2013年上海高考題（理科）第22題（壓軸題）講評(píng)

大罕

    22．(本題滿分16分）本題共有兩個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分.
    如圖，已知曲線C₁：x²/2-y²=1，曲線C₂：|y|=|x|+1，P是平面上一點(diǎn)，若存在過(guò)點(diǎn)P的直線與C₁, C₂都有公共點(diǎn)，則稱P為“C₁—C₂型點(diǎn)”．
    (1)在正確證明C₁的左焦點(diǎn)是“C₁—C₂型點(diǎn)”時(shí)，要使用一條過(guò)該焦點(diǎn)的直線，試寫(xiě)出一條這樣的直線的方程（不要求驗(yàn)證）；
    (2)設(shè)直線y=kx與C₂有公共點(diǎn)，求證|k|>1，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C₁—C₂型點(diǎn)”；
    (3)求證：圓x²+y²=1/2內(nèi)的點(diǎn)都不是“C₁—C₂型點(diǎn)”．
    解答：
   （1）C₁的左焦點(diǎn)為F(-√3,0)，過(guò)F的直線x=-√3,與C₁交于(-√3,±√2/2)，與C₂交于(-√3,±(√3+1))，故C₁的左焦點(diǎn)為“C₁—C₂型點(diǎn)”；
   （2）若直線y=kx與C₂有公共點(diǎn)，則把y=kx代入|y|=|x|+1，可得(|k|-1)|x|=1，此方程有解，所以|k|>1；
   若直線y=kx與C₁有公共點(diǎn)，則把y=kx代入x²/2-y²=1，可得(1－2k²)x²=2，此方程有解，所以1－2k²>0，即k²<1/2；
   ∵{k||k|>1}∩{k|| k²<1/2}＝Φ ,
   ∴直線y=kx（過(guò)原點(diǎn)）至多與曲線C₁和C₂中的一條有交點(diǎn)，即原點(diǎn)不是“C₁—C₂型點(diǎn)”.

（3）若圓x²+y²=1/2內(nèi)存在一點(diǎn)是“C₁—C₂型點(diǎn)”，則存在直線l與C₁,C₂都有交點(diǎn).過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的直線l若與曲線C₁有交點(diǎn)，則顯然斜率必存在，
   根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)直線l斜率存在且與曲線C₂交于點(diǎn)(t,t+1)(t≥0)，則l：y-(t+1)=k(x-t)，即kx-y+(t+1-kt)=0,
   ∵ 直線l與圓x²+y²=1/2相交，
   ∴ |1+t-kt|/√(k2+1)< √2/2，
   化簡(jiǎn)可得，(1+t-kt)²<(1/2)(k²+1) ………………①
   若直線l與曲線C₁有交點(diǎn)，
   則由y=kx-kt+t+1和x²/2-y²=1聯(lián)立消去y，得
    (k²-1/2)x²+2k(1+t-kt)x+(1+t-kx)²+1=0.
   △=4k²(1+t-kt)²-4(k²-1/2)[(1+t-kx)²+1]≥0
   化簡(jiǎn)得 (1+t-kt)2≥2(k²-1)  …………………… ②
    由①②得，2(k²-1) ≤(1/2)(k²+1),
   ∴ k²<1,
   此時(shí)我們?cè)倏疾棰?，注意到t≥0和k<1, ∴①的左邊＝[1+t(1-k)]² ≥1，
   同時(shí)注意到k²<1，∴①的右邊＝(1/2)(k²+1)<1，
   因此①式是不成立的,這說(shuō)明直線l若與圓x²+y²=1/2內(nèi)有交點(diǎn)，則不可能同時(shí)與曲線C₁和C₂有交點(diǎn)，
即圓x²+y²=1/2內(nèi)的點(diǎn)都不是“C₁—C₂型點(diǎn)” ．
   評(píng)論：有一種說(shuō)法：“上海數(shù)學(xué)卷的難度低于全國(guó)卷”.這種說(shuō)法正確嗎？事實(shí)上，上海卷的壓軸題（第3小題），也是夠難的了.
   常常以“創(chuàng)新題”的面貌出現(xiàn)，是上海卷的特色，本身就是難點(diǎn)！所謂“創(chuàng)新題”，就是題目給出一個(gè)新的概念，要求考生當(dāng)場(chǎng)理解，并予以解答，考前是無(wú)法模擬的，憑的全是實(shí)力.
   頭緒紛繁是上海卷壓軸題的另一特色.“C₁—C₂型點(diǎn)”是什么？經(jīng)過(guò)某點(diǎn)的直線與給定的兩條曲線都相交，這個(gè)點(diǎn)就是“C₁—C₂型點(diǎn)”．這樣的設(shè)計(jì)，一個(gè)概念中竟涉及到一點(diǎn)、一直線和兩曲線，頭緒紛繁，你說(shuō)難不難？
   需要極強(qiáng)的抽象能力和運(yùn)算能力，也是上海卷壓軸的一大特色.含參數(shù)的直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，與含絕對(duì)值的直線型方程聯(lián)立，在一大堆字母的情形下準(zhǔn)確地計(jì)算出其判別式，在一片迷茫中把握數(shù)學(xué)變換的方向，找到解決問(wèn)題的癥結(jié)，舉步維艱中，應(yīng)沉著冷靜、心明眼亮.這些對(duì)學(xué)生的心理素質(zhì)和數(shù)學(xué)能力無(wú)疑提出了很高的要求.
  含絕對(duì)值的方程、多元字母的討論、遞推數(shù)列、反證法，這些數(shù)學(xué)上棘手的問(wèn)題，常常在上海卷中出現(xiàn)，這也是一大特色。一般來(lái)說(shuō)，反證法是一種被逼無(wú)奈時(shí)使用的一種方法.在迷宮一樣的數(shù)學(xué)推算中，大膽試探，小心求證，找出矛盾，非能力一般者所能做到.本題解答中，找到了①兩邊不相等故不成立，絕非易事.
   由于上海教材不講全國(guó)教材中的某些內(nèi)容，給人造成一個(gè)錯(cuò)覺(jué)，以為內(nèi)容少了就會(huì)簡(jiǎn)單些，多年來(lái)以訛傳訛，形成了“上海數(shù)學(xué)較簡(jiǎn)單的印象”.上海卷歷年都很有特色.有人甚至說(shuō)：“能引領(lǐng)全國(guó)試題的風(fēng)格和方向，值得加以研究”.從試卷這一角度也能反映上海數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)，少而精，并非簡(jiǎn)而單.是否能引領(lǐng)全國(guó)（各地）試題的風(fēng)格和方向，個(gè)人觀點(diǎn)那倒不一定.但它在全國(guó)各地試題中具備獨(dú)特的風(fēng)格和體現(xiàn)了重在能力的這一方向，是勿庸置疑的，當(dāng)然也是值得研究和學(xué)習(xí)的.