何為數(shù)學經(jīng)典題目？數(shù)學經(jīng)典題目就是經(jīng)過歷史選擇出來的最有價值的經(jīng)久不衰的題目 。每個經(jīng)典題目，都經(jīng)得起人們的拷問和時間的考驗；每個經(jīng)典題目，總是蘊含著某種重要的數(shù)學思想和方法；每個經(jīng)典題目，總有其獨特的教育價值和教學功能；每個經(jīng)典題目，都能穿越時間的深度和厚度而又最終超越時間經(jīng)久彌新、與時俱進。數(shù)學教科書上的例習題有不少題目堪當經(jīng)典，本文以其中一道經(jīng)典題目為例，說明經(jīng)典題目在復習教學中的潛能挖掘與應(yīng)用，以期拋磚引玉。

題目  已知，且，求證。

本題目是普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修不等式選講人教版第十頁習題第11題。這是一道經(jīng)典的條件不等式證明題，解題入口寬、方法多樣，對本題進行一題多解訓練，可達到舉一反三觸類旁通，解讀一題溝通一片以點帶面的復習效果。

證法1（配方法）因為，所以，

所以

，

所以，當且僅當且且，即時等號成立。

點評  本解法先消元，將表示成只含的二次式，并將此式當作是以為主元的二次三項式進行配方，再將配方后余下的部分再次配方，然后用實數(shù)平方的非負性，從而使問題得到解決。

證法2（構(gòu)造二次函數(shù)）因為，所以，

于是，

故當時，最小，此時，

所以，

所以，當且僅當時等號成立。

點評  本解法通過構(gòu)造函數(shù)將不等式證明問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題。先消元，將表示成只含的二次式，然后選為主元，將此式當作是含有參數(shù)的以為自變量的二次函數(shù)，求出的最小值，的最小值就是的最小值，從而使問題獲解。

證法3（用重要不等式）因為

，

所以，當且僅當時等號成立。

點評  將已知等式兩邊平方是運用重要不等式的關(guān)鍵。

證法4（用等號成立的條件構(gòu)造平方和）由所證不等式等號成立的條件得，，

即，所以，當且僅當時等號成立。

證法5（用等號成立的條件構(gòu)造配偶不等式）由所證不等式等號成立的條件可構(gòu)造如下不等式：，，，三式相加得，，所以，當且僅當時等號成立。

點評  證法4和證法5注意到等號成立的條件是問題獲得簡解的關(guān)鍵之所在。

證法6（用柯西不等式）由三元柯西不等式得，即。

證法7（用向量數(shù)量積不等式）構(gòu)造向量，，由向量數(shù)量積不等式得，，即，當且僅當時等號成立。

證法8（利用直線與圓有公共點解題）把當作參數(shù)當作變量，則即可看作是直角坐標系下的一條直線的方程，設(shè)則，此方程可看作是圓心是坐標原點半徑為的圓的方程。因為這兩個方程所組成的方程組有解，所以直線與圓有公共點，故圓心到直線的距離不大于半徑。故，即有解，所以，解得則，即。

點評  本解法需要有方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和化歸意識，化靜為動，動中求靜。根據(jù)“方程組有解，則直線與圓有公共點，從而直線到圓心的距離不大于半徑”列不等式，進而使問題得以解決。

證法9（三角換元法）設(shè)則，設(shè)。由得，所以，由正弦函數(shù)的有界性得，兩邊平方解得，故。

證法10（構(gòu)造概率模型）設(shè)隨機變量取值為時的概率均為，因為，所以，所以，即，當且僅當時等號成立。

證法11（用琴生不等式）構(gòu)造函數(shù)，因為是上的凹函數(shù)，由琴生不等式得，，即，所以，當且僅當時等號成立。

證法12（用點面距離公式）可看作是空間直角坐標系下的一個平面的方程，可看作是這個平面內(nèi)任意一點到原點O的距離的平方，由垂線段最短知，當OP與平面垂直時，OP最短從而最小，由點面距離公式得點O到平面的的距離為：，所以，即。

凹凸函數(shù)、琴生不等式是高等數(shù)學的內(nèi)容，但與初等函數(shù)關(guān)系密切，是初等數(shù)學與高等數(shù)學的銜接處，點面距離公式是大學空間解析幾何的內(nèi)容，但可當作是平面解析幾何點線距離公式在空間的一個類比拓廣，這些知識可開闊學生的視野，類比推理有利于發(fā)現(xiàn)新知識和數(shù)學思想方法的遷移。

以上從十二個不同的角度來思考解決一個經(jīng)典不等式的證明問題，消元法、配方法、構(gòu)造法，函數(shù)和方程思想，化歸和轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想都是高中數(shù)學重要的數(shù)學思想方法，在以上十二種解法中體現(xiàn)得淋漓盡致。一題多解有利于培養(yǎng)發(fā)散思維、求異思維和綜合運用多種知識解決問題的能力，有利于拓寬解題思路，有利于創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。發(fā)揮經(jīng)典以一當十，解析一題復習一片。