朱 希 安

    歷史上中國發(fā)明了珠算。但由于眾所周知的原因，在 20世紀大部分時間里引領世界珠算發(fā)展的作用削弱了。從20世紀80年代開始，中國珠算事業(yè)找到了正確的發(fā)展方向，全國珠算工作者齊心協力，眾志成城，中國珠算在世界上起著越來越重要的作用，并引領和組織世界各地珠算同行,最終于2002年在北京成立了世界珠算心算聯合會，總部設在北京，由中國珠算協會會長遲海濱先生擔任會長,標志著當代中國珠算走向了世界。

一、中國珠算既是中華民族的也是世界的

    中國發(fā)明的珠算，既提供給人類計算技能，還具有教育啟智等功能，科學內涵是十分豐富的。珠算是中華民族傳統(tǒng)的優(yōu)秀文化，也是世界優(yōu)秀文化的組成部分。

    從歷史看，中國珠算在世界上就產生了深遠的影響?！皬拿鞔鱾鞯饺毡?、朝鮮、越南、泰國、南洋群島等地。本世紀 60年代起，先后傳到美國、英國、墨西哥、巴西、加拿大、坦桑尼亞等國家。” [1] 在日本引起對珠算的重視，“讀書、寫字、打算盤”成為日本國民基礎教育的基本知識技能要求。早在20世紀50年代初，日本就建立了珠算組織。50年代也是日本“珠算鑒定、競賽興盛的年代”。同時，日本還經常派出教師，帶上算盤，到世界各地傳授珠算，對珠算的宣傳和普及卓有貢獻。在日本珠算組織的宣傳組織推動下,使電子計算機的故鄉(xiāng)——美國也把珠算作為“新文化”引進。美國一些教育家從經驗中認識到，“使用計算器，只要一按電紐，不會九九也能得出答數來。但是這在初等教育中是不適宜的，而毋寧說是明顯有害的”。1977年8月在加利福尼亞大學成立美國珠算教育中心。該中心主任列奧·理查德博士說：算盤幫助學生認數是個飛躍，算盤也在創(chuàng)造數學。并說：算盤也是一種世界語，不分膚色，一學就會。

    20世紀70年代，中日建交后，日本全國珠算教育連盟連年派代表團來訪，參觀并向外介紹中國的三算結合教學,對于促成中國珠算協會的成立也起了作用。1980年8月，由中國、日本 、美國、巴西等國的珠算教育工作者聯合簽署的《國際珠算教育者會議宣言》指出：努力普及珠算，通過珠算為人類造福，是珠算教育工作者的神圣使命。這是中國與世界各國開展珠算學術交流活動的開始。

    當然，日本珠算同仁之所以能夠在世界各地宣傳、推廣珠算獲得成功，根本原因還在于珠算本身的優(yōu)越性和魅力。事實上，經濟愈發(fā)展計算愈重要，珠算在我國和世界許多國家的經濟和文化建設中，發(fā)揮了重要作用?！敖洕嬎?，過去主要依靠珠算，即使到了電子時代，珠算仍不失其魅力，大有用武之地?！?[1] 最早的計算工具是我國在唐宋時期就開始使用的算盤?，F代人們更加認識到“學會珠算、珠心算，終生受益?！?

   珠算在歷史上充分發(fā)揮了它的計算功能。而在電子時代，由于電腦的廣泛應用，導致珠算的計算功能退居次要位置。然而，人們從珠算活動中發(fā)現了珠算有很好的啟智、教育功能。珠算的教育功能和開智功能，計算機是無法取代的；當然，珠算的計算功能，計算機也不能完全替代。用算盤計算加減，優(yōu)于計算器；至于珠算式心算（簡稱珠心算，下同），計算機更是望塵莫及。即便實行會計電算化，珠算也是不可或缺的輔助計算工具。

  20世紀80年代 以來 ，面對普及計算機的環(huán)境變化， 必須 在珠算學術理論研究真正跟上歷史發(fā)展的步伐。 如果不注意發(fā)展新形勢 特別未從理論上進行研究，既 不 深入發(fā)掘珠算與數學的關系，也沒有深入研究電子計算機與珠算的關系。 不 努力把珠算優(yōu)秀的數學思想方法用于電子計算機時代的數學教育；也 不 把珠算優(yōu)秀思想方法機制用于計算機教育。主要活動仍然還 只 是停留在鑒定、比賽和 珠算技能培訓，或者業(yè)余班教材只是學校數學教材的翻版， 對于珠算的啟智作用研究不夠。 那么任何國家、地區(qū)的珠算都難以發(fā)展，甚至不免由先進走向落后。

二、中國傳統(tǒng)數學科學地位的揭示，引起對珠算學術理論的深入研究

    20世紀中國有了數學史研究。李儼、錢寶琮、吳文俊等作出了巨大的貢獻，不僅考證了中國古代數學的各項發(fā)明，還從基本思想方法上論述了中國古代數學的世界性意義，機械化數學思想與公理化數學思想同樣偉大，是推動世界數學的兩大動力源泉。70年度末，吳文俊先生在研究中國傳統(tǒng)數學時，提出了中國古代數學與西方數學是兩個完全不同的數學體系。他認為：我國數學是以構造性與機械化為主的算法體系，與西方數學公理化演繹體系相對照。吳文俊對古代數學、算法、算具的論述：“大體說來，古代中華民族以竹為籌，以籌運算，自然地導致十進位制的產生。計算數學的優(yōu)越有助于實際問題的具體解決。由此發(fā)展起來的數學形成了一個以構造性、計算性、程序化與機械化為其特色，……隨著數學的不斷前進，也必然會不斷出現更銳利的工具與更簡單的方法，使數學不斷更新，刪繁就簡，去粗存精”。 [2] 在世界數學發(fā)展的歷史長河中，東西方兩種數學體系并不是孤立存在的，而是互相滲透，互為消長。

    中國傳統(tǒng)數學科學地位的揭示，引起對珠算學術理論的深入研究。在歷史上，中國珠算與籌算并存很長時期，“兩者雖然在理論上是相通的，但隨著生產、商業(yè)發(fā)展帶來的對計算工具的高效能要求，籌算的弊端日益凸現出來，總的講是使用不便、不快，保管攜帶不方便”， [3] 而算盤是在一個固定的框架內直觀地顯示‘生成數'、‘五升'、‘十進'，各檔算珠安置在一定的空間內，特別是撥珠動作的簡捷性更是籌算所不能比擬的。最終，珠算替代了籌算而一統(tǒng)天下。中國珠算之所以在歷史長河中長期存在，而且淘汰了其它算具算法，其自身一定有其他算具算法不能替代的、獨特的優(yōu)越性。當今計算機和珠算憑借各自的優(yōu)勢在各自的領域里都在發(fā)揮著作用，所不同的是，計算機的特點是“暗箱操作”，人們看不到它的運算過程。而珠算是“明箱操作”，不僅可明顯看出計算過程，而且孕育著巨大的啟智功能，有益于開發(fā)兒童的智力和數學能力。珠算（算盤）和計算機“一明一暗”地在發(fā)揮著各自的作用，可謂相輔相成，相得益彰。

    如果說計算機的特點是有限性、離散性和算法化，那么籌算和珠算也都同樣具備。雖然電子計算機不是中國最先發(fā)明的，但最古老的“計算機”卻在中國。李政道指出：“中國的算盤就是最古老的計算機。”吳文俊指出：“不論是機器代替體力勞動，或是計算機代替某種腦力勞動，其所以成為可能，關鍵在于所需要代替的勞動已經‘機械化'，也就是已經實現了刻板化或規(guī)格化?！薄爸袊糯鷶祵W基本上是一種機械化的數學?！?[4] 珠算充分地體現中國傳統(tǒng)數學的機械化思想方法，或者說，珠算對機械化思想體現得是淋漓盡致！

    在這些理論的基礎上，中國對珠算理論進行了深入的研究，特別研究了珠算所蘊涵的優(yōu)秀數學思想方法，以及珠算與電子計算機的密切關系。在 21世紀，由于電子計算機的廣泛運用，算法將占主流。本來就以算法見長的珠算，正迎合了數學發(fā)展的大趨勢。問題是能不能如實地認識這種聯系。珠算系統(tǒng)與電腦有很多相似之處。隨著電子計算機的發(fā)展，珠算珠心算會更加煥發(fā)青春，永放光芒。

    重視理論研究，使中國抓住了珠算發(fā)展和前進的正確方向。從而發(fā)展的勢頭越來越大。

三、中國珠心算教育活動蓬勃發(fā)展

    1979年10月31日在中國科協和財政部的關懷下，成立了中國珠算協會。這是中國珠算界的大事，也是中國振興珠算的里程碑。中國珠算協會的成立，為推進中國珠算事業(yè)發(fā)展打下了堅實的組織基礎。20多年來，各級珠協和廣大珠協工作者、教育者和研究者精心致力于珠算事業(yè)，兢兢業(yè)業(yè)，開拓進取，取得了輝煌業(yè)績。

    尤其，中國珠算協會認識到科學思想、珠算學術理論的重要性，為了廣泛宣傳和普及珠算科學知識，中國珠算協會于 1990～1991年舉辦了全國珠算科技知識大賽，《珠算科技知識》一書發(fā)行近200萬冊，總共有250萬人參賽，參賽者有工人、農民，有學生、解放軍，有機關干部和企業(yè)職工，有老人和少年兒童，對珠算科技知識、學術理論進行了一次廣泛的大宣傳、大普及、大提高，影響深遠。

    從 1990年開始，每年一次的海峽兩岸珠算交流活動，并每年舉辦海峽兩岸珠算通信比賽，到2002年累計參賽達320萬人次。在此過程中，中國珠算協會十分重視海內外的學術理論研究和交流活動，不斷開展珠算國際學術研究活動。1990年召開了亞太地區(qū)珠算學術交流會，1993年召開了黃山國際珠算學術理論研討會，1996年在山東濰坊舉辦了首屆世界珠算大會。國際間的珠算民間交往、訪問活動頻繁，學術交流不斷。促成世界珠算心算聯合會于2002年在北京成立，標志著珠算心算進入了新的發(fā)展時期，當代中國珠算在世界上的影響越來越大，起著越來越重要的作用。

    隨著電子計算機的出現和普及，社會上的很多人都認為：“有了計算機，珠算該進博物館了”，有的廣告牌竟寫出：“請用財務電腦，淘汰千年算盤”，甚至電視廣告也曾出現“砸碎算盤，推出財務軟件”的畫面等。出現上述言論的原因，都是因為對珠算不了解所造成的。事實上，隨著計算機的發(fā)展，珠算珠心算不僅沒有消亡，反而獲得空前發(fā)展和繁榮。這說明：珠算與電子計算機（器）并不矛盾，并非有你無我；而是各有各的功能，相輔相成，相得益彰。由于中國珠算協會重視學術理論研究，深刻揭示了珠算與計算機的一致性，在珠算科技知識大賽書中就指出：“ 電腦的基本原理與珠算一致；電腦系統(tǒng)與珠算系統(tǒng)相似；電腦與珠算語言對應；電腦與珠算在某些方法技巧上可以共享，在應用與教學中相得益彰。可以說珠算是形象化的電腦，電腦是武裝以電子技術的珠算?！?[5] 糾正了社會上對珠算的糊涂認識，促進了珠算理論研究和實踐的發(fā)展。

    中國還特別注重珠算與學校數學教育內在聯系的研究，使珠算對簡化、提高數學教育發(fā)揮了實實在在的作用，從而把珠算活動建立在最廣泛的基礎上，有了穩(wěn)定的群眾基礎。例如，一直重視三算結合教學；進一步又把從競賽中發(fā)展起來的珠心算教育作為科技知識大賽后珠算協會工作的“系統(tǒng)工程”，很快又出現了“用三算結合教材，采用珠心算式教法”而引入學校數學課內；接著又出現了“珠心算式的三算結合”教材，到世紀之交又出現了“中、西融合的優(yōu)因數學教學”。此外，又把珠心算引向幼兒園，與幼兒園數學教育結合起來，深受家長和廣大群眾的歡迎……總之，珠算、珠心算是禾苗，數學教育是土地，離開了數學教育的廣大群眾基礎，珠算、珠心算教育是難以發(fā)展的，珠算珠心算等級鑒定、競賽等活動，以及高水平的選手也就沒有來源。下面的一組數字就是很好的證明：

    全國參加三算（口算、筆算、珠算）教學實驗班的學生， 1980年有40個班2000人，1997年發(fā)展到5萬多個班近300萬人；② 全國參加珠心算學習的兒童，1991年8000人， 1997年突破100萬人，到2002年達到350萬人，現在早已突破400萬。③ 全國參加珠算技術等級鑒定的人數，從1984年起，每年都在100萬人次左右，1990年后，每年200萬人次左右，1995年突破300萬人次，截到1998年累計達到2800萬人次；④ 從1981年開展珠算技術比賽以來，全國每年參加比賽的人數都在百萬人次以上。由中國珠算協會舉辦的全國性比賽有28次。通過各種比賽，珠算技術水平迅猛提高，取得了驚人的進展：1988年全國第二屆珠算技術比賽，個人全能成績(加減、乘、除、帳表、傳票5項，每項５分鐘,下同) 為1000多分；1992年全國第三屆大賽，個人全能成績2000多分 (由這屆起設立六項國家記錄)，1997年全國第四屆大賽，全部打破了全國六項記錄，個人全能（五項，每項5分鐘）總分達到3250分（每秒，計算24個數碼，包括寫答案），領先世界水平。這屆大賽，打破記錄人數之多，提高幅度之大是前所未有的。這是珠心算教育的豐碩成果，也是開發(fā)珠算教育功能的顯著成效。

    從以上這些數字，可以明顯看出，當代珠算的迅猛發(fā)展是空前的，是歷史上任何時代所無法比擬的。這是在電子計算機沖擊下產生的奇跡，一個珠算發(fā)展史上了不起的奇跡！當然，這個奇跡來之不易。那么在珠算逆境中，這個奇跡是怎樣得來的呢？找出它的原因，揭示它的規(guī)律，才能正確認識和把握當前和今后珠算發(fā)展的方向和前途，并把珠算事業(yè)推向新的高峰。

四、中國珠算珠心算理論與實踐沿著正確方向發(fā)展

    1979年，簿一波同志為《中華珠算》雜志題詞指出：“算盤是我國的傳統(tǒng)計算工具。一千多年以來在金融貿易和人民生活等方面起了重要作用。用算盤和用電子計算機并不矛盾?，F在還應充分發(fā)揮算盤的功能，為我國經濟建設事業(yè)服務”。 珠算與電子計算機，各有各的功能，并行不悖，相得益彰。正如一位哲學家所說“人類在發(fā)展的最初階段，幾乎每天都在重新發(fā)明著，而且是在各個地方單獨地進行的?！碑斎?，珠算與其他事物一樣，也是在曲折競爭中不斷開拓、改進、發(fā)展，逐步完善起來的。但是發(fā)展的快慢，順利或曲折，前進或倒退，與人們是否重視，是否不斷研究和開發(fā)，方向是否正確密切相關，只有各方面條件都具備，才能夠使珠算更加絢麗多彩。

    從 20世紀80年代開始，中國逐漸普及電子計算機（器）。面對這種情況，曾有人預言：“珠算該進博物館了?！崩纾炒髮W刊出了告別珠算的文章，某省會城市火車站豎起了“告別千年珠算”的廣告牌，電視片中甚至出現了砸碎算盤的場面……似乎珠算的歷史就該畫句號了。

    然而，由于中國珠算協會處變不驚，冷靜分析研究各種說法是怎樣產生的？有沒有道理？從中找出了正確的方向：普及珠算科技知識，開展珠算科技知識大賽，加強學術理論研究，找出了大力推進珠心算的的方向，把珠心算作為珠算協會系統(tǒng)工程。結果事實卻出于這些“預言”所料，恰在此時出現了珠心算熱。

   心算，自有計算開始，人類就有心算?！稊凳鲇涍z》中記述的第 14種算法：“既舍數術，宜從心計。”就指的是心算。心算有多種，有指心算（袖里吞金）、數碼心算，老子說：“善數者不用籌策。”當是指在腦中想象擺弄算籌而算（籌心算）。珠算熟練了，在腦中也可想象算珠而心算即為珠心算。如此等等。珠心算，算法簡捷、數位大、算得快，簡明易學、易推廣普及，是其它心算無可比擬的。多年經驗證明，珠心算教育可以大面積普及，不僅小學生能學，幼兒園的小朋友也能學，而且學的效果更好。三、 四歲的孩子就能掌握多位數心算，現在珠心算“神童”，在中國大地已不再是“寥若晨星”，而是“耀眼繁星” 成千上萬。這震撼著千千萬萬的人們，以為珠心算不僅能夠培養(yǎng)速算能力，還能夠開發(fā)智力，使人變得更聰明！認為這是一項“功在當代，利在千秋”的大業(yè)，于是珠心算教育在全國范圍內推廣普及開來。

    許多普通孩子成了“速算神童”。如果按幼兒園、小學原來那一套教學心算方法，不僅無法辦到，甚至連想都是不敢想的。在世界上再也找不到第二種能這么有效地教學心算的方法。于是珠心算，孩子歡迎，教師和家長歡迎……倘若小學、幼兒園不開珠心算課，就影響招生。特別人們發(fā)現學習珠心算的孩子，不僅獲得數學特長，而且能養(yǎng)成許多優(yōu)良素質，并有利于各科學習，有“一科突出，多科受益”的效果。

    這是為什么？原因何在？引起了珠算工作者、數學工作者、教育工作者們進行深入的研究。發(fā)現了許多珠算優(yōu)越的特性，在可比的條件下，在世界上獨一無二。出版了一批有獨創(chuàng)性的珠算有關的學術理論著作，中國當代珠算無可爭議的居于世界前列。

    現在全國各地的珠算工作者，基本上都知道當代中國珠算事業(yè)迅猛發(fā)展的奇跡的由來。這就是中國古老的珠算有著豐富的科學內涵，蘊藏著多種不可或難以替代的功能，現代又得到了較多的開發(fā)。過去長期以來只是單純地利用珠算的計算功能，僅把它作為一種計算工具，而忽視珠算更重要的其他功能。直到電子計算機出現之后，珠算的教育啟智功能才顯露出來，對珠算刮目相看，經過積極工作和宣傳，逐步得到社會認同。這就是在電子計算機時代，珠算不僅沒有消亡，相反取得空前的大普及、大發(fā)展的原因所在。

    我國古人創(chuàng)造發(fā)明的珠算，似乎到了上世紀九十年代才發(fā)揮到極致。數百萬名中小學生參加的珠心算教育， 4歲至13歲的孩子，不僅有超乎尋常的速算能力，而且普遍比同齡其他學生腦力反映快、學習成績好、數理功課尤其突出。珠心算教育所創(chuàng)造的奇跡，宣告了珠算文化的不可替代性。

    中華民族傳統(tǒng)優(yōu)秀文化瑰寶，珠算心算迅猛發(fā)展之勢，不只在中國，而且在東南亞和世界許多國家都相當火爆。珠心算這些活生生的事實，出現在小學、幼兒園、街道、農村以及商店，擺在社會公眾面前，令人不能不信服。人們不得不進一步去琢磨其中的奧妙和道理。作為珠算協會、珠算心算工作者、教育者、研究者許多人在進行深入研究。通過研究發(fā)現：這些現象僅僅運用古珠算的觀念，是解釋不了的。必須以全新的觀點和視角對珠算進行深入研究，從“基因”上認識它的先進性和現代意義，運用現代科學技術成就和科學方法“揚棄舊義，創(chuàng)立新知”，從而獲得新的發(fā)現和新的認識，創(chuàng)立適應現代科技、教育環(huán)境的新方法。把珠算珠心算推進到一個新的歷史發(fā)展階段。

五、弘揚珠算優(yōu)秀思想方法，引領世界開創(chuàng)數學教育新紀元

    珠算的教育啟智功能，在 20世紀80年代末就基本在珠算圈里形成共識。珠心算教育的興起，更突現了這一特性。許多地方簡直就把珠心算與開發(fā)智力作為同義語，尤其在幼兒園對孩子和弱智兒童的教育中成效更為突出。

    專家們經過幾十年的研究發(fā)現：珠算珠心算是中國機械化數學的優(yōu)秀代表之一。不僅手操作算珠的珠算計算功能簡捷突出；將珠算符號化，并內化腦中運用，更加有用，更有廣泛而長遠的意義。把珠算符號化是現代珠算與古珠算的根本區(qū)別。從“基因角度看，珠算符號、模型至今仍然是最先進的。運用動態(tài)符號觀念，由 2個珠母符號集成累數制、位值制而生成10個基數珠碼，再衍化出26個算母符號，拼排算母就完成了計算，使用計算達到了理想的簡捷境界。算盤是符號發(fā)生器，這些符號既可以在算盤上撥動拼排完成計算，又可內化在腦子里拼排完成計算（即珠心算），還可以電子技術按此模型實現運算，于是形成了手操算、腦算和計算機的通用算法模型。” [6] 這種算法模型既可以使數學和計算機教學簡易化，又可以使算法多樣化，動手動腦培養(yǎng)創(chuàng)造性思維和實踐能力；還可培養(yǎng)注意力、觀察力、記憶力、毅力、信心、優(yōu)勝意識等優(yōu)良素質，有效地開發(fā)智力。把珠算符號化并內化腦中后，運用于現代一切科學技術中都通行無阻，從而能與現代科技融合成一體。在電子計算機時代，珠算能夠發(fā)揮更大的作用，譬如珠算是教學計算機原理和算法，珠算是既直觀又靈活簡捷的教具。因此，要培養(yǎng)適應現代技術需要的人體智能，珠算是再合適不過的利器。

    珠算珠心算的教育的功能，一方面是開發(fā)智力，而另一發(fā)面是簡化數學教育?！爸橇κ亲⒁饬?、感知力、記憶力、思維力、想象力等因素的綜合”，“珠心算令耳聰，使目明，促手巧。珠心算教學中，需要有意識地開發(fā)智力，而珠心算在這方面有顯著作用。智力的核心是思維力，思維的敏捷性是思維品質的集中體現。它指的是思維的速度，是判斷一個人智力的主要標志之一?！?[7]

    珠心算教學通過對兒童的培養(yǎng)，不僅使他們的計算速度不斷提高，而且使兒童思維敏捷性品質得到明顯的改善。在珠心算教學過程中，兒童的手、眼、耳、口不僅配合協調，且左右兩個半腦的形象思維和抽象思維也交替運用，這非常有利于學生的智力的開發(fā)。兒童雙手撥珠，在撥、看、聽的訓練中，要求動作規(guī)范、準確、迅速、力度適中，不僅鍛練了手，也達到了心靈手巧，耳聰目明，提高了觸覺、視覺、聽覺的靈敏度。培養(yǎng)兒童的注意力，對他們的學習作用是巨大的。在珠心算教學中觀察力、注意力相互影響，相互促進，無論是看心算、聽心算、撥珠時，都要求準、快，迫使兒童注意力必須高度集中。由于兒童多種感官同時活動，把思維活動和實際操作相結合，使兒童注意的對象變?yōu)閮和苯有袆拥膶ο螅箖和幱诜e極活動狀態(tài)，有力地增強了兒童注意的穩(wěn)定性和持久性。愛因斯坦說：“想象力比知識更重要”。珠心算學習通過大量心算，使兒童想象力明顯提高。實踐證明：在語文學習中，學過珠心算的學生回答問題時更有新意，從而使課堂氣氛更活躍。

     弘揚珠算文化，還特別有利于改革數學教育。把珠心算與數學結合起來進行教學，可以使數學教育達到簡易、高效而現代化。首先把珠算符號化引入數學不僅節(jié)省教學時間，有利于腦算的形成；而且，還能簡化數學教學，有利于數學與計算機的整合。利用珠圖，可以讓學生能夠較早地接觸和掌握幾何內容；因為珠碼符號有象形性，能使數形結合得更加緊密；又因珠圖是在離散與連續(xù)之間架起了一座橋梁，先認識和學習離散的幾何圖形，再過渡到連續(xù)的線圍圖，既能夠簡化幾何教學，也有利于計算幾何的學習，有效地培養(yǎng)制作運用電子幾何圖形的能力?？傊?，弘揚珠算優(yōu)秀思想方法，將引領世界開創(chuàng)數學教育新紀元。珠算經過符號化，就成為數學教育的強基因，既簡化了數學內容，又使珠算與電子計算機教學自然整合。運用珠算符號于數學教育的簡化作用，不亞于 16世紀歐洲把阿拉伯數碼運用于數學的簡化作用。珠心算符號模型溶入數學、計算機教育，將與數學、計算機同在?，F代珠算心算研究大有可為，珠算心算事業(yè)前景光明，永葆青春。

    參考文獻

[1]《當代中國珠算》中國財政經濟出版社2000年3月第1版。

[2]《吳文俊論數學機械化》山東教育出版社，1996年7月第一版。

[3] 《正本清源 源遠流長》中國財政經濟出版社2004年6月第1版

[4] 同[2] 。

[5]河南省珠算科技知識競賽組織委員會編《珠算科技知識 提要與問答 》，河南教育出版社，1990年12月1版，P8。

[6] 這里，參考了郭啟庶教授的有關論著。