凱利公式志在解決的問題

假設(shè)賭局1:你贏的概率是60%，輸?shù)母怕适?/span>40%。贏時(shí)的凈收益率是100%，輸時(shí)的虧損率也是100%。也即，如果贏，那么你每賭1元可以贏得1元，如果輸，則每賭1元將會輸?shù)?/span>1元。賭局可以進(jìn)行無限次，每次下的賭注由你自己任意定。問題：假設(shè)你的初始資金是100元，那么怎么樣下注，即每次下注金額占本金的百分之多少，才能使得長期收益最大。

對于這個(gè)賭局，每次下注的期望收益是下注金額的60%*1-40%*1=20%，期望收益為正。也就是說這是一個(gè)對賭客占優(yōu)的賭局，而且占得優(yōu)勢非常大。

那么我們應(yīng)該怎么樣下注呢？

如果不進(jìn)行嚴(yán)密的思考，粗略的想象一下，我們會覺得既然我每次賭的期望收益是20%，那么為了實(shí)現(xiàn)長期的最大收益，我應(yīng)該在每次賭博中盡量放入更多比例的本金。這個(gè)比例的最大值是100%。

但是顯然每一局賭博都放入100%的本金是不合理的，因?yàn)橐坏┠囊淮钨€博賭輸了，那么所有的本金就會全部輸光，再也不能參加下一局，只能黯然離場。而從長期來看，賭輸一次這個(gè)事件必然發(fā)生，所以說長期來看必定破產(chǎn)。

所以說這里就得出了一個(gè)結(jié)論：只要一個(gè)賭局存在一下子把本金全部輸光的可能，哪怕這個(gè)可能非常的小，那么就永遠(yuǎn)不能滿倉。

因?yàn)殚L期來看，小概率事件必然發(fā)生，而且在現(xiàn)實(shí)生活中，小概率事件發(fā)生的實(shí)際概率要遠(yuǎn)遠(yuǎn)的大于它的理論概率。這就是金融學(xué)中的肥尾效應(yīng)。

繼續(xù)回到賭局1。

既然每次下注100%是不合理的，那么99%怎么樣。如果每次下注99%，不但可以保證永遠(yuǎn)不會破產(chǎn)，而且運(yùn)氣好的話也許能實(shí)現(xiàn)很大的收益。

實(shí)際情況是不是這個(gè)樣子呢？

我們先不從理論上來分析這個(gè)問題，我們可以來做個(gè)實(shí)驗(yàn)。我們模擬這個(gè)賭局，并且每次下注99%，看看結(jié)果會怎么樣。

這個(gè)模擬實(shí)驗(yàn)非常的簡單，用excel就能完成。請看下圖：

如上圖，第一列表示局?jǐn)?shù)。第二列為勝負(fù)，excel會按照60%的概率產(chǎn)生1，即60%的概率凈收益率為1，40%的概率產(chǎn)生-1，即40%的概率凈收益為-1。第三列為每局結(jié)束時(shí)賭客所有的資金。這個(gè)實(shí)驗(yàn)每次下注倉位是99%，初始本金是100，分別用黃色和綠色標(biāo)出。

大家從圖中可以看出，在進(jìn)行了10局之后， 10局中贏的局?jǐn)?shù)為8，比60%的概率還要大，僅僅輸了兩次。但即使是這樣，最后的資金也只剩下了2.46元，基本上算是輸光了。

當(dāng)我把實(shí)驗(yàn)次數(shù)加大，變成1000次、2000次、3000次……的時(shí)候，結(jié)果可想而知了，到最后手中的資金基本上是趨向于0。

既然99%也不行，那么我們再拿其他幾個(gè)比例來試試看，看下圖：

從圖中可以看出，當(dāng)把倉位逐漸降低，從99%，變成90%，80%，70%，60%的時(shí)候，同樣10局的結(jié)果就完全不一樣了。從圖中似乎可以看出隨著倉位逐漸的變小，在10局之后的資金是逐漸變大的。

大家看到這里，就會漸漸的發(fā)現(xiàn)這個(gè)賭局的問題并不是那么簡單的。就算是賭客占優(yōu)如此之大的賭局，也不是隨隨便便都能贏錢的。

那么到底怎么下注才能使得長期收益最大呢？

是否就像上圖所顯示的那樣，比例越小越好呢？應(yīng)該不是，因?yàn)楫?dāng)比例變成0的時(shí)候顯然也不能賺錢。

那么這個(gè)最優(yōu)的比例到底是多少呢？

這就是著名的凱利公式所要解決的問題！

凱利公式介紹

其中f為最優(yōu)的下注比例。p為贏的概率。r_w是贏時(shí)的凈收益率，例如在賭局1中r_w=1。r_l是輸時(shí)的凈損失率，例如在賭局1中r_l=1。注意此處r_l>0。

根據(jù)凱利公式，可以計(jì)算出在賭局1中的最有下注比例是20%。

我們可以進(jìn)行一下實(shí)驗(yàn)，加深對這個(gè)結(jié)論的理解。

如圖，我們分別將倉位設(shè)定為10%，15%，20%，30%，40%。他們對應(yīng)的列數(shù)分別是D、E、F、G、H。

當(dāng)我把實(shí)驗(yàn)次數(shù)變成3000次的時(shí)候，如下圖：

當(dāng)我把實(shí)驗(yàn)次數(shù)變成5000次的時(shí)候，如下圖：

大家從兩幅圖中可以看到F列對應(yīng)的結(jié)果最大，和其它列相比壓根就不是一個(gè)數(shù)量級的。而F列對應(yīng)的倉位比例正是20%。

大家看到凱利公式的威力了吧。在上面的實(shí)驗(yàn)中，如果你不幸將比例選擇為40%，也就是對應(yīng)H列，那么在5000局賭博之后，你的本金雖然從100變成了22799985.75，收益巨大。但是和20%比例的結(jié)果相比，那真是相當(dāng)于沒賺錢。

這就是知識的力量！

凱利公式理解

凱利公式的數(shù)學(xué)推導(dǎo)及其復(fù)雜，需要非常高深的數(shù)學(xué)知識，所以在這里討論也沒有什么意義。哎，說白了其實(shí)就是我也看不大懂。凱利公式原始的論文pdf鏈接我會附在文章后面，有興趣的可以自己去看。

在這里我將通過一些實(shí)驗(yàn)，加深大家對凱利公式主觀上的理解。

我們再來看一個(gè)賭局。賭局2：你輸和贏的概率分別是50%，例如拋硬幣。贏的時(shí)候凈收益率為1，即r_w=1，輸?shù)臅r(shí)候凈損失率為0.5，即r_l=0.5。也就是說當(dāng)你每賭一元錢，贏的時(shí)候你能再贏1元，輸?shù)臅r(shí)候你只要付出去5毛。

容易看出賭局2的期望收益是0.25，又是一個(gè)賭客存在極大優(yōu)勢的賭局。

根據(jù)凱利公式，我們可以得到每局最佳的下注比例為：,也就是說每次把一半的錢拿去下注，長期來看可以得到最大的收益。

下面我要根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出平均增長率r的概念。

首先來看實(shí)驗(yàn)2.1，如下兩張圖：

這兩張圖都是模擬賭局2做的實(shí)驗(yàn)，在第二列的勝負(fù)列中，實(shí)驗(yàn)會50%的概率產(chǎn)生1，表示盈利100%。50%的概率產(chǎn)生-0.5，表示虧損50%。第三第四列分別是在倉位為100%和50%下每次賭局之后所擁有的資金。

仔細(xì)對比兩張圖可以發(fā)現(xiàn)結(jié)論一，亦即在經(jīng)過相同次的局?jǐn)?shù)之后，最后的結(jié)果只與在這些局?jǐn)?shù)中贏的局?jǐn)?shù)的數(shù)量和輸?shù)木謹(jǐn)?shù)的數(shù)量有關(guān)，而與在這些局?jǐn)?shù)中贏的局和輸?shù)木值捻樞驘o關(guān)。例如在上兩幅圖中，同樣進(jìn)行了4局，同樣每幅圖中贏了兩局輸了兩局，但是第一張圖的輸贏順序是贏輸輸贏，第二張圖的輸贏順序是輸贏贏輸。它們最終的結(jié)果都是一樣的。

當(dāng)然這個(gè)結(jié)論非常容易證明（乘法交換律，小學(xué)生就會），這里就不證明了，上面舉的兩個(gè)例子足夠大家很好的理解。

那么既然最終的結(jié)果和輸贏的順序無關(guān)，那么我們假設(shè)賭局2如實(shí)驗(yàn)2.2一樣進(jìn)行下去，看下圖：

我們假設(shè)賭局的勝負(fù)是交替進(jìn)行的，由于結(jié)論一，從長期來看這對結(jié)果資金沒有任何影響。

在自己觀察圖片之前我們先做一個(gè)定義。假設(shè)將某幾局賭局視為一個(gè)整體，這個(gè)整體中各種結(jié)果出現(xiàn)的頻率正好等于其概率，并且這個(gè)整體的局?jǐn)?shù)是所有滿足條件整體當(dāng)中局?jǐn)?shù)最小的，那么我們稱這個(gè)整體為一組賭局。例如在上圖的實(shí)驗(yàn)中，一組賭局就代表著進(jìn)行兩局賭局，其中贏一次輸一次。

仔細(xì)觀察上圖中藍(lán)色標(biāo)記的數(shù)字，它們是一組賭局的結(jié)尾。你會發(fā)現(xiàn)這些數(shù)字是保持著穩(wěn)定的增長的。當(dāng)倉位是100%時(shí)，藍(lán)色標(biāo)記數(shù)字的增長率是0%，即一組賭局之后本金的增長率為0%。這也解釋了當(dāng)每次都滿倉下注的時(shí)候，在賭局2中長期來看是無法賺錢的。當(dāng)倉位是50%（即凱利公式得出的最佳比例）時(shí)，藍(lán)色標(biāo)記數(shù)字的增長率是12.5%，即一組賭局之后本金的增長率為12.5%。

這是一個(gè)普遍的規(guī)律，每組賭局之后的增長率與倉位有關(guān)。且每組賭局之后的增長率越大，那么長期來看最終的收益也就越多。

根據(jù)每組賭局的增長率可以計(jì)算出每個(gè)賭局的平均增長率g。在上面的圖中，每組賭局之中包含兩個(gè)賭局，那么每個(gè)賭局的平均增長率 

其實(shí)這個(gè)r是可以通過公式算出來的。

從長期來看，想要讓資本得到最大的增長，其實(shí)只要讓r最大，也即讓g最大化。而最佳下注比例f其實(shí)也是通過求解max(g)的出來的。

凱利公式其他結(jié)論——關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)

凱利傳奇（本節(jié)內(nèi)容來自互聯(lián)網(wǎng)）

凱利公式最初為 AT&T 貝爾實(shí)驗(yàn)室物理學(xué)家約翰·拉里·凱利根據(jù)他的同僚克勞德·艾爾伍德·夏農(nóng)于長途電話線雜訊上的研究所建立。凱利解決了夏農(nóng)的資訊理論要如何應(yīng)用于一名擁有內(nèi)線消息的賭徒在賭馬時(shí)的問題。賭徒希望決定最佳的賭注金額，而他的內(nèi)線消息不需完美（無雜訊），即可讓他擁有有用的優(yōu)勢。凱利的公式隨后被夏農(nóng)的另一名同僚愛德華·索普應(yīng)用于二十一點(diǎn)和股票市場中。

索普利用工作之余，通過數(shù)個(gè)月的艱苦演算，寫了一篇題為《“二十一點(diǎn)”優(yōu)選策略》的數(shù)學(xué)論文。他利用自己的知識，一夜之間“奇襲”了內(nèi)華達(dá)雷諾市所有的賭場，并成功的從二十一點(diǎn)賭桌上贏得了上萬美元。他還是美國華爾街量化交易對沖基金的鼻祖，70年代首創(chuàng)第一個(gè)量化交易對沖基金。1962年出版了他的專著《打敗莊家》，成為金融學(xué)的經(jīng)典著作之一。

運(yùn)用展望

如何利用凱利公式在現(xiàn)實(shí)生活中賺錢？

那就是要去創(chuàng)造滿足凱利公式運(yùn)用條件的“賭局”。在我看來，這個(gè)“賭局”一定是來自金融市場。

近期我一直在做交易系統(tǒng)的研究，對于一個(gè)優(yōu)秀的交易系統(tǒng)來說什么是最重要的？一個(gè)期望收益為正的買賣規(guī)則占到重要性的10%，而一個(gè)好的資金控制方法占到了重要性的40%，剩下的50%是操控人的心理控制力。

而凱利公式正是幫助我進(jìn)行資金倉位控制的利器。

比如說之前我研究出的一個(gè)股票交易系統(tǒng)，該系統(tǒng)每周進(jìn)行一次交易，每周交易成功的概率是0.8，失敗的概率是0.2。當(dāng)成功的時(shí)候可以賺取3%（扣掉傭金，印花稅），每次失敗時(shí)虧損5%。在不知道凱利公式之前，我都是盲目的滿倉交易，也不知道我這個(gè)倉位設(shè)定的對不對，心理很虛。在運(yùn)用凱利公式之后，計(jì)算的最佳的倉位應(yīng)該是9.33，就是說如果借款利率是0的話想要得到最快的資金增長速度就要使用杠桿交易，通過公式計(jì)算得到每次交易的平均增長率r約等于7.44%，而滿倉交易的平均資金增長率為r約等于 1.35（其實(shí)也就是期望收益）。通過實(shí)驗(yàn)?zāi)M之后也發(fā)現(xiàn)確實(shí)杠桿交易比滿倉交易資金增長的速度要快的多。這也讓我更好的理解了為什么很多量化投資基金公司需要使用杠桿交易。

當(dāng)然凱利公式在實(shí)際的運(yùn)用中不可能這么的簡單，還有很多的困難需要克服。比如說杠桿交易所需要的資金成本，比如說現(xiàn)實(shí)中資金并不是無限可分的，比如說在金融市場并不像上文提到的簡單的賭局那么簡單。

但是不管怎么樣，凱利公式為我們指明了前進(jìn)的道路。