上海市2006年高考數(shù)學(xué)理科第21題賞析
大罕

    已知有窮數(shù)列{a_n}共有2k項（整數(shù)k≥2），首項a₁＝2．設(shè)該數(shù)列的前n項和為S_n，且a_n+1=(a-1)S_n+2（n＝1,2,…,2k-1），其中常數(shù)a＞1．
  （1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
  （2）若a_n=2^2/(2k-1) ，數(shù)列{b_n}滿足b_n=(1/n)log₂(a₁a₂…a_n) （n＝1,2,…,2k），求數(shù)列{b_n}的通項公式；
  （3）若（2）中的數(shù)列{b_n}滿足不等式|b₁-3/2|+|b₂-3/2|+…+|b_2k-1-3/2|+| b_2k-3/2|≤4，求k的值．
   分析：第（1）問很平凡,易知它是首項為2,公比為a的等比數(shù)列．
   第（2）問比較抽象，計算要細(xì)心.這一問,也是為第（3）問奠定基礎(chǔ).不難得出b_n＝1+(n-1)/(2k-1)．
   第（3）問很妙,妙在數(shù)列{b_n}是一個很奇特的數(shù)列,需要我們發(fā)現(xiàn)它,提示它!奇特在于：
   一、因為數(shù)列{b_n}通項公式是一次函數(shù)，所以它是等差數(shù)列，并且項數(shù)為偶數(shù)2k；
   二、由b_n-3/2=[2(n-k)-1]/2(2k-1)可知,當(dāng)n<k+1/2時，b_n-3/2<0，當(dāng)n≥k+1時，b_n-3/2>0，即數(shù)列的前k項小于3/2，后k項大于3/2．
   三、由上述兩點可知(可觀察圖像),|b₁-3/2|+|b_k+1-3/2|=|b₂-3/2|+|b_k+2-3/2|=…=|b_k-3/2|+|b_k+k-3/2|=常數(shù),經(jīng)計算,此常數(shù)為k/(2k-1)． 
   所以,|b₁-3/2|+|b₂-3/2|+…+|b_2k-1-3/2|+| b_2k-3/2|≤4可變?yōu)閗²/(2k-1)≤4．
   解之,再結(jié)合整數(shù)k≥2,可知k＝2,3,4,5,6,7.
   賞析：本題作為倒數(shù)第二道題，起到了一定的壓軸作用。從第二問開始，在多個字母下進(jìn)行抽象變形，對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力有一定的要求，不偏不怪不易。尤其是第二問給出的數(shù)列具有奇特的性質(zhì)，不禁為命題人的匠心所嘆服。正由于等差數(shù)列的項中,前一半比某數(shù)小，后一半比某數(shù)大，不多不少，才會想出兩兩搭配、逐個相加的辦法，而此時，參數(shù)k搖身一變，反客為主，寓方程之中，從而勢如破竹，完美結(jié)局，皆大歡喜。