不等式的解法、不等式的應(yīng)用

二. 教學(xué)重、難點：

1. 在熟練掌握一元一次不等式（組）、一元二次不等式的基礎(chǔ)上，掌握一些簡單的高次整式不等式和分式不等式的解法；掌握含字母類高次整式不等式、分式不等式的解法。

2. 掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單應(yīng)用；能利用不等式解決實際問題。

【典型例題】

[例1] 解關(guān)于的不等式。

解：原不等式等價于

① 當時，由，得

② 當時，不等式化為

解得或

③ 當時，不等式化為

若，即，則；

若，即，則；

若，即，則。

綜上所述，時，解集為；

時，原不等式無解；

時，解集為；

時，解集為；

時，解集為或。

[例2] 已知函數(shù)和的圖象關(guān)于原點對稱，且。

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）解不等式；

（3）若在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。

解：（1）設(shè)函數(shù)的圖象上任一點關(guān)于原點的對稱點為

則   即

∵ 點在函數(shù)的圖象上

∴ ，即，故

（2）由，可得

當時，

此時不等式無解

當時，     ∴

因此，原不等式的解集為

（3）

① 當時，在上是增函數(shù)     ∴

② 當時，對稱軸的方程為

當時，，解得

當時，，解得  

綜上，

[例3] 如圖，函數(shù)的圖象是中心在原點，焦點在軸上的橢圓的兩段弧，則不等式的解集為（    ）

A.                B.

C.                   D.

解：由題意知橢圓方程為，當，時，。又知為奇函數(shù)，故可化為。令，當時，，即，解得。由圖象易知時，。又為奇函數(shù)，故時，也成立。

[例4] 已知，求函數(shù)的最小值。

解：由已知

① 當時，，當且僅當時，取“=”，這時

② 當時，令，則

∵      ∴ 在上是增函數(shù)

∴ 當時，，即時，

綜上，時，；時，

[例5] 已知集合，函數(shù)的定義域為Q。

（1）若，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若方程，在內(nèi)有解，求實數(shù)的取值范圍。

解：（1）由已知

若，則說明在內(nèi)至少有一個值，使不等式成立

即在內(nèi)至少有一個值，使成立

令，則只需，又

當時，，從而

∴            ∴ 的取值范圍是

（2）方程在內(nèi)有解

則方程，即在內(nèi)有解

分離與，得，故在內(nèi)有的值，使成立

令，則

∵

當時，

[例6] 產(chǎn)品進入市場，滿足的銷售規(guī)律是價格越高，銷售量越少。若某產(chǎn)品的價格為每噸萬元，銷售量為噸，則與滿足關(guān)系。

（1）若該產(chǎn)品在某地市場被一個公司壟斷，試說明該公司為獲得最大收入，不會一味追求價格的提高，并求出收入最大時該產(chǎn)品的價格。

（2）若該產(chǎn)品由甲、乙兩家公司銷售，它們的銷售量分別記作、，于是；若乙公司的銷售量為10噸，請問甲公司銷售量為多少時，其收入最大？

（3）兩個公司在市場上相互競爭與聯(lián)合壟斷相比，哪一種情況對購買這種產(chǎn)品的消費者不利？請證明你的結(jié)論。

解析：（1）設(shè)該公司收入為S，則

∵      ∴

當時，，這時公司收入最大    ∴ 公司不會無限提高價格

（2）設(shè)甲公司收入為

∵ ，

∴ ，與（1）同理知時，這是的最大值

故甲公司的銷量為10噸（與乙相等）時收入最多。

（3）對消費者是否有利主要是看兩個指標：產(chǎn)品價格和銷量，如產(chǎn)品價格高且銷量小，對消費者不利。

設(shè)甲、乙聯(lián)合壟斷市場，這種情況相當于（1），兩公司為追求最大收入，產(chǎn)品的市場價格為每噸15萬元，總銷量為15噸。

若不允許甲、乙聯(lián)合壟斷市場，設(shè)，又，

則，在時最大，此時。

顯然，這時的產(chǎn)品市場價比壟斷時低，還可看到，非壟斷比壟斷時的產(chǎn)品銷量也大，事實上，

綜上，可知壟斷對消費者不利。

[例7] 已知，，與的夾角為，求使向量與的夾角為銳角的實數(shù)的取值范圍。

解析：由題意有

即，，

又     ∴

解得或

又∵ 當時，，不符合題意

綜上，知所求的取值范圍為或且

[例8] 已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若，時，有。

（1）判斷在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

（2）解不等式；

（3）若對所有，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

解析：（1）在上為增函數(shù)，任取

則

∵      ∴

由已知，又

∴ ，即在上為增函數(shù)

（2）∵ 在上為增函數(shù)，故有

由此解得

（3）由（1）可知，在上是增函數(shù)，且

故對，恒有

∴要使對所有，恒成立

即要成立，故成立。

記，對，恒成立，只需在上的最小值大于等于零。

故或     解得或或

【模擬試題】

一. 選擇題

1. 關(guān)于的不等式的解集是，則等于（    ）

A.         B. 24              C. 14             D.

2. 若，則x的取值范圍是（    ）

A.                           B.              

C.                             D.

3. 不等式的解集為（    ）

A. （0，1）                       B.            

C.                          D. R

4. 命題：不等式的解集為，命題：在中，“A>B”是“sinA>sinB”成立的充分必要條件，則（    ）

A. 真假                       B. “且”為真

C. “或”為假            D. 假真

5. 若實數(shù)滿足，且不等式恒成立，則的取值范圍是（    ）

A.                          B.

C.             D.

6. 將進貨單價為8元的某商品按10元一個售出時，能賣出200個，已知這種商品每個漲價1元，其銷售量減少20個，為了獲得最大利潤，售價應(yīng)定為（    ）

A. 11元         B. 12元         C. 13元         D. 14元

7. 不等式的解集是（    ）

A. 或                 B.

C. 或                 D.

8. 已知，則的最小值為（    ）

A.          B.          C.             D.

二. 解析題

1.       已知函數(shù)，解不等式。

2. 定義域在上的函數(shù)，對任意，都有成立，且當時，。

（1）求的值；

（2）證明在上是單調(diào)函數(shù)；

（3）若，試比較與的大小。

3. 某段鐵路線上依次有A、B、C三站，AB=5km，BC=3km，在列車運行時刻表上，規(guī)定列車8時整從A站發(fā)車，8時07分到達B站并停車1分鐘，8時12分到達C站，在實際運行中，假設(shè)列車從A站正點發(fā)車，在B站停留1分鐘，并在行駛時以同一速度km/h勻速行駛，列車從A站到達某站的時間與時刻表上相應(yīng)時間之差的絕對值稱為列車在該站的運行誤差。

（1）分別寫出列車在B、C兩站的運行誤差；

（2）若要求列車在B、C兩站的運行誤差之和不超過2分鐘，求的取值范圍。

【試題答案】

一.

1. A    

解析：由題意知，，解得，，故

2. D   

解析：由得，所以，解得或，即的取值范圍是

3. A

解析：∵ ，與異號   ∴ ，即

4. B

解析：，即，故為真。

若，，則

若A為鈍角或直角，B為銳角可由單位圓知

故也為真

5. C

解析：的幾何意義是直線的右上方的平面區(qū)域，故只需讓圓在直線的右上方即可。圓心C（0，1）到直線的距離，令，或（舍），故

6. D          

解析：設(shè)售價為元，利潤為元，由題意知

故當元時，利潤最大

7. A           

    解析：原不等式，即或

8. A

解析：，

當且僅當，即時，取得最小值

二.

1.

解析：（1）當時，即解

即，不等式恒成立，即

（2）當時，即解，即

因為，所以

由（1）（2），得原不等式的解集為或

2.

解析：（1）令，則，即

（2）證明：設(shè)，則     ∴

又∵ ，故

即

∴ 在上為單調(diào)減函數(shù)

（3）由題意知，當時，

，

∵ ，且在上為減函數(shù)

∴ ，即

3.

解析：（1）列車在B、C兩站的運行誤差（單位：分鐘）分別是和

（2）由于列車在B、C兩站的運行誤差之和不超過2分鐘

所以（*）

當時，（*）式變形為，解得；

當時，（*）式變形為，解得；

當時，（*）式變形為，解得

綜上所述，的取值范圍是