雙曲線部分

【典型例題】

[例1] 已知橢圓：與雙曲線：有公共焦點F₁、F₂，若兩曲線在第一象限內(nèi)的交點為P，求證：的面積。

證：由  

，

且（其中）

設(shè)周長的一半為m，則

則

故

另法，

[例2] 求以F₁（），F₂（3，0）為焦點，并與直線有公共點且實軸最長的雙曲線的方程。

解：先求F₂（3，0）關(guān)于直線的對稱點

由

又，則

故所求雙曲線方程為

[例3] 已知A（3，2），M是雙曲線H：上的動點，F₂是H的右焦點，求的最小值及此時M的坐標(biāo)。

解：由，則

此時M的坐標(biāo)（）

[例4] 已知雙曲線C：，一條長為8的弦AB兩端在C上運動，AB中點為M，則距軸最近的M點的坐標(biāo)為         。

解：

又，則

當(dāng)且僅當(dāng)時，取“=”，由逆徑，故可取“=”

又由

即

故M（）

[例5] 雙曲線中心在原點，一個焦點為F（），直線與其相交于M，N兩點，MN中點橫坐標(biāo)為，則此雙曲線方程是（    ）

A.                         B.

C.                         D.

解法1：設(shè)H：（）

聯(lián)立

中點條件是

再由焦點條件解出

解法2：由

MN中點在直線上，則中點縱坐標(biāo)

由

故H：，選D。

[例6] 已知A、B是雙曲線右支上兩點

（1）若AB過右焦點F_2­，且，求的周長（F₁為左焦點）；

（2）若弦AB的中點到y軸的距離為4，求的最大值。

解：（1）因A、B在雙曲線右支上，故由雙曲線定義可知

，兩式相加得

由，即

故，所以

即的周長為

（2）由題設(shè)，雙曲線中，

設(shè)A（），B（），則A，B到右焦點的距離分別為

由弦中點到y軸距離為4，即，則=8

故，故最大值為8，此時AB過焦點F₂

[例7] 過點P（1，1）作雙曲線的弦AB，使AB的中點恰與P點重合，這樣的弦AB是否存在并說明理由。

解：設(shè)AB：代入雙曲線方程并整理得

（*）

若，不合題意，若，由，得

若P是AB的中點，即

得（舍去）

此時，代入（*）

當(dāng)不存在時，直線與雙曲線只有一個公共點

因此這樣的弦AB不存在

另法：設(shè)A（），B（），由A、B在雙曲線上

兩式相減得

，其中

，得

以下同解法1

[例8] 雙曲線的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在X軸上，過雙曲線的右焦點，且斜率為的直線交雙曲線于P、Q兩點，若OP⊥OQ，，求雙曲線的方程。

解：設(shè)雙：，直線PQ方程為

由，消去得

設(shè)P（），Q（）

若，故，則直線PQ與雙曲線漸近線平行，與雙曲線只能有一個交點，與題設(shè)矛盾，故

故

由于P、Q在直線上可記為P（），Q（）

由OP⊥OQ，則

整理得

將（*）代入，又由，并整理得

即

由，則

由，得²

整理得將（*）式代入，又

代入，解得，從而，故雙曲線方程

[例9] 若F₁、F₂為雙曲線的左、右焦點，O為坐標(biāo)原點，P在雙曲線的左支上，點M在右準(zhǔn)線上，且滿足（）

（1）求此雙曲線的離心率；

（2）若此雙曲線過N（2，），求雙曲線方程；

（3）若過N（2，）的雙曲線的虛軸端點分別為B₁、B₂（B₁在y軸正半軸上），點A、B在雙曲線上，且，求時，直線AB的方程。

解：（1）由知四邊形PF₁OM為平行四邊行

又（）OP平分故PF₁OM為菱形

又由，（），則，

故（由）

由（舍）

（2）由，設(shè)雙曲線方程

其過點N（2，），則

故所求雙曲線方程為

（3）依題意得B₁（0，3），B₂（0，）

由，則共線

不妨設(shè)直線AB：，A（），B（）

由

由的漸近線為，當(dāng)時，AB與雙曲線只有一個交點，不合題意，則

，

又，

則

即，故

所以所求直線AB的方程為：或

[例10] 求經(jīng)過定點M（），以y軸為左準(zhǔn)線，離心率為2的雙曲線右頂點的軌跡方程。  

解：設(shè)雙曲線的右頂點為P（x，y），左焦點為F（）雙曲線對稱軸

設(shè)雙曲線的半實軸，半焦距分別為，則離心率

由雙曲線的性質(zhì)，得

又由代入得（*）

由焦點F與準(zhǔn)線y軸的距離為

故代入（*）得

，即

由雙曲線的定義，有，即

即

又由代入得

即右頂點M的軌跡方程為

[例11] 已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為，是否存在雙曲線，同時滿足下列條件：① 雙曲線c的一個焦點為F，相應(yīng)于F的準(zhǔn)線為；② 雙曲線c截與直線垂直的直線所得的弦長為，并且該線段的中點恰好在直線上，若存在，求出這個雙曲線c的方程；若不存在，說明理由。

解法1：如圖，設(shè)符合條件的雙曲線c存在，則其右焦點F（0，0），右準(zhǔn)線為，設(shè)離心率為e，點P（x，y）為雙曲線上任意一點，則由

整理，得  ①

設(shè)與垂直的直線方程為，此直線與雙曲線C交于A、B兩點，其坐標(biāo)為

把代入①式整理，得

當(dāng)時，為方程的兩實根

由弦長公式得

故適合條件的雙曲線c的方程存在為

即

解法2：設(shè)弦AB中點坐標(biāo)為Q（）由AQ斜率為

故，B（）

又點A、B到直線：的距離為及

由雙曲線定義知：

即

由

因此，雙曲線方程為即

解法3：設(shè)雙曲線方程為

由已知

設(shè)

由  

兩式相減，得

而即，即

由在雙曲線上，則

又由

即

故雙曲線

【模擬試題】

1. 若雙曲線的兩條漸近線是，焦點，則它的兩條準(zhǔn)線間的距離是（    ）

    A.     B.     C.     D.

2. 雙曲線的兩焦點F₁、F₂，弦AB過點F₁（AB在左支上），，則的周長為（    ）

    A.     B.     C.     D.

3. 若雙曲線上一點P到它的左焦點距離是24，則P到右準(zhǔn)線的距離是（    ）

    A. 32或    B. 32或    C.     D. 32

4. 設(shè)雙曲線的半焦距為c，直線過（），（）兩點，已知原點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為       。

5. 雙曲線上有點P，F₁、F₂是雙曲線的焦點，且，則面積為         。

6. 雙曲線的離心率為，F₁、F₂為焦點，P在雙曲線上，且的面積為，又，則雙曲線方程是        。

7. 過雙曲線的右焦點F₂作傾斜角為的直線，它們的交點為A、B，求：

（1）線段AB的中點M與F₂的距離；

（2）線段AB的長度。

8. 已知雙曲線S的兩條漸近線過坐標(biāo)原點且與以點A（）為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線S的一個頂點與A關(guān)于直線對稱，設(shè)直線過點A，斜率為

（1）求雙曲線S的方程；

（2）當(dāng)時，在雙曲線S的上支上求點B，使其與直線的距離為；

（3）當(dāng)時，若雙曲線S的上支上有且只有一個點B到直線的距離為，求斜率的值及相應(yīng)的點B的坐標(biāo)。

【試題答案】

1. A    2. B    3. B    4. 2    5.     6.

7. 解：（1）

，則

另法由下略

（2）由

則A、B分別在雙曲線兩支上，

也可

8. 解：（1）由已知雙曲線兩漸近線方程為，因而S為等軸雙曲線，設(shè)為

又，故，即雙曲線方程為

（2）設(shè)B（）是雙曲線S上支上到直線的距離為的點

則   即B（）

（3）當(dāng)時，雙曲線S的上支在直線的上方，故點B在直線的上方

設(shè)直線與直線：平行，兩直線間距離為，且在的上方

則雙曲線S的上支有且僅有一個點B到直線的距離為等價于直線

與雙曲線S的上支有且只有一個公共點

設(shè)的方程為，由上的點A到的距離為，可知

又由直線在直線的上方，故

由方程消去，得

因，則

令，由，則或

當(dāng)時，，解得   即B的坐標(biāo)為B（0，）

當(dāng)時，，解得  即B的坐標(biāo)為B（）