730年發(fā)現(xiàn)了著名的棣莫弗定理（見上文）。歐拉在1748年發(fā)現(xiàn)了有名的關(guān)系式，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i來表示-1的平方根，首創(chuàng)了用符號i作為虛數(shù)的單位?！疤摂?shù)”實際上不是想象出來的，而它是確實存在的。挪威的測量學(xué)家成塞爾（1745—1818）在1779年試圖給于這種虛數(shù)以直觀的幾何解釋，并首先發(fā)表其作法，然而沒有得到學(xué)術(shù)界的重視。
　　德國數(shù)學(xué)家阿甘得（1777—1855）在1806年公布了虛數(shù)的圖象表示法，即所有實數(shù)能用一條數(shù)軸表示，同樣，虛數(shù)也能用一個平面上的點來表示。在直角坐標(biāo)系中，橫軸上取對應(yīng)實數(shù)a的點A，縱軸上取對應(yīng)實數(shù)b的點B，并過這兩點引平行于坐標(biāo)軸的直線，它們的交點C就表示復(fù)數(shù)a+bi。象這樣，由各點都對應(yīng)復(fù)數(shù)的平面叫做“復(fù)平面”，后來又稱“阿甘得平面”。高斯在1831年，用實數(shù)組（a，b）代表復(fù)數(shù)a+bi，并建立了復(fù)數(shù)的某些運算，使得復(fù)數(shù)的某些運算也象實數(shù)一樣地“代數(shù)化”。他又在1832年第一次提出了“復(fù)數(shù)”這個名詞，還將表示平面上同一點的兩種不同方法——直角坐標(biāo)法和極坐標(biāo)法加以綜合。統(tǒng)一于表示同一復(fù)數(shù)的代數(shù)式和三角式兩種形式中，并把數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)，擴展為平面上的點與復(fù)數(shù)一一對應(yīng)。高斯不僅把復(fù)數(shù)看作平面上的點，而且還看作是一種向量，并利用復(fù)數(shù)與向量之間一一對應(yīng)的關(guān)系，闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法與乘法。至此，復(fù)數(shù)理論才比較完整和系統(tǒng)地建立起來了。
　　經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家長期不懈的努力，深刻探討并發(fā)展了復(fù)數(shù)理論，才使得在數(shù)學(xué)領(lǐng)域游蕩了200年的幽靈——虛數(shù)揭去了神秘的面紗，顯現(xiàn)出它的本來面目，原來虛數(shù)不虛。虛數(shù)成為了數(shù)系大家庭中一員，從而實數(shù)集才擴充到了復(fù)數(shù)集。
　　隨著科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)步，復(fù)數(shù)理論已越來越顯出它的重要性，它不但對于數(shù)學(xué)本身的發(fā)展有著極其重要的意義，而且為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據(jù)。復(fù)數(shù)理論在生活中也有。

　　復(fù)數(shù)
　　數(shù)集拓展到實數(shù)范圍內(nèi)，仍有些運算無法進(jìn)行。比如判別式小于0的一元二次方程仍無解，因此將數(shù)集再次擴充，達(dá)到復(fù)數(shù)范圍。
　　形如z=a+bi的數(shù)稱為復(fù)數(shù)（complex number)，其中規(guī)定i為虛數(shù)單位，且i^2=i×i=－1（a，b是任意實數(shù)）
　　我們將復(fù)數(shù)z=a+bi中的實數(shù)a稱為復(fù)數(shù)z的實部（real part)記作Rez=a
　　實數(shù)b稱為復(fù)數(shù)z的虛部（imaginary part）記作 Imz=b.
　　已知：當(dāng)b=0時，z=a，這時復(fù)數(shù)成為實數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時，它是實數(shù)0；
　　當(dāng)a=0且b≠0時，z=bi，我們就將其稱為純虛數(shù)。
　
　　將復(fù)數(shù)的實部與虛部的平方和的正的平方根的值稱為該復(fù)數(shù)的模，記作∣z∣.
　　即對于復(fù)數(shù)z=a+bi，它的模
　　∣z∣=√（a^2+b^2)
　　復(fù)數(shù)的集合用C表示，實數(shù)的集合用R表示，顯然，R是C的真子集。
　　復(fù)數(shù)集是無序集，不能建立大小順序。　　復(fù)數(shù)是指能寫成如下形式的數(shù)a+bi,這里a和b是實數(shù)，i是虛數(shù)單位（即-1開根）。 由意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)在十六世紀(jì)首次引入，經(jīng)過達(dá)朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數(shù)學(xué)家所接受。 復(fù)數(shù)有多種表示法，諸如向量表示、三角表示，指數(shù)表示等。它滿足四則運算等性質(zhì)。它是復(fù)變函數(shù)論、解析數(shù)論、傅里葉分析、分形、流體力學(xué)、相對論、量子力學(xué)等學(xué)科中最基礎(chǔ)的對象和工具。另外，復(fù)數(shù)還指在英語中與單數(shù)相對，兩個及兩個以上的可數(shù)名詞。