本講教育信息】

一. 教學(xué)內(nèi)容：

平面向量

二. 考試大綱：

理解平面向量的有關(guān)概念、平面向量的線性運算、平面向量的坐標(biāo)表示、掌握平面向量的數(shù)量積；理解平面向量的平行與垂直；了解平面向量的應(yīng)用。

三. 教學(xué)重點、難點：

重點：平面向量的數(shù)量積。

難點：向量共線定理。

四. 基本內(nèi)容：

1、向量的概念：  

（1）

（2）

（3）

2、向量的運算：

3、重要的公式定理：

4、兩個向量的夾角：已知兩個非零向量和，過O點作＝，＝，則∠AOB＝θ（0°≤θ≤180°）叫做向量與的        ．當(dāng)θ＝0°時，與        ；當(dāng)θ＝180°時，與        ；如果與的夾角是90°，我們說與垂直，記作         ．

5、兩個向量的數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角為θ，則數(shù)量__________叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作·，即·＝         ．規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0．若＝（x₁， y₁），＝（x₂， y₂），則·＝         ．

6、向量的數(shù)量積的幾何意義：

||cosθ叫做向量在方向上的投影 （θ是向量與的夾角）．

·的幾何意義是，數(shù)量·等于          

7、向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)、都是非零向量，是單位向量，θ是與的夾角．

（1）·＝·＝       

（2）⊥       

（3）當(dāng)與同向時，·＝        ；當(dāng)與反向時，·＝        ．

（4）cosθ＝        ．

（5）|·|≤       

8、向量數(shù)量積的運算律：

（1）·＝        ；

（2）（λ）·＝        ＝·（λ）

（3）（＋）·＝       

五. 基礎(chǔ)訓(xùn)練：

1、（福建理4文8）對于向量，和實數(shù)，下列命題中假命題是 ①③④     

①若，則或    ②  若，則

③ 若，則     ④ 若，則

2、已知向量＝（4，2），向量＝（，3），且//，則＝　6　

3、（全國2 理5）在?ABC中，已知D是AB邊上一點，若＝2，＝，則＝。

4、已知向量、滿足：||＝1，||＝2，|－|＝2，則|＋|＝。

【典型例題】

例1. 已知A（－1，－1）B（1，3）C（2，5），求證A、B、C三點共線

證明：設(shè)點B′（1，y）是的一個分點，且＝λ，則1＝

解得λ＝2

∴y＝＝3

即點B′與點B重合

∵點B′在上，∴點B在上，

∴A、B、C三點共線

例2. 在四邊形ABCD中，·＝·＝·＝·，試證明四邊形ABCD是矩形

分析：要證明四邊形ABCD是矩形，可以先證四邊形ABCD為平行四邊形，再證明其一組鄰邊互相垂直為此我們將從四邊形的邊的長度和位置兩方面的關(guān)系來進(jìn)行思考

證明：設(shè)＝，＝，＝，＝，則

∵＋＋＋＝O

∴＋＝－（＋）

兩邊平方得

｜｜²＋2·＋｜｜²＝｜｜²＋2·＋｜｜²，

又·＝·

∴｜｜²＋｜｜²＝｜｜²＋｜｜²（1）

同理｜｜²＋｜｜²＝｜｜²＋｜｜²（2）

由（1）（2）得｜｜²＝｜｜²，｜｜²＝｜｜²，

∴＝，＝，

即AB＝CD，BC＝DA

∴四邊形ABCD是平行四邊形

于是＝－，即＝－，

又·＝·，故·＝·（－）

∴·＝O

∴⊥

∴四邊形ABCD為矩形

評述：向量具有二重性，一方面具有“形”的特點，另一方面又具有一套優(yōu)良的運算性質(zhì)，因此，對于某些幾何命題的抽象的證明，自然可以轉(zhuǎn)化為向量的運算問題來解決，要注意體會

例3. 設(shè)坐標(biāo)平面上有三點A、B、C，，分別是坐標(biāo)平面上x軸，y軸正方向的單位向量，若向量＝－2，＝＋ｍ，那么是否存在實數(shù)ｍ，使A、B、C三點共線

分析：可以假設(shè)滿足條件的ｍ存在，由A、B、C三點共線∥存在實數(shù)λ，使＝λ，從而建立方程來探索

解法一：假設(shè)滿足條件的ｍ存在，由A、B、C三點共線，即∥，

∴存在實數(shù)λ，使＝λ，

－2＝λ（＋ｍ），

  ∴ｍ＝－2

∴當(dāng)ｍ＝－2時，A、B、C三點共線

解法二：假設(shè)滿足條件的ｍ存在，根據(jù)題意可知：＝（1，O），＝（O，1）

∴＝（1，O）－2（O，1）＝（1，－2），

＝（1，O）＋ｍ（O，1）＝（1，ｍ），

由A、B、C三點共線，即∥，

故1·ｍ－1·（－2）＝O解得ｍ＝－2

∴當(dāng)ｍ＝－2時，A、B、C三點共線

評述：（1）共線向量的充要條件有兩種不同的表示形式，但其本質(zhì)是一樣的，在運用中各有特點，解題時可靈活選擇

（2）本題是存在探索性問題，這類問題一般有兩種思考方法，即假設(shè)存在法——當(dāng)存在時；假設(shè)否定法——當(dāng)不存在時

例4. （山東文）在中，角的對邊分別為．

（1）求；

（2）若，且，求．

解：（1）

又    解得．

，是銳角．      ．

（2），        ，      ．

又       ．      ．

．   ．

例5. （湖北卷）設(shè)向量a＝（sinx，cosx），b＝（cosx，cosx），x∈R，函數(shù)f（x）＝a·（a＋b）。

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值與最小正周期；

（Ⅱ）求使不等式f（x）≥成立的x的取值集合。

解：（Ⅰ）∵

∴的最大值為，最小正周期是。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

即使成立的的取值集合是。

例6. （四川卷）已知是三內(nèi)角，向量，且

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，求tanC

解：本小題主要考查三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考查應(yīng)用、分析和計算能力。

（Ⅰ）∵∴  即

，

∵  ∴   ∴

（Ⅱ）由題知，整理得

∴∴

∴或

而使，舍去   ∴

∴

例7. （湖北卷）設(shè)函數(shù)，其中向量，，，。

（Ⅰ）求函數(shù)的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）將函數(shù)的圖像按向量平移，使平移后得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱，求長度最小的。

點評：本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計算方法、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)及圖像的基本知識，考查推理和運算能力。

解：（Ⅰ）由題意得，＝（sinx，－cosx）·（sinx－cosx，sinx－3cosx）

＝sin²x－2sinxcosx+3cos²x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin（2x+）.

所以，f（x）的最大值為2+，最小正周期是＝.

（Ⅱ）由sin（2x+）＝0得2x+＝k，即x＝，k∈Z，

于是d＝（，－2），k∈Z.

因為k為整數(shù)，要使最小，則只有k＝1，此時d＝（―，―2）即為所求.

例8. 用向量的方法證明：cos（α-β）＝cosαcosβ+sinαsinβ．

證明：設(shè)角α、β的終邊分別與單位圓交于點P₁、P₂，則點P₁、P₂的坐標(biāo)分別是P₁（cosα，sinα）、P₂（cosβ，sinβ）；

即向量＝（cosα，sinα）；＝（cosβ，sinβ）；

則據(jù)向量數(shù)量積的定義，有·＝||·||cos（α-β）＝cos（α-β）；

又由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算法則，有·＝cosαcosβ+sinαsinβ；

由此可知，cos（α-β）＝cosαcosβ+sinαsinβ．

講評：這里應(yīng)限制0≤α-β≤180°．

如果已知||＝r（r>0），往往可設(shè)＝（rcosα，rsinα）．

例9. 設(shè)點O為原點，A（2，1），B（4，6），且＝t+（1－t），若點P在（1）x軸上，（2）第一象限的角平分線上，（3）第四象限，試求t的取值．

解：＝t+（1－t）＝t（2，1）+（1－t）（4，6）＝（4－2t，6－5t）．

（1）當(dāng)點P在x軸上時，6－5t＝0，得t＝；

（2）當(dāng)點P在第一象限的角平分線上時，4－2t＝6－5t>0，解得t＝;

（3）當(dāng)點P在第四象限內(nèi)時，有4－2t>0且6－5t<0，得<t<2．

即當(dāng)t＝時點P在x軸上；當(dāng)t＝時點P在第一象限的角平分線上；當(dāng)<t<2時，點P在第四象限．

講評：若點P、A、B滿足＝λ+μ，且λ+μ＝1時，點P在直線AB上．本題就是求直線AB與x軸相交、與第一象限角平分線相交、直線上的點在第四象限時的t值，

【模擬試題】

1、已知︱︱＝1，︱︱＝，＝0，點C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC＝30°，設(shè)＝m+n（m、n∈R），則＝　　　　　　　　

2、已知向量與的夾角為120°，則＝　　　　　　

3、已知向量，是不平行于軸的單位向量，且，則　　　　　　

4、已知非零向量a、b，若a＋2b與a－2b互相垂直，則　　　　　　　　　

5、已知，且關(guān)于的方程有實根，則與的夾角的取值范圍是　　　　　　　　　

6、△ABC的三內(nèi)角所對邊的長分別為設(shè)向量，，若，則角的大小為　　　　　　　　　

7、設(shè)，，，點是線段上的一個動點，，若，則實數(shù)的取值范圍是　　　　　　　　　　

8、已知向量＝（4，2），向量＝（，3），且//，則＝　　　　　　　

9、設(shè)向量滿足，，則　　　　　　

10、與向量a＝的夾角相等，且模為1的向量是　　　　　　　

11、（安徽卷）在平行四邊形ABCD中，，M為BC的中點，則_______。（用表示）

12、（北京卷）若三點共線，則的值等于__________.

13、（北京卷）若三點A（2，2），B（a，0），C（0，4）共線，則a的值等于           。

14、已知點A（－3，－4）、B（5，－12）

（1）求的坐標(biāo)及｜｜；

（2）若＝＋，＝－，求及的坐標(biāo)；

（3）求·

15、在△ABC中，設(shè)＝（2，3），＝（1，k）；且⊿ABC是直角三角形，求k的值．

16、已知向量＝（sinθ，1），＝（1，cosθ），－＜θ＜．

（1）若，求θ；

（2）求的最大值．

【試題答案】

1、解析：點C在AB上，且＝30°。

設(shè)A點坐標(biāo)為（1，0），B點的坐標(biāo)為（0，），C點的坐標(biāo)為（x，y）＝（，），，則∴ m＝，n＝，＝3。

2、解析：向量與的夾角為120°，，，

∴ ，則＝－1（舍去）或＝4，

3、解：設(shè)＝（x，y），則有解得x＝，y＝，

∴（）

4、解：由a＋2b與a－2b互相垂直T（a＋2b）·（a－2b）＝0Ta²－4b²＝0

即|a|²＝4|b|²T|a|＝2|b|，故填2。

5、解析：且關(guān)于的方程有實根，則，設(shè)向量的夾角為θ，cosθ＝≤，∴θ∈，

6、解析：，利用余弦定理可得，即

7、解析：

解得：，因點是線段上的一個動點，所以，即滿足條件的實數(shù)的取值范圍是，

8、解：//T4×3－2x＝0，解得x＝6，

9、解：由T，故

10、解析：與向量的夾角相等，且模為1的向量為（x，y），則，解得或，故填. 或

11、解：，，所以。

12、解：，，依題意，有（a－2）·（b－2）－4＝0，即ab－2a－2b＝0所以＝

13、解：＝（a－2，－2），＝（－2，2），依題意，向量 與共線，故有2（a－2）－4＝0，得a＝4

14、解：（1）＝（8，－8），｜｜＝8

（2）＝（2，－16），＝（－8，8）

（3）·＝33

15、解 （1）若DA＝90°，則⊥，于是 2×1+3×k＝0，解得k＝ -；

  （2）若DB＝90°，則⊥，但＝-＝（-1，k-3），故得2×（-1）+3×（k-3）＝0，解得k＝；

    （3）若DC＝90°，則⊥，故1×（-1）+k（k-3）＝0，解得k＝．

綜上可知，k＝ -， ， ．

16、解（1）.  

當(dāng)＝1時有最大值，此時_，最大值為