對一份高三數(shù)學(xué)試卷中的錯(cuò)因的分析

撰文/大罕

這是一份高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(文科)試卷.應(yīng)試者是上海某區(qū)重點(diǎn)高中的學(xué)生.她的成績居于中下水平.試卷滿分100分,所得分?jǐn)?shù)為69分.

下面我們仔細(xì)看看,錯(cuò)誤的原因何在.

1.函數(shù)f(x)=1-x²(x<0)的反函數(shù)是
錯(cuò)因:原函數(shù)的值域出錯(cuò)

2.過直線3x+2y-7=0與直線4x-y-2=0的交點(diǎn),且與直線2x-y+3=0垂直的直線方程為
錯(cuò)因:粗心大意

3.若函數(shù)f(x)=3sin2x-4cos2x=化為f(x)=Acos(wx+φ)的形式,則φ可用反正切函數(shù)值表示為φ=
錯(cuò)因:對變形過程的真正含義模糊所致.

4.已知全集I={n|n≤200,nZ*}, 若集合A={n|n=3k,k∈Z*,n∈I},B={n|n=5k,k∈Z*,n∈I},則集合A∪B的補(bǔ)集所含有的元素個(gè)數(shù)為
錯(cuò)因:被似是而非的現(xiàn)象迷惑.

5.現(xiàn)行銀行三年期定期儲蓄存款年利率為5.40%，某人用10萬元連存兩期此類儲蓄，若假定利率保持不變，則六年到期時(shí)此人所得的本利和最多為（精確到1分）
錯(cuò)因:對利率問題的恐慌癥.

6.有下列命題:
①函數(shù)y=tanx是遞增函數(shù);
②函數(shù)y=sinx在第一象限內(nèi)是遞增函數(shù)
③函數(shù)y=cosx的遞增區(qū)間[2kπ-π/2,2kπ+π/2](k∈Z)是
其中真命題的個(gè)數(shù)為
A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D0個(gè)
錯(cuò)因:對函數(shù)的單調(diào)性缺乏深刻的認(rèn)識,以及對正弦余弦及正切函數(shù)不夠熟悉.

7.若有數(shù)列{a_n},{b_n},則lima_n(n-∞) 和limb_n(n-∞)分別存在是lim(a_n/b_n)(n-∞) 存在的
A充分條件 B必要條件 C充要條件 D非充分且非必要條件
錯(cuò)因:概念模糊.

8.若曲線C的方程不是F(x,y)=0,則曲線C上
A 任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程
B 存在無數(shù)個(gè)點(diǎn),它們的坐標(biāo)都不滿足方程F(x,y)=0;
C 至少存在一點(diǎn),其坐標(biāo)不滿足方程F(x,y)=0;
D 任意一點(diǎn)的坐標(biāo)有可能都滿足方程F(x,y)=0.
錯(cuò)因:對方程的曲線與曲線的方程沒有真正理解.

9.⑴已知橢圓C,x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),F₁ (c,0)為C的一個(gè)焦點(diǎn),P(x,y)為C上任意一點(diǎn),l=|PF₁|, 試寫出l關(guān)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)解析式l=f(x), 并求證:當(dāng)l取最大值和最小值時(shí),點(diǎn)P(x,y)分別位于橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn);
⑵2007年11月5日,中國嫦娥一號衛(wèi)星成功實(shí)現(xiàn)第一次近月制動(dòng),衛(wèi)星進(jìn)入距月球表面近月點(diǎn)高度約為210公里,遠(yuǎn)月點(diǎn)高度約為8600公里,且以月球的球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓形軌道.已知月球半徑約3475公里, 試?yán)?span style="FonT-siZe: 10.5pt; FonT-FAMiLY: 宋體">⑴的結(jié)論求衛(wèi)星航行軌道的軌跡方程.
錯(cuò)因:不善于利用橢圓定義來思考與解決問題.
解答：⑴ 橢圓上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，稱為焦半徑。上海教材對于離心率、準(zhǔn)線等概念予以省略，失去了證明焦半徑公式的簡捷方法。那么，我們就采用兩點(diǎn)距離公式以及點(diǎn)在曲線上，計(jì)算出結(jié)果。把y=b√(a²-x²)/a 代入l=|PF₁|=√[(x-c)²+y²]，化簡，可得到l=a-cx/a. 因?yàn)?a≤x≤a，而函數(shù)l=a-cx/a是減函數(shù)，所以當(dāng)x＝-a時(shí)l取最大值，當(dāng)x＝a時(shí)取得最小值，此時(shí)點(diǎn)P(x,y)分別位于橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn).
⑵以軌道中心O為原點(diǎn)，以過軌道中心O和月球圓圓心F的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，以下就可以求出橢圓的長半軸和短半軸長，衛(wèi)星的軌跡方程就可求出。

10.已知曲線C的方程為:y⁴=(x²-1)²
⑴試指出方程所表示的是怎樣的曲線,并在所給的平面直角坐標(biāo)系中作出該曲線的大致圖像;
⑵試就實(shí)數(shù)的不同取值,討論直線l,y=kx-2與曲線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).
錯(cuò)因:不會利用方程的性質(zhì)來討論幾何圖形的形狀.

分析與診斷:

1. 加強(qiáng)對函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性)與圖像的復(fù)習(xí)。
2．加強(qiáng)對概念（極限）的理解.
3．選填題失分過多。
4．在綜合題面前不可一籌莫展。