2013年上海高考題（理科）第23題（壓軸題）講評(píng)

大罕

  23．（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題．第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分．
   給定常數(shù)c>0，定義函數(shù)f(x)=2|x+c+4|-|x+c|．?dāng)?shù)列a₁,a₂,a₃,…滿足a_n+1=f(a_n),n∈N^*．
   （1）若a₁=-c-2，求a₂及a₃；
   （2）求證：對(duì)任意n∈N^*，a_n+1-a_n≥c；
   （3）是否存在a₁，使得a₁,a₂,a₃,…,a_n,…成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a₁；若不存在，說明理由．

   解答：
   （1）因?yàn)閏>0，a₁= -(c+2)，故a₂=f(a₁)= 2|a₁+c+4|-|a₁+c|=2 ；
    a₃=f(a₂)= 2|a₂+c+4|-|a₂+c|=2|2+c+4|-|2+c|=c+10；
   （2）a_n+1-a_n≥c <=> f(a_n)≥a_n+c,<=>2|x+c+4|≥|x+c|+x+c， 
    令a_n=x,只需證明2|x+c+4|≥|x+c|+x+c 對(duì)任意x∈R都成立；
    若x+c≤0，顯然有2|x+c+4|≥|x+c|+x+c成立；
    若x+c>0，則2|x+c+4|≥|x+c|+x+c <=> |x+c+4|>x+c ，也顯然成立.
    綜上，f(x)≥x+c恒成立.所以對(duì)任意n∈N^*，a_n+1-a_n≥c成立；
   （3）由（2）知，若{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)公差為常數(shù)d，則d=a_n+1-a_n≥c>0，故總有a_n>0,
    此時(shí)，a_n+1-a_n=f(a_n)-a_n=2(a_n+c+4)-(a_n+c)-a_n=c+8,即d=c+8,
    故a₂=f(a₁)=2|a₁+c+4|-|a+c|= a₁+c+8，
    即2|a₁+c+4|=|a₁+c|+a₁+c+8，
    當(dāng)a₁+c≥0時(shí)，等式成立，且n≥2時(shí)，a_n>0，此時(shí){a_n}為等差數(shù)列，符合題意，所以a₁≥-c；
    若a₁+c<0，則|a₁+c+4|=4  => a₁=-c-8，此時(shí)，a₂=0, a₃=c+8,…, a_n=(n-2)(c+8)也符合題意；
    所以a₁的取值范圍是[-c,+∞)∪{-c-8}.

   評(píng)論：
    又是一個(gè)絕對(duì)值問題！我在第22題的評(píng)論中提到，絕對(duì)值問題相當(dāng)?shù)募?一份試卷，竟用兩道絕對(duì)值壓軸，是否有重復(fù)之嫌？
    第1小題較為簡單，順路走直抵目標(biāo)；
    第2小題完成它膽子要大.否則被它抽象的面目嚇壞了.實(shí)際上，a_n+1-a_n≥c <=> 2|x+c+4|≥|x+c|+x+c，剩下只需對(duì)右邊絕對(duì)值內(nèi)的x+c進(jìn)行符號(hào)討論即可.并不是很難.
    第3小題，先求出等差數(shù)列的公差，再利用a₂與a₁的等量關(guān)系：2|a₁+c+4|=|a₁+c|+a₁+c+8，對(duì)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的式子加以討論，從而求出a₁的取值范圍.
   從第2，3小題看出，打開絕對(duì)值需對(duì)內(nèi)部進(jìn)行討論，是本題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn).對(duì)于一般學(xué)生來講，會(huì)有這樣的氣魄么？
   縱觀全題，為考查一個(gè)等差數(shù)列的性質(zhì)，編造了含絕對(duì)值的遞推式，再圍繞著打開絕對(duì)值符號(hào)加以討論. 這樣的設(shè)計(jì)似乎牽強(qiáng)附會(huì)、累贅，且缺少亮點(diǎn).