【本講教育信息】

一. 教學(xué)內(nèi)容：

1. 機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用

2. 功能問題的綜合應(yīng)用

【規(guī)律方法】

機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用

應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解題的基本步驟

    （1）根據(jù)題意選取研究對象（物體或系統(tǒng)）。

    （2）明確研究對象的運(yùn)動(dòng)過程，分析對象在過程中的受力情況，弄清各力做功的情況，判斷機(jī)械能是否守恒。

    （3）恰當(dāng)?shù)剡x取零勢面，確定研究對象在過程中的始態(tài)和末態(tài)的機(jī)械能。

    （4）根據(jù)機(jī)械能守恒定律的不同表達(dá)式列出方程，若選用了增（減）量表達(dá)式，（3）就應(yīng)成為確定過程中，動(dòng)能、勢能在過程中的增減量或各部分機(jī)械能在過程中的增減量來列方程進(jìn)行求解。

1、機(jī)械能守恒定律與圓周運(yùn)動(dòng)結(jié)合

物體在繩、桿、軌道約束的情況下在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，往往伴隨著動(dòng)能，勢能的相互轉(zhuǎn)化，若機(jī)械能守恒，即可根據(jù)機(jī)械能守恒去求解物體在運(yùn)動(dòng)中經(jīng)過某位置時(shí)的速度，再結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)、牛頓定律可求解相關(guān)的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)的量。

【例1】如圖所示。一根長L的細(xì)繩，固定在O點(diǎn)，繩另一端系一質(zhì)量為m的小球。起初將小球拉至水平于A點(diǎn)。求（1）小球從A點(diǎn)由靜止釋放后到達(dá)最低點(diǎn)C時(shí)的速度。（2）小球擺到最低點(diǎn)時(shí)細(xì)繩的拉力。

解：（1）由機(jī)械能守恒有：mgl=1/2mv_C²；

（2）在最低點(diǎn)，由向心力公式有T－mg=mv²/l；T=3mg

【例2】在上例中，將小球自水平向下移，使細(xì)繩與水平方向成θ=30°角，如圖所示。求小球從A點(diǎn)由靜止釋放后到達(dá)最低點(diǎn)C時(shí)細(xì)繩的拉力。

解：

【例3】如圖，長為L的細(xì)繩一端拴一質(zhì)量為m的小球，另一端固定在O點(diǎn)，在O點(diǎn)的正下方某處P點(diǎn)有一釘子，把線拉成水平，由靜止釋放小球，使線碰到釘子后恰能在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，求P點(diǎn)的位置。

解析：設(shè)繩碰到釘子后恰能繞P點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的速率為v，由機(jī)械能守恒定律得：

在最高點(diǎn)，由向心力公式有：，，

【例4】如圖所示，長為l不可伸長的細(xì)繩一端系于O點(diǎn)，一端系一質(zhì)量為m的物體，物體自與水平方向成30°夾角（繩拉直）處由靜止釋放，問物體到達(dá)O點(diǎn)正下方處的動(dòng)能是多少？

    錯(cuò)解：由機(jī)械能守恒定律：l=mv²，所以最低點(diǎn)動(dòng)能為1.5mgl

    分析：小球運(yùn)動(dòng)過程是：先由A點(diǎn)自由下落至B。自B點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，就在B處繩使其速度改變的瞬間，小球的動(dòng)能減少，下面我們通過運(yùn)算來說明這個(gè)問題。

    正確解法：v_B=，其方向豎直向下，將該速度分解如圖所示   

v₂＝vcos30°=cos30°

    由B至C的過程中機(jī)械能守恒  mv＋mg0.5l=mv

    由此得mv=l

答案：l

  【例5】如圖所示，在一根長為L的輕桿上的B點(diǎn)和末端C各固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球，桿可以在豎直面上繞定點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，BC=L/3，現(xiàn)將桿拉到水平位置從靜止釋放，求末端小球C擺到最低點(diǎn)時(shí)速度的大小和這一過程中BC端對C球所做的功。（桿的質(zhì)量和摩擦不計(jì)）

解析：B、C兩球系統(tǒng)在下擺的過程中只有重力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。

;   由于B、C角速度相同，

解得：

對于C球，由動(dòng)能定理得解得桿BC段對C球做功

    點(diǎn)評：通過例4、例5兩題，人們會有這種想法：為什么例 4中在速度改變瞬間（B點(diǎn)）有能量損失，而例5中就沒有能量損失，這其中的原因是什么呢？仔細(xì)考慮可知：例5中繩的作用力與速度垂直，所以只改變了速度的方向而沒有改變速度的大小，而例4中雖然速度大小發(fā)生了變化（v₂＜v_B）。由動(dòng)量定理可知，沿半徑方向繩的拉力T產(chǎn)生的沖量使沿繩方向的動(dòng)量發(fā)生了變化，即TΔt＝mv₁，因此該情況就有能量損失，也就不可用機(jī)械能守恒定律。

功能問題的綜合應(yīng)用

一、功能關(guān)系

1. 能是物體做功的本領(lǐng)。也就是說是做功的根源。功是能量轉(zhuǎn)化的量度。究竟有多少能量發(fā)生了轉(zhuǎn)化，用功來量度，二者有根本的區(qū)別，功是過程量，能是狀態(tài)量。

2. 我們在處理問題時(shí)可以從能量變化來求功，也可以從物體做功的多少來求能量的變化。不同形式的能在轉(zhuǎn)化過程中是守恒的。

3. 功和能量的轉(zhuǎn)化關(guān)系

①合外力對物體所做的功等于物體動(dòng)能的增量。W_合=E_k2－E_k1（動(dòng)能定理）

②只有重力做功（或彈簧的彈力）做功，物體的動(dòng)能和勢能相互轉(zhuǎn)化，物體的機(jī)械能守恒。

③重力功是重力勢能變化的量度，即W_G=－ΔE_P重＝－（E_P末－E_P初） =E_P初－E_P末

④彈力功是彈性勢能變化的量度，即：W_彈＝－△E_P彈＝－（E_P末－E_P初） =E_P初－E_P末

⑤除了重力，彈力以外的其他力做功是物體機(jī)械能變化的量度，即：W_其他=E_末－E_初

⑥一對滑動(dòng)摩擦力對系統(tǒng)做總功是系統(tǒng)機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的量度，即：f·S_相對＝Q

⑦電場力功是電勢能變化的量度，即：W_E=qU=－ΔE=－（E_末－E_初）=E_初－E_末

⑧分子力功是分子勢能變化的量度。

【例1】在水平地面上平鋪n塊磚，每塊磚的質(zhì)量為m，厚度為h，如將磚一塊一塊地疊，需要做多少功？

解析：這是一道非常典型的變質(zhì)量與做功的題，很多同學(xué)不知怎樣列功能關(guān)系式才能求出功的大小，我們先畫清楚草圖。根據(jù)功能關(guān)系可知：只要找出磚疊放起來時(shí)總增加的能量ΔE，就可得到W_人＝ΔE，而ΔE＝E_末－E_初=nmgnh/2－nmgh/2=n（n－1）mgh/2

    因此，用“功能關(guān)系”解題，關(guān)鍵是分清物理過程中有多少種形式的能轉(zhuǎn)化，即有什么能增加或減少，列出這些變化了的能量即可。

答案：n（n－1）mgh/2

4. 對繩子突然繃緊，物體間非彈性碰撞等除題目特別說明，必定有機(jī)械能損失，碰撞后兩物體粘在一起的過程中一定有機(jī)械能損失。

二、能的轉(zhuǎn)化和守恒

    能量既不能憑空產(chǎn)生，也不能憑空消失，它只能從一種形式的能轉(zhuǎn)化為另一種形式的能，或者從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體，能的總量保持不變。

1. 應(yīng)用能量守恒定律的兩條思路：

    （1）某種形式的能的減少量，一定等于其他形式能的增加量。

    （2）某物體能量的減少量，一定等于其他物體能量的增加量。

【例2】如圖所示，一輕彈簧一端系在墻上的O點(diǎn)，自由伸長到B點(diǎn)，今將一質(zhì)量為m的小物體靠著彈簧，將彈簧壓縮到A點(diǎn)，然后釋放，小物體能在水平面上運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)靜止，AC距離為S；若將小物體系在彈簧上，在A由靜止釋放，小物體將做阻尼運(yùn)動(dòng)到最后靜止，設(shè)小物體通過的總路程為l，則下列答案中可能正確的是（     ）

    A. l=2S；     B. l＝S；         C. l＝0.5S；          D. l＝0

    解析：若物體恰好靜止在B。則彈簧原來具有的彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，應(yīng)有l＝S。若物體最后靜止在B點(diǎn)的左側(cè)或右側(cè)時(shí)，彈簧仍具有一定的彈性勢能，在這種情況下，物體移動(dòng)的總路程就會小于S。

    答案：BC

【例3】圖中，容器A、B各有一個(gè)可自由移動(dòng)的輕活塞，活塞下面是水，上面是大氣。大氣壓恒定，A、B的底部由帶有閥門k的管道相連，整個(gè)裝置與外界絕熱，原先，A中水面比B中高，打開閥門，使A中的水逐漸向B中流，最后達(dá)到平衡，在這個(gè)過程中。（   ）

    A. 大氣壓力對水做功，水的內(nèi)能增加

    B. 水克服大氣壓力做功，水的內(nèi)能減少

    C. 大氣壓力對水做功，水的內(nèi)能不變

D. 大氣壓力對水不做功，水的內(nèi)能增加

【解析】由題設(shè)條件可知，打開閥門k，由于水的重力作用·水從A流向B中，由于水與器壁間的摩擦作用，振動(dòng)一段時(shí)間最后達(dá)到平衡狀態(tài)；A和B中水面靜止在同一高度上，水受到重力、器壁壓力和兩水面上大氣壓力的作用，器壁壓力與水流方向垂直，不做功，最后A、B中水面等高。相當(dāng)于A中部分水下移到B中，重力對水做功，設(shè)A、B的橫截面積分別為S_A、S_B，兩個(gè)活塞豎直位移分別為L_A、L_B，大氣壓力對容器A中的活塞做的功為W_A=P₀S_AL_A，容器B中的活塞克服大氣壓力做的功W_B=P₀S_BL_B，因此大氣壓力通過活塞對整個(gè)水做功為零，即大氣壓力對水不做功，根據(jù)能量守恒定律，重力勢能的減少等于水的內(nèi)能的增加，所以選項(xiàng)D是正確答案。

    【評點(diǎn)】本題的關(guān)鍵是取整個(gè)水為研究對象，明確它的運(yùn)動(dòng)情況。正確分析它的受力，確定水受的力在水運(yùn)動(dòng)過程中做的功，應(yīng)用能的轉(zhuǎn)化和守恒定律推斷能量變化關(guān)系。

2. 摩擦力做功的過程能量轉(zhuǎn)化的情況

（1）靜摩擦力做功的特點(diǎn)

①靜摩擦力可以做正功，也可以做負(fù)功還可能不做功。

②在靜摩擦力做功的過程中，只有機(jī)械能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體（靜摩擦力起著傳送機(jī)械能的作用），而沒有機(jī)械能轉(zhuǎn)化為其他形式的能量。

③相互摩擦的系統(tǒng)，一對靜摩擦力所做功的代數(shù)和總等于零。

（2）滑動(dòng)摩擦力做功的特點(diǎn)：

①滑動(dòng)摩擦力可以做正功，也可以對物體做負(fù)功，還可以不做功（如相對運(yùn)動(dòng)的兩物體之一對地面靜止，則滑動(dòng)摩擦力對該物不做功）。

②在相互摩擦的物體系統(tǒng)中，一對相互作用的滑動(dòng)摩擦力，對物體系統(tǒng)所做總功的多少與路徑有關(guān)，其值是負(fù)值，等于摩擦力與相對路程的積，即W_f=f_滑·S_相對

表示物體系統(tǒng)損失機(jī)械能克服了摩擦力做功，ΔE_損= f_滑·S_相對=Q（摩擦生熱）。

③一對滑動(dòng)摩擦力做功的過程，能量的轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)移的情況：一是相互摩擦的物體通過摩擦力做功將部分機(jī)械能轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體上，二是部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，此部分能量就是系統(tǒng)機(jī)械能的損失量。

【例4】水平傳送帶以速度v勻速傳動(dòng)，一質(zhì)量為m的小木塊A由靜止輕放在傳送帶上，若小木塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，如圖所示，在小木塊與傳送帶相對靜止時(shí)，轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的能量為

    A. mv²        B. 2mv²           C. mv²           D. mv²

    分析：小物塊剛放在帶子上時(shí)處于靜止?fàn)顟B(tài)，與帶子有相對滑動(dòng)，受向前的滑動(dòng)摩擦力，使物塊加速，最終與帶子速度相同均為v。

由于題目要求出轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的能量，必須求出滑動(dòng)摩擦力對系統(tǒng)做的總功，再由

ΔE= f_滑·S_相對求解

【解析】物塊所受的滑動(dòng)摩擦力為：  f＝μmg，

    物塊加速度a=f/m=μg。

    加速至v的時(shí)間      t＝v/a=v/μg。

    物塊對地面運(yùn)動(dòng)的位移      

    這段時(shí)間內(nèi)帶子向前的位移      S_帶=Vt＝v²/μg

    則物塊相對于帶子向后滑動(dòng)的路程

    s_相對=s_帶—s_A= v²/2μg

    根據(jù)能量守恒定律

    ΔE內(nèi)＝f·s_相對=μmg·v²/2μg=m v²

點(diǎn)評：進(jìn)一步分析，在題設(shè)過程中，傳送帶克服摩擦力做的功 W＝f·S_帶＝μmg·v²/μg=m v²，只有一部分傳給了物塊使其動(dòng)能增加為mv²，另一部分轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，所以此題也可以這樣求解。ΔE_內(nèi)＝w－mv²＝mv²－mv²=mv²

    通過解答此題一定要理解“摩擦生熱”指的是滑動(dòng)摩擦生熱，在相對滑動(dòng)的過程中，通過摩擦力對系統(tǒng)做功來求解必須求出摩擦力在相對路程上做的功。

【例5】如圖所示，木塊A放在木塊B上左端，用力F將A拉至B的右端，第一次將B固定在地面上，F做功為W₁，生熱為Q₁；第二次讓B可以在光滑地面上自由滑動(dòng)，這次F做的功為W₂，生熱為Q₂，則應(yīng)有

A. W₁＜W₂， Q₁= Q₂                      B. W₁= W₂， Q₁＝Q₂

    C. W₁＜W₂， Q₁＜Q₂                    D. W₁＝W₂， Q₁＜Q₂

    解析：設(shè)B的長度為d，則系統(tǒng)損失的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的數(shù)量Q₁＝Q₂=μm_Agd，所以C、D都錯(cuò)。

在兩種情況下用恒力F將A拉至B的右端的過程中。第二種情況下A對地的位移要大于第一種情況下A對地的位移，所以 W₂＞W₁，B錯(cuò)

    答案：A

3. 用能量守恒定律解題的步驟

①確定研究的對象和范圍，分析在研究的過程中有多少種不同形式的能（包括動(dòng)能、勢能、內(nèi)能、電能等）發(fā)生變化。

②找出減少的能并求總的減少量ΔE_減，找出增加的能并求總的增加量ΔE_增

③由能量守恒列式，ΔE_減=ΔE_增。

④代入已知條件求解。

【例6】如圖所示，邊長為am的正方體木箱的質(zhì)量為100kg，一人采用翻滾木箱的方法將其移動(dòng)10 m遠(yuǎn)，則人對木箱做的功至少要多少J？（g取 10m／s²）

    解析：人翻滾木箱，若要做功最小，則需要緩慢（或勻速）翻轉(zhuǎn)木箱，不使木箱動(dòng)能增大，即ΔE_k=0，因此，人對木箱做功，僅需要克服木箱的重力做功（木箱在翻滾一次過程中重心升高一次），而且翻轉(zhuǎn)木箱的外力F必須最小，即外力作用點(diǎn)應(yīng)取在A點(diǎn)，并使外力方向與正方體木箱縱截面的對角線相垂直，外力對轉(zhuǎn)軸O的力臂最大，外力F的力矩始終與木箱重力G的力矩平衡。

    在木箱翻轉(zhuǎn)前一半過程中，重力G的力臂逐漸減小，外力F的力臂不變，因此，外力F逐漸減小，方向也在不斷改變，此過程屬變力做功過程。這種情況下求外力F的功等于物體重力勢能的增加。

將木箱翻滾一次，木箱向前移動(dòng)am，若將木箱向前移動(dòng)10 m遠(yuǎn)，需要翻轉(zhuǎn)的次數(shù)為n=10/a，W_合=mgh，    W_F—W_G=0； W_F—[mg（a－）]×=0

所以W_F =5mg（－1）=5×100×10（－1）＝5000（－1）J

    答案：5000（－1）J

【例7】一貨車車廂勻速前進(jìn)時(shí)，砂子從車廂上方的漏斗落進(jìn)車廂，在t秒內(nèi)落進(jìn)車廂內(nèi)的砂子的質(zhì)量為m，為維持車廂以速度v勻速前進(jìn)，需加一水平推力，問該推力的功率為多少？

解析：將上述過程分段討論如圖，B表示以速度v勻速運(yùn)動(dòng)的貨車，A表示落于車上的砂子，設(shè)經(jīng)過時(shí)間t后，AB相對靜止，此過程中A的位移為S₁，B的位移為S₂。顯然，S₁=vt/2，S₂=vt，故S₁/S₂=1/2 。

摩擦力對A做功W₁=f·S₁=mv²，功率為P₁=mv²/t

因B勻速運(yùn)動(dòng)，故F=f，外力對B做功為W₂=FS₂=fs₂=mv²，

功率為P₂= mv²/t

【模擬試題】

1. 如圖所示，長度相同的三根輕桿構(gòu)成一個(gè)正三角形支架，在A處固定質(zhì)量為2m的小球，B處固定質(zhì)量為m的小球。支架懸掛在O點(diǎn)，可繞過O點(diǎn)并與支架所在平面相垂直的固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)OB與地面相垂直，放手后開始運(yùn)動(dòng)，在不計(jì)任何阻力的情況下，下列說法正確的是

    A. A球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)速度為零

    B. A球機(jī)械能減少量等于B球機(jī)械能增加量

    C. B球向左擺動(dòng)所能達(dá)到的最高位置應(yīng)高于A球開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的高度

    D. 當(dāng)支架從左向右回?cái)[時(shí)，A球一定能回到起始高度

2. 如圖所示，一對雜技演員（都視為質(zhì)點(diǎn)）乘秋千（秋千繩處于水平位置）從A點(diǎn)由靜止出發(fā)繞O點(diǎn)下擺，當(dāng)擺到最低點(diǎn)B時(shí)，女演員在極短時(shí)間內(nèi)將男演員沿水平方向推出，然后自己剛好能回到高處A 。求男演員落地點(diǎn)C 與O 點(diǎn)的水平距離s。已知男演員質(zhì)量m₁，和女演員質(zhì)量m₂之比=2，秋千的質(zhì)量不計(jì)，秋千的擺長為R，C 點(diǎn)比O 點(diǎn)低5R。

3. 人們在工作、學(xué)習(xí)和勞動(dòng)時(shí)都需要能量，食物在人體內(nèi)經(jīng)消化過程轉(zhuǎn)化為葡萄糖，葡萄糖的分子式為C₆H₁₂O₆，葡萄糖在體內(nèi)又轉(zhuǎn)化為CO₂和H₂O，同時(shí)產(chǎn)生能量E=2.80×10⁶

J/mol。一個(gè)質(zhì)量為60kg的短跑運(yùn)動(dòng)員起跑時(shí)以1/6s的時(shí)間沖出1m遠(yuǎn)，他在這一瞬間消耗體內(nèi)儲存的葡萄糖多少克？

4. 如圖半徑分別為R和r的甲、乙兩圓形軌道放置在同一豎直平面內(nèi)，兩軌道之間由一條水平軌道CD相連，現(xiàn)有一小球從斜面上高為3R處的A點(diǎn)由靜止釋放，要使小球能滑上乙軌道并避免出現(xiàn)小球脫離圓形軌道而發(fā)生撞軌現(xiàn)象，試設(shè)計(jì)CD段可取的長度。小球與CD段間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，其余各段均光滑。

5. 如圖所示，三個(gè)質(zhì)量均為m的彈性小球用兩根長均為L的輕繩連成一條直線而靜止在光滑水平面上?，F(xiàn)給中間的小球B一個(gè)水平初速度v₀，方向與繩垂直。小球相互碰撞時(shí)無機(jī)械能損失，輕繩不可伸長。求：

（1）當(dāng)小球A、C第一次相碰時(shí)，小球B的速度。

（2）當(dāng)三個(gè)小球再次處在同一直線上時(shí)，小球B的速度。

（3）運(yùn)動(dòng)過程中小球A的最大動(dòng)能E_KA和此時(shí)兩根繩的夾角θ。

（4）當(dāng)三個(gè)小球處在同一直線上時(shí)，繩中的拉力F的大小。

【試題答案】

1. 解析：因A處小球質(zhì)量大，所處的位置高，圖中三角形框架處于不穩(wěn)定狀態(tài)，釋放后支架就會向左擺動(dòng)。擺動(dòng)過程中只有小球受的重力做功，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，選項(xiàng)B正確，D選項(xiàng)也正確。A球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，若設(shè)支架邊長是L。A球下落的高度便是L/2，有2mg·（L/2）的重力勢能轉(zhuǎn)化為支架的動(dòng)能，因而此時(shí)A球速度不為零，選項(xiàng)A錯(cuò)。當(dāng)A球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)有向左運(yùn)動(dòng)的速度，還要繼續(xù)左擺，B球仍要繼續(xù)上升，因此B球能達(dá)到的最高位置比A球的最高位置要高，C選項(xiàng)也正確。選B、C、D。

2. 解：設(shè)分離前男女演員在秋千最低點(diǎn)B 的速度為v₀，由機(jī)械能守恒定律

（m₁+m₂）gR=（m₁+m₂）v₀²

設(shè)剛分離時(shí)男演員速度的大小為v₁，方向與v₀相同；女演員速度的大小為v₂，方向與v₀相反，由動(dòng)量守恒，

（m₁+m₂）v₀=m₁v₁－m₂v₂

分離后，男演員做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)男演員從被推出到落在C點(diǎn)所需的

時(shí)間為t ，根據(jù)題給條件，由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律4R=gt²    s=v₁t

根據(jù)題給條件，女演員剛好回到A點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律，m₂gR=m₂v₂²

已知m₁/m₂=2，由以上各式可得   s=8R

3. 解：運(yùn)動(dòng)員在起跑時(shí)做變加速度運(yùn)動(dòng)，由于時(shí)間很短，為解決問題的方便，我們可以認(rèn)為在1/6s內(nèi)運(yùn)動(dòng)員做初速為零的勻加速運(yùn)動(dòng)。由S=（v₀+v_t）/2·t得運(yùn)動(dòng)員沖出1m時(shí)的末速度為v_t=2S/t=（2×1）÷1/6=12m/s。運(yùn)動(dòng)員在1/6s內(nèi)增加的動(dòng)能ΔE_k=mv_t²－mv₀²=

×60×12²=4320J。消耗的葡萄糖的質(zhì)量為：Δm=ΔE_k/E×180g=0.28g.

4. 解析：有兩種情況，一種是小球恰過乙軌道最高點(diǎn)，在乙軌道最高點(diǎn)的mg=mv²/r，從開始運(yùn)動(dòng)到乙軌道最高點(diǎn)，由動(dòng)能定理得

mg（3R－2r）－μmgCD=mv²－0聯(lián)立解得

CD=（6R－5r）/2μ，故應(yīng)用CD＜（6R－5r）/2μ。

另一種是小球在乙軌道上運(yùn)動(dòng)圓周時(shí)，速度變?yōu)榱悖?/span>

由mg（3R－r）=μmgCD解出CD=（3R－r）/μ，故應(yīng)有CD＞（3R－r）/μ

5. 解析：（1）設(shè)小球A、C第一次相碰時(shí)，小球B的速度為，考慮到對稱性及繩的不可伸長特性，小球A、C沿小球B初速度方向的速度也為，由動(dòng)量守恒定律，得

    由此解得

（2）當(dāng)三個(gè)小球再次處在同一直線上時(shí)，則由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，得

，

解得  

（三球再次處于同一直線），（初始狀態(tài)，舍去）

所以，三個(gè)小球再次處在同一直線上時(shí)，小球B的速度為（負(fù)號表明與初速度反向）

（3）當(dāng)小球A的動(dòng)能最大時(shí)，小球B的速度為零。設(shè)此時(shí)小球A、C的速度大小為，兩根繩間的夾角為θ（如圖），則仍由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，得

另外，

由此可解得，小球A的最大動(dòng)能為，此時(shí)兩根繩間夾角為

（4）小球A、C均以半徑L繞小球B做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)三個(gè)小球處在同一直線上時(shí)，以小球B為參考系（小球B的加速度為0，為慣性參考系），小球A（C）相對于小球B的速度均為所以，此時(shí)繩中拉力大小為。