直角坐標(biāo)系和斜角坐標(biāo)系統(tǒng)稱為仿射坐標(biāo)系，直角坐標(biāo)系是仿射坐標(biāo)系的特例，斜角坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系的類比推廣.本文通過(guò)類比直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)、向量坐標(biāo)、直線方程等有關(guān)知識(shí)，構(gòu)建仿射坐標(biāo)系解決向量共線、向量線性表示以及線性規(guī)劃等有關(guān)問(wèn)題.

一、仿射坐標(biāo)系下的向量共線問(wèn)題

我們知道在直角坐標(biāo)系下共線向量有如下結(jié)論：若，則。同樣在仿射坐標(biāo)系下此結(jié)論仍然成立。

例1 已知向量，則實(shí)數(shù)的值是(    )

解法1(常規(guī)解法)因，故，.又，所以，解得，故選.

解法2  由，知不共線，以原直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為原點(diǎn)，以作為單位基底建立仿射坐標(biāo)系， 則，因?yàn)?/span>，所以，所以，故選.

例2  已知向量其中不共線，向量.問(wèn)是否存在這樣的非零實(shí)數(shù)，使向量與共線?

解法1（常規(guī)解法）  因?yàn)?/span> ，若與共線，因，所以存在實(shí)數(shù)，使得，即，所以，消去得，故存在這樣的非零實(shí)數(shù)，只要，就能使向量與共線.

解法2  因不共線，在向量平面內(nèi)任取一點(diǎn)作為原點(diǎn)，以作為單位基底建立仿射坐標(biāo)系，則，同法1得 .

若向量與共線，則，解得，故存在這樣的非零實(shí)數(shù)，只要，就能使向量與共線.

二、仿射坐標(biāo)系下向量的線性表示問(wèn)題

例3  如圖1，在中，，和交于點(diǎn).試用向量和表示向量.

   解  以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以作為仿射坐標(biāo)系的單位基底，

建立平面仿射坐標(biāo)系如圖1所示.因?yàn)?/span>，所以

，.所以直

線在仿射坐標(biāo)系下的“截距式”方程為即①.

直線在仿射坐標(biāo)系下的“截距式”方程為即②.解①②得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以.

圖1

例4 在平行四邊形中，，與相交于點(diǎn)，若，則(   )

解  以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以作為仿射坐標(biāo)系的單位基底，建立平面仿射坐標(biāo)系如圖2所示.因?yàn)?/span>，所以， .所以直線在仿射坐標(biāo)系下的“截距式”方程為即①.直線在仿射坐標(biāo)系下的“斜率”為，故直線在仿射坐標(biāo)系下的“點(diǎn)斜式”方程為②.解①②得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，故選.

圖2

三、仿射坐標(biāo)系下的線性規(guī)劃問(wèn)題

下面在類比思想的引領(lǐng)下用仿射坐標(biāo)系下的線性規(guī)劃解法解一類向量創(chuàng)新問(wèn)題.

例5(2011南昌聯(lián)考)已知是內(nèi)任一點(diǎn)(不包括三角形邊上的點(diǎn))，且滿足，則的取值范圍是＿＿

解 以為原點(diǎn)以作為軸軸上的單位向量建立仿射坐標(biāo)系如圖3所示，設(shè)則，又因?yàn)?sub>，于是有，則，設(shè)即該方程表示直線，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，。因是內(nèi)任一點(diǎn)，所以的取值范圍是.

圖3

例6(2009年高考安徽理科第14題)如圖4，給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的兩個(gè)向量和，它們的夾角為，點(diǎn)在以為圓心的圓弧上變動(dòng)，若，其中，則的最大值是　　　　　

   　　　　　　圖4                             圖5

解 以為原點(diǎn)以作為軸軸上的單位向量建立仿射坐標(biāo)系如圖5所示.設(shè)則，又因?yàn)?sub>，于是有，則，設(shè)該方程表示直線.而直線的方程是，所以平行于，當(dāng)直線與圓弧相切于點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大， ，故的最大值是2.

例7(2011年唐山市)在平行四邊形中，分別為的中點(diǎn)，記三邊及其內(nèi)部組成的區(qū)域?yàn)?sub>，，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

則的最大值為　　　　　

解  以為原點(diǎn)以作為軸軸上的單位向量建立仿射坐標(biāo)系如圖6所示，設(shè)則，又因?yàn)?sub>，于是有，則，設(shè)即該方程表示直線，因?yàn)橹本€的“斜率”，所以當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，。

圖6

例8如圖7，正六邊形中，是內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則的取值范圍是＿＿

　　　　　　　　圖7                                    圖8

解  如圖8，以為原點(diǎn)以作為軸軸上的單位向量建立仿射坐標(biāo)系.設(shè)則，又因?yàn)?sub>，于是有，則，設(shè)該方程表示的直線與直線平行.由圖2知，，當(dāng)直線與重合即直線過(guò)點(diǎn)時(shí)在軸上的截距最小，;當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)在軸上的截距最大，，故的取值范圍是.

例9(06年湖南高考題改編)如圖9，，點(diǎn)在由射線線段及的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi))不含邊界)運(yùn)動(dòng)，且.(1)實(shí)數(shù)對(duì)可以是（  ）            

(2)的取值范圍是＿＿;當(dāng)時(shí)，的取值范圍是＿＿

解（特殊化）特別地，取且并建立直角坐標(biāo)系如圖1所示，則.又直線的方程為，直線的方程為，因點(diǎn)在陰影區(qū)域內(nèi)，所以，經(jīng)檢驗(yàn)知，(1)應(yīng)選.

 (2)因直線與直線和直線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為和，由圖12知，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是.      

　　　　　　　　圖9                               圖10

坐標(biāo)法是數(shù)學(xué)方法中最重要的方法之一，解析幾何的核心思想是“坐標(biāo)法”，坐標(biāo)法就是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn).綜上所述，構(gòu)建仿射坐標(biāo)系解決向量共線、向量線性表示以及線性規(guī)劃等有關(guān)問(wèn)題具有獨(dú)特的解題功能，方法坐標(biāo)化運(yùn)算化、解法直觀快捷，學(xué)生容易掌握便于運(yùn)用“仿射坐標(biāo)系”是在學(xué)生熟悉的“直角坐標(biāo)系”相關(guān)知識(shí)和思想方法的類比拓展，符合“最近發(fā)展處”的理論要求.構(gòu)建仿射坐標(biāo)系解題，同時(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生類比推理能力、知識(shí)思想方法遷移能力和創(chuàng)新思維能力的良好載體.