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這些數(shù)學常識，你都知道嗎？ 1. 直線上點的個數(shù)與正方形中點的個數(shù)一樣多； 同樣的，圓圈上點的個數(shù)也和直線上的點個數(shù)一樣多。 2. （莫比烏斯帶）取一張長紙條，將一端扭一180度后與另一端粘合， 你就得到一張只有一個面的紙條。 進一步， 沿著這個紙條的中心線剪開， 你會得到兩個互相套在一起的紙環(huán)。 3. 地球上任何一個時刻，必定有一處完全沒有風（即風速為零）。 注記：用數(shù)學語言來說，就是球面上不存在處處非零的連續(xù)切向量場。這是一個拓撲問題，但同時有聯(lián)系了微分幾何的性質。它反映了球面的拓撲特性。 4. 不能用尺規(guī)作圖三等分一個角； 但是我們能用尺規(guī)作圖作出正17邊形（Gauss十四歲時首次發(fā)現(xiàn)）。 注記： 這個問題的解法極為巧妙，可以參看《100個著名數(shù)學問題》。 5. （走迷宮） 其必勝秘訣是： 進入迷宮后，左手貼著墻不要離開， 一直走下去， 必定會走出來。 6. （四色問題）： 任何地圖，只要用四種顏色就能將所有地區(qū)（或國家）區(qū)別開來。 注記： 假如我們的地球不是一個球而是一個面包圈，那么這個結論就不一樣了。 四色定理本質上反映了球面的拓撲特性?？梢詤⒖础锻負鋵W奇趣》這本書。 7. 一個約三四十人的班上， 有兩個人生日相同的概率竟然高達百分之九十幾。 (本人有幸親身應驗了這件事) 8. 天氣預報可以由一組精確的方程組確定。但遺憾的是， 它的解會隨著時間的流逝而越來越越遠離正確值。 換句話說， 不管計算機多精確只能在有限時間內精確預報出天氣。 作者注： 這就是混沌理論的最具體例子。 9. 凸多面體的歐拉公式： 面的個數(shù) + 頂點個數(shù) - 棱的個數(shù)=2. 世界上只有5種正多面體。 注記：這個結論后來被推廣到更一般的情形，就是現(xiàn)代數(shù)學中最基本的“同調理論”--主要歸功于大數(shù)學家龐加萊?？梢哉J為這是拓撲學的真正開始?？梢詤⒖匆槐竞苡腥さ恼軐W小冊子《證明與反駁》。此書就是以此為案例來討論的。 10. 如何計算圓周率π？有很多巧妙辦法，其中之一是： π/4=1- 1/3+ 1/5- 1/7+ 1/9- 1/11+ 1/13-1/15+...... 注記： 很多計算圓周率的方法都直接或間接源自于橢圓函數(shù)的理論。橢圓是個奇妙的東西。為了尋求“求橢圓周長”的方法，人們逐步發(fā)現(xiàn)了無數(shù)神奇美妙的數(shù)學寶藏。它將數(shù)論、幾何、分析等等都聯(lián)系在一起，可以說是一只“真正會產金蛋的雞”。 11. （等周問題） 長度為一定的的平面閉合曲線中，以圓所圍的平面面積為最大。 注記：初等證法可以參看《數(shù)學中的智巧》一書。 12. 任何整數(shù)都能表示為不多于4個平方數(shù)之和； 任何>9的奇數(shù)都能表示為三個奇素數(shù)之和； 哥德巴赫猜想（代號"1+1"）： 任何>6的偶數(shù)都能表示為兩個奇素數(shù)之和嗎？ 作者注： 素數(shù)就是指“除了1和本身外不被其他整數(shù)除盡”的正整數(shù)。 最小的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,... 13. 費馬最后的定理： 不存在三個正整數(shù) (x,y,z)， 滿足x^n+y^n=z^n （n是大于2的整數(shù)）。 n等于2時， 滿足方程的整數(shù)叫做勾股數(shù)。 注記：昨天的帖子里寫了。 14. 說謊者悖論： 一個說謊者說“我在說謊。”那么這句話是真是假？ 理發(fā)師悖論： 從前一個村里規(guī)定，理發(fā)師的職責為“專為不自己修面的人修面。” 那理 發(fā) 師可不可以為自己修面。 羅素悖論： 有一本目錄書刊，專門羅列所有那些“沒有在目錄中提及自身書名的書刊”，那么這本書應該把自己羅列進去嗎？ 注記：羅素悖論是一個深刻的悖論。為了解決它，羅素提出“類”的概念。羅素認為， 我們常常把“集合”誤當成了“類”， 集合是不應該包含自身的。 15. （哥德爾不完備性） 任何公理體系中必定會有一個這樣命題， 你既不能證明它是對的， 也不能證明它是錯的。 打個比方說， 任何法律體系中一定有漏洞，即我們總能找到一種案例， 它不能被法律所管束。 注記：哥德爾證明了，康托猜想“沒有一個集合的勢比自然數(shù)集大且比實數(shù)集小?！笔且粋€既不能證明也不能證偽的命題。 16. 任何海岸線的精確長度都會趨向于無窮； 同樣地， 雪花的周長無窮大，但是面積有限。 作者注： 這就是分形圖形的最簡單特例。 網上有許許多多美麗得讓人吃驚的分形。 我們對維度的理解實際上存在諸多缺陷。分形理論提供了一種新的觀點。維度不再要求是整數(shù)，而可以是分數(shù)?？蓞⒖础妒裁词菙?shù)學》一書最新版。 |
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