七年級數(shù)學競賽講座第七講物以類聚——話說同類項

28樓的憨豆 2013-12-10

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第七講物以類聚——話說同類項

俗話說“物以類聚，人以群分”．在數(shù)學中，我們把整式中那些含相同的字母、并且相同字母的次數(shù)也分別相同的單項式看作一類——稱為同類項，一個多項式中的同類項可以合聚在一起——稱為合并同類項．整式的加減實質(zhì)就是去括號合并同類項．

整式的加減這一章涉及到許多概念，準確地掌握這些概念并注意它們的區(qū)別與聯(lián)系是解相關(guān)問題的基礎(chǔ)，歸納起來就是要注意以下幾點：

理解“三式”和“四數(shù)”的概念、熟悉“兩種排列”、掌握三個法則．

解與整式加減相關(guān)問題時，有括號先去括號，有同類項先合并同類項，這樣能使解題過程大為簡化．

例題

【例1】當的取值范圍為時，式子的值恒為一個常數(shù)，這個值是．

(北京市“迎春杯”競賽題)

思路點撥 去掉絕對值符號、合并同類項后，式子應(yīng)不再含“ ”的項，由此得出的取值范圍．

注：數(shù)學概念是容的基礎(chǔ)．是數(shù)學推理和論證的基礎(chǔ)．科學研究表明，概念的形成過程中，人們的心理活動經(jīng)歷著以下階段：

(1)辨別不同的事物； (2)抽象一類事物的共同屬性； (3)用簡潔的語言符號給概念下定義、定名稱．

在概念學習中，應(yīng)注意以下策略： (1)關(guān)鍵字詞理解的策略； (2)正、反例對比策略；

(3)相似概念比較策略；(4)概念系統(tǒng)化策略．

【例2】已知則化簡得( )．

A．2a B．2b C．十2 D．一2

(江蘇省競賽題)

思路點撥 由已知條件可推得多個關(guān)系式，這是解本例的關(guān)鍵．

【例3】已知x＝2，y=一4時，代數(shù)式，求當時，代數(shù)式的值．

思路點撥 一般的想法是先求出a，b的值，這是不可能的(為什么?)解本例的關(guān)鍵是：將給定的x、y值分別代入對應(yīng)的代數(shù)式，尋找已知式與待求式之間的聯(lián)系，整體代人求值．

【例4】已知關(guān)于；的二次多項式，當 x=2時的值為一17，求當x=一2時，該多項式的值．

(“希望杯”邀請賽培訓題)

思路點撥 設(shè)法求出a，b的值，解題的突破口是根據(jù)多項式降冪排列、多項式次數(shù)等概念挖掘隱含的關(guān)于a，b的等式．

【例4】(1)已知：5∣(x+9y)(x，y為整數(shù))，求證：5∣(8x十7y) ．

(2)試證：每個大于6的自然數(shù)n都可表示為兩個大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和．

(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)

思路點撥 (1)嘗試把8x+7y寫成x+9y的倍數(shù)與5的倍數(shù)的代數(shù)和的形式，(2)逆用整式的加減，將每一類自然數(shù)表示為兩個式子的和，并證明它們互質(zhì)，注意分類討論．

注：解代數(shù)式化簡求值問題的基本方法有：將字母的值代入或字母間的關(guān)系整體代入等．關(guān)鍵是對代數(shù)式進行恰當變形，其中去括號、添括號能改變代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，是變形求簡的一

種常用工具．

“回到定義中去”，這是美國著名數(shù)學家玻利亞稱為的一種解題方法，在解題遇到困難的時候，請記住“回到定義中去”這個重要的思考提示．

欲證明一個多項式能被某數(shù)整除，常需對該多項式進行適當?shù)淖儞Q，或?qū)ψ帜高M行代換，充分利用巳知條件及整除的有關(guān)性質(zhì)解決問題．

數(shù)學中有許多可以類比的對象，如數(shù)與式，整數(shù)與整式．教學中的許多結(jié)論就是通過類比得到的，同時類比也是學習數(shù)學中的一種有效方法．

學力訓練

1．已知是同類項，那么 = ．

(江蘇省競賽題)

2．已知代數(shù)式(2x²+ax-y+6)－(2bx²-3x+5y-1)．

(1)當a= ，b= 時，此代數(shù)式的值與字母x的取值無關(guān)；

(2)在(1)的條件下，多項式3(a2-2ab-b2)一(4a²+ab+b²)的值為．

3．已知a=1999，則 = ．

4．已知當x=一2時，代數(shù)式的值為6，那么當 x=2時，代數(shù)式的值是．

(安徽省中考題)

5．火車站和機場都為旅客提供打包服務(wù)，如果長、寬、高分別為x、y、z的箱子按如圖的方式打包，則打包帶的長至少為( )．

A． 4x+4y+10z B．x+2y+3z C． 2x+4y+6z D． 6x+8y+6z

(太原節(jié)中考題)

6．同時都含有字母，且系數(shù)為1的7次單項式共有( ) ．

A ．4個 B．12個 C． 15個 D．25個

(北京市競賽題)

7．有理數(shù) 在數(shù)軸上的位置如圖所示：則代數(shù)式化簡后的結(jié)果是( )．

A．2一a B．2a一2b C．2c—a D．a

8．已知，那么的值為（）．

A．80 S．10 C．210 D．40

9．把一個正方體的六個面分別標上字母A、B、C、D、E、F并展開如圖所示，已知：，，，，若正方體相對的兩個面上的多項式的和都相等，求D、F．

10．已知單項式與單項式的和為，求abc的值．

11．對于整式6x⁵+5x⁴+4x³+3x²+2x+2002，給定x的一個數(shù)值后，如果小穎按四則運算的規(guī)則計算該整式的值，需算15次乘法和5次加法．小明說：“有另外一種算法，只要適當添加括號，可以做到加法次數(shù)不變，而乘法只算5 次”．小明同學的說法是的．(填“對”或“錯”)

( “希望杯”邀請賽試題)

12．若，則＝．

13．當x＝2時，代數(shù)式的值等于一17，那么當x＝一1時，代數(shù)式

12ax—3bx³—5的值等于．

(北京市“迎春杯”競賽題)

14．將1，2，3，……，100這100個自然數(shù)，任意分為50組，每組兩個數(shù)，現(xiàn)將每組的兩個數(shù)中任一數(shù)值記作a，另一個記作b，代入代數(shù)式中進行計算，求出其結(jié)果，50組數(shù)代人后可求得50個值，則這50個值的和的最大值是．