有一首很好聽的歌，叫“神奇的九寨”，我借用這個(gè)題目寫一寫“神奇的π”。上一篇博文“是先有結(jié)論，還是先有數(shù)據(jù)？（130715）”中，我談到了理論要從實(shí)踐中來。一般來說是這樣，但不都是。本文想說：π就不是從實(shí)踐中來的。

   大家知道，圓周率是指圓周長與直徑之比。公元前20世紀(jì)，巴比倫人就發(fā)現(xiàn)圓周長是直徑的3.125倍。中國古算書《周髀算經(jīng)》（約公元前2世紀(jì)）中有“徑一而周三”的記載。漢朝時(shí)，張衡得出圓周率的平方除以16等于5/8（約為3.162）。公元263年，中國數(shù)學(xué)家劉徽用“割圓術(shù)”計(jì)算圓周率，他得出3.141024的圓周率近似值。他繼續(xù)割圓到1536邊形，求出令自己滿意的圓周率3927/1250=3.1416。公元480年左右，南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖沖之進(jìn)一步得出精確到小數(shù)點(diǎn)后7位，即不足近似值3.1415926和過剩近似值3.1415927。1706年英國數(shù)學(xué)家威廉·瓊斯（WilliamJones ，1675－1749）最先使用“π”來表示圓周率， 1737年，瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉也開始用π表示圓周率。我當(dāng)過數(shù)學(xué)教員，記得在蘇聯(lián)中學(xué)教科書上有π=3.1415926535897932384626433，那是25位，現(xiàn)在還記得。其實(shí)，這些都是近似值。微積分發(fā)展起來以后才知道：π是一個(gè)無窮級數(shù)之和，或者說一個(gè)極限。可以證明它不是一個(gè)有理數(shù)，而是一個(gè)無理數(shù)，一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)。奇怪的是：不管大圓、小圓；歐洲的圓、亞洲的圓，其周長都是直徑的π倍。不過，不管你怎么試，用多么精確的儀器，都得不出π來。只有經(jīng)過理論的推理，才能推出這個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)。當(dāng)然，計(jì)算它的近似值到幾千位、幾萬位，那是計(jì)算機(jī)的事，計(jì)算π還被用來測試系統(tǒng)穩(wěn)定性和測試CPU計(jì)算完特定位數(shù)圓周率所需的時(shí)間。都無非是勞務(wù)而已。

其所以說π神奇，是因?yàn)樗鼰o限不循環(huán)，可以任意想象。美國有一個(gè)教授，叫卡爾·薩根(CarlSagan，1934-1996)，是位太空科學(xué)家，曾經(jīng)因?yàn)閳?bào)導(dǎo)太空文學(xué)而得普立茲獎。美國科學(xué)基金會頒發(fā)了一項(xiàng)最高榮譽(yù)給他，并稱贊：“他的研究工作改變了星際科學(xué)……，他給人類的禮物是豐盛無比的。”他的科幻小說《接觸》，還改編成電影。里面說，一個(gè)地球上的科學(xué)家訪問一個(gè)遙遠(yuǎn)的行星，發(fā)現(xiàn)外星人計(jì)算π的位數(shù)長得多，而且轉(zhuǎn)換為各種進(jìn)制，譬如二進(jìn)制、3進(jìn)制、11進(jìn)制等等，很長很長。這個(gè)無限長的序列里包含了多少信息？有人說它包含了所有人的姓名、身份證號碼及其他所有信息，不過不知道是在哪一段。有人說它包含了所有素?cái)?shù)。也可以說它包含了所有可能的數(shù)字組合。這個(gè)結(jié)論既不能證明它對，也不能證明它錯(cuò)，因?yàn)樗鼰o限不循環(huán)。只有人們定義的正規(guī)數(shù)，可以包含所有可能的數(shù)字組合。正規(guī)數(shù)（Normal Number）是一個(gè)任何數(shù)字都顯示均勻隨機(jī)分布的數(shù)字序列，即每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)機(jī)會均等的實(shí)數(shù)。以10為低，任意數(shù)字組合的出現(xiàn)都是等可能的。譬如擲銅板出現(xiàn)的正反面是以2位為底的無窮序列；擲骰子出現(xiàn)以6為底的無窮序列。這些都是正規(guī)數(shù)。那么，它到底包含了多少信息？可申農(nóng)說隨機(jī)數(shù)不包含任何信息。已經(jīng)證明：幾乎所有實(shí)數(shù)都是正規(guī)的，除開一個(gè)勒貝格測度為0的集合之外。別以為這個(gè)勒貝格測度為0的集合很小，所有有理數(shù)都包含在內(nèi)。人們構(gòu)造了許多正規(guī)數(shù)，而且可以相信，但無人證明在任何進(jìn)制下π是一個(gè)正規(guī)數(shù)。

科幻小說離開形式邏輯，憑著鉆空子的想象，可以發(fā)現(xiàn)許多知識，但必定是沒有結(jié)局的。所以必須要利用科幻的外表，發(fā)掘人性的本質(zhì)?？苹眯≌f和電影在我國好像不太時(shí)興。我們不太提倡科學(xué)幻想，大膽地自由思考。我們只知道重拍四大名著，重拍N次。但人家卡爾·薩根，憑著科學(xué)幻想，可以成為大科學(xué)家。