2.8機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的D-H表示法
在1955年，Denavit和Hartenberg在“ASME Journal of Applied Mechanics”發(fā)表了一篇論文，后來(lái)利用那個(gè)這篇論文來(lái)對(duì)機(jī)器人進(jìn)行表示和建模，并導(dǎo)出了它們的運(yùn)動(dòng)方程，這已成為表示機(jī)器人和對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)進(jìn)行建模的標(biāo)準(zhǔn)方法，所以必須學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容。Denavit-Hartenberg(D_H)模型表示了對(duì)機(jī)器人連桿和關(guān)節(jié)進(jìn)行建模的一種非常簡(jiǎn)單的方法，可用于任何機(jī)器人構(gòu)型，而不管機(jī)器人的結(jié)構(gòu)順序和復(fù)雜程度如何。它也可用于表示已經(jīng)討論過(guò)的在任何坐標(biāo)中的變換，例如直角坐標(biāo)、圓柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)、歐拉角坐標(biāo)及RPY坐標(biāo)等。另外，它也可以用于表示全旋轉(zhuǎn)的鏈?zhǔn)綑C(jī)器人、SCARA機(jī)器人或任何可能的關(guān)節(jié)和連桿組合。盡管采用前面的方法對(duì)機(jī)器人直接建模會(huì)更快、更直接，但D-H表示法有其附加的好處，使用它已經(jīng)開(kāi)發(fā)了許多技術(shù)，例如，雅克比矩陣的計(jì)算和力分析等。
假設(shè)機(jī)器人由一系列關(guān)節(jié)和連桿組成。這些關(guān)節(jié)可能是滑動(dòng)（線性）的或旋轉(zhuǎn)（轉(zhuǎn)動(dòng)）的，它們可以按任意的順序放置并處于任意的平面。連桿也可以是任意的長(zhǎng)度（包括零），它可能被彎曲或扭曲，也可能位于任意平面上。所以任何一組關(guān)節(jié)和連桿都可以構(gòu)成一個(gè)我們想要建模和表示的機(jī)器人。
為此，需要給每個(gè)關(guān)節(jié)指定一個(gè)參考坐標(biāo)系，然后，確定從一個(gè)關(guān)節(jié)到下一個(gè)關(guān)節(jié)（一個(gè)坐標(biāo)系到下一個(gè)坐標(biāo)系）來(lái)進(jìn)行變換的步驟。如果將從基座到第一個(gè)關(guān)節(jié)，再?gòu)牡谝粋€(gè)關(guān)節(jié)到第二個(gè)關(guān)節(jié)直至到最后一個(gè)關(guān)節(jié)的所有變換結(jié)合起來(lái)，就得到了機(jī)器人的總變換矩陣。在下一節(jié)，將根據(jù)D-H表示法確定一個(gè)一般步驟來(lái)為每個(gè)關(guān)節(jié)指定參考坐標(biāo)系，然后確定如何實(shí)現(xiàn)任意兩個(gè)相鄰坐標(biāo)系之間的變換，最后寫(xiě)出機(jī)器人的總變換矩陣。

圖2.25    通用關(guān)節(jié)—連桿組合的D-H表示
假設(shè)一個(gè)機(jī)器人由任意多的連桿和關(guān)節(jié)以任意形式構(gòu)成。圖2.25表示了三個(gè)順序的關(guān)節(jié)和兩個(gè)連桿。雖然這些關(guān)節(jié)和連桿并不一定與任何實(shí)際機(jī)器人的關(guān)節(jié)或連桿相似，但是他們非常常見(jiàn)，且能很容易地表示實(shí)際機(jī)器人的任何關(guān)節(jié)。這些關(guān)節(jié)可能是旋轉(zhuǎn)的、滑動(dòng)的、或兩者都有。盡管在實(shí)際情況下，機(jī)器人的關(guān)節(jié)通常只有一個(gè)自由度，但圖2.25中的關(guān)節(jié)可以表示一個(gè)或兩個(gè)自由度。
圖2.25（a）表示了三個(gè)關(guān)節(jié)，每個(gè)關(guān)節(jié)都是可以轉(zhuǎn)動(dòng)或平移的。第一個(gè)關(guān)節(jié)指定為關(guān)節(jié)n，第二個(gè)關(guān)節(jié)為關(guān)節(jié)n+1，第三個(gè)關(guān)節(jié)為關(guān)節(jié)n+2。在這些關(guān)節(jié)的前后可能還有其他關(guān)節(jié)。連桿也是如此表示，連桿n位于關(guān)節(jié)n與n+1之間，連桿n+1位于關(guān)節(jié)n+1與n+2之間。
為了用D-H表示法對(duì)機(jī)器人建模，所要做的第一件事是為每個(gè)關(guān)節(jié)指定一個(gè)本地的參考坐標(biāo)系。因此，對(duì)于每個(gè)關(guān)節(jié)，都必須指定一個(gè)z軸和x軸，通常并不需要指定y軸，因?yàn)閥軸總是垂直于x軸和z軸的。此外，D-H表示法根本就不用y軸。以下是給每個(gè)關(guān)節(jié)指定本地參考坐標(biāo)系的步驟：

• 所有關(guān)節(jié)，無(wú)一例外的用z軸表示。如果關(guān)節(jié)是旋轉(zhuǎn)的，z軸位于按右手規(guī)則旋轉(zhuǎn)的方向。如果關(guān)節(jié)是滑動(dòng)的，z軸為沿直線運(yùn)動(dòng)的方向。在每一種情況下，關(guān)節(jié)n處的z軸（以及該關(guān)節(jié)的本地參考坐標(biāo)系）的下表為n-1。例如，表示關(guān)節(jié)數(shù)n+1的z軸是。這些簡(jiǎn)單規(guī)則可使我們很快地定義出所有關(guān)節(jié)的z軸。對(duì)于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，繞z軸的旋轉(zhuǎn)（角）是關(guān)節(jié)變量。對(duì)于滑動(dòng)關(guān)節(jié)，沿z軸的連桿長(zhǎng)度d是關(guān)節(jié)變量。
• 如圖2.25（a）所示，通常關(guān)節(jié)不一定平行或相交。因此，通常z軸是斜線，但總有一條距離最短的公垂線，它正交于任意兩條斜線。通常在公垂線方向上定義本地參考坐標(biāo)系的x軸。所以如果表示與之間的公垂線，則的方向?qū)⒀?IMG alt="" src="images/2.8/clip_image008_0000.gif" width=19 height=24>。同樣，在與之間的公垂線為，的方向?qū)⒀?IMG alt="" src="images/2.8/clip_image015_0000.gif" width=28 height=24>。注意相鄰關(guān)節(jié)之間的公垂線不一定相交或共線，因此，兩個(gè)相鄰坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置也可能不在同一個(gè)位置。根據(jù)上面介紹的知識(shí)并考慮下面例外的特殊情況，可以為所有的關(guān)節(jié)定義坐標(biāo)系。
• 如果兩個(gè)關(guān)節(jié)的z軸平行，那么它們之間就有無(wú)數(shù)條公垂線。這時(shí)可挑選與前一關(guān)節(jié)的公垂線共線的一條公垂線，這樣做就可以簡(jiǎn)化模型。
• 入股兩個(gè)相鄰關(guān)節(jié)的z軸是相交的，那么它們之間就沒(méi)有公垂線（或者說(shuō)公垂線距離為零）。這時(shí)可將垂直于兩條軸線構(gòu)成的平面的直線定義為x軸。也就是說(shuō)，其公垂線是垂直于包含了兩條z軸的平面的直線，它也相當(dāng)于選取兩條z軸的叉積方向作為x軸。這也會(huì)使模型得以簡(jiǎn)化。

在圖2.25（a）中，角表示繞z軸的旋轉(zhuǎn)角，d表示在z軸上兩條相鄰的公垂線之間的距離，a表示每一條公垂線的長(zhǎng)度（也叫關(guān)節(jié)偏移量），角表示兩個(gè)相鄰的z軸之間的角度 （也叫關(guān)節(jié)扭轉(zhuǎn)）。通常，只有和d是關(guān)節(jié)變量。
下一步來(lái)完成幾個(gè)必要的運(yùn)動(dòng)，即將一個(gè)參考坐標(biāo)系變換到下一個(gè)參考坐標(biāo)系。假設(shè)現(xiàn)在位于本地坐標(biāo)系，那么通過(guò)以下四步標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)即可到達(dá)下一個(gè)本地坐標(biāo)系。
（1）繞軸旋轉(zhuǎn)（如圖2.25（a）與（b）所示），它使得和互相平行，因?yàn)?IMG alt="" src="images/2.8/clip_image008_0001.gif" width=19 height=24>和都是垂直于軸的，因此繞軸旋轉(zhuǎn)使它們平行（并且共面）。
（2）沿軸平移距離，使得和共線（如圖2.25（c）所示）。因?yàn)?IMG alt="" src="images/2.8/clip_image013_0002.gif" width=19 height=24>和已經(jīng)平行并且垂直于，沿著移動(dòng)則可使它們互相重疊在一起。
（3）沿軸平移的距離，使得和的原點(diǎn)重合（如圖2.25（d）和（e）所示）。這是兩個(gè)參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)處在同一位置。
（4）將軸繞軸旋轉(zhuǎn)，使得軸與軸對(duì)準(zhǔn)（如圖2.25（f）所示）。這時(shí)坐標(biāo)系n和n+1完全相同（如圖2.25（g）所示）。至此，我們成功地從一個(gè)坐標(biāo)系變換到了下一個(gè)坐標(biāo)系。
在n+1和n+2坐標(biāo)系間嚴(yán)格地按照同樣的四個(gè)運(yùn)動(dòng)順序可以將一個(gè)坐標(biāo)變換到下一個(gè)坐標(biāo)系。如有必要，可以重復(fù)以上步驟，就可以實(shí)現(xiàn)一系列相鄰坐標(biāo)系之間的變換。從參考坐標(biāo)系開(kāi)始，我們可以將其轉(zhuǎn)換到機(jī)器人的基座，然后到第一個(gè)關(guān)節(jié)，第二個(gè)關(guān)節(jié)……，直至末端執(zhí)行器。這里比較好的一點(diǎn)是，在任何兩個(gè)坐標(biāo)系之間的變換均可采用與前面相同的運(yùn)動(dòng)步驟。
通過(guò)右乘表示四個(gè)運(yùn)動(dòng)的四個(gè)矩陣就可以得到變換矩陣A，矩陣A表示了四個(gè)依次的運(yùn)動(dòng)。由于所有的變換都是相對(duì)于當(dāng)前坐標(biāo)系的（即他們都是相對(duì)于當(dāng)前的本地坐標(biāo)系來(lái)測(cè)量與執(zhí)行），因此所有的矩陣都是右乘。從而得到結(jié)果如下：


           （2.51）
       （2.52）
比如，一般機(jī)器人的關(guān)節(jié)2與關(guān)節(jié)3之間的變換可以簡(jiǎn)化為：
           （2.53）
在機(jī)器人的基座上，可以從第一個(gè)關(guān)節(jié)開(kāi)始變換到第二個(gè)關(guān)節(jié)，然后到第三個(gè)……，再到機(jī)器人的手，最終到末端執(zhí)行器。若把每個(gè)變換定義為，則可以得到許多表示變換的矩陣。在機(jī)器人的基座與手之間的總變換則為：
                  （2.54）
其中n是關(guān)節(jié)數(shù)。對(duì)于一個(gè)具有六個(gè)自由度的機(jī)器人而言，有6個(gè)A矩陣。
為了簡(jiǎn)化A矩陣的計(jì)算，可以制作一張關(guān)節(jié)和連桿參數(shù)的表格，其中每個(gè)連桿和關(guān)節(jié)的參數(shù)值可從機(jī)器人的原理示意圖上確定，并且可將這些參數(shù)代入A矩陣。表2.1可用于這個(gè)目的。
在以下幾個(gè)例子中，我們將建立必要的坐標(biāo)系，填寫(xiě)參數(shù)表，并將這些數(shù)值代入A矩陣。首先從簡(jiǎn)單的機(jī)器人開(kāi)始，以后再考慮復(fù)雜的機(jī)器人。
表2.1     D-H參數(shù)表

• 對(duì)于如圖2.26所示的簡(jiǎn)單機(jī)器人，根據(jù)D-H表示法，建立必要的坐標(biāo)系，并填寫(xiě)相應(yīng)的參數(shù)表。

解：
為方便起見(jiàn)，在此例中，假設(shè)關(guān)節(jié)2，3和4在同一平面內(nèi)，即它們的值為0。為建立機(jī)器人的坐標(biāo)系，首先尋找關(guān)節(jié)（如圖2.26所示）。該機(jī)器人有六個(gè)自由度，在這個(gè)簡(jiǎn)單機(jī)器人中，所有的關(guān)節(jié)都是旋轉(zhuǎn)的。第一個(gè)關(guān)節(jié)（關(guān)節(jié)1）在連桿0（固定基座）和連桿1之間，關(guān)節(jié)2在連桿1和連桿2之間，等等。首先，如前面已經(jīng)討論過(guò)的那樣，對(duì)每個(gè)關(guān)節(jié)建立z軸，接著建立z軸。觀察圖2.27和圖2.28所示的坐標(biāo)可以發(fā)現(xiàn)，圖2.28是圖2.27的簡(jiǎn)化線圖。應(yīng)注意每個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)3在它所在位置的原因。

圖2.26    具有六個(gè)自由度的簡(jiǎn)單鏈?zhǔn)綑C(jī)器人

圖2.27    簡(jiǎn)單六個(gè)自由度鏈?zhǔn)綑C(jī)器人的參考坐標(biāo)系

圖2.28    簡(jiǎn)單六個(gè)自由度鏈?zhǔn)綑C(jī)器人的參考坐標(biāo)系線圖
從關(guān)節(jié)1開(kāi)始，表示第一個(gè)關(guān)節(jié)，它是一個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)。選擇與參考坐標(biāo)系的x軸平行，這樣做僅僅是為了方便，是一個(gè)固定的坐標(biāo)軸，表示機(jī)器人的基座，它是不動(dòng)的。第一個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)是圍繞著-軸進(jìn)行的，但這兩個(gè)軸并不運(yùn)動(dòng)。接下來(lái)，在關(guān)節(jié)2處設(shè)定，因?yàn)樽鴺?biāo)軸和是相交的，所以垂直于和。在和之間的公垂線方向上，在和之間的公垂線方向上，類(lèi)似地，在和之間的公垂線方向上。最后，和是平行且共線的。表示關(guān)節(jié)6的運(yùn)動(dòng)，而表示末端執(zhí)行的運(yùn)動(dòng)。通常在運(yùn)動(dòng)方程中不包含末端執(zhí)行器，但應(yīng)包含末端執(zhí)行器的坐標(biāo)系，這是因?yàn)樗梢匀菰S進(jìn)行從坐標(biāo)系出發(fā)的變換。同時(shí)也要注意第一個(gè)和最后一個(gè)坐標(biāo)系的原點(diǎn)的位置，它們將決定機(jī)器人的總編換方程?？梢栽诘谝粋€(gè)和最后的坐標(biāo)系之間建立其他的（或不同的）中間坐標(biāo)系，但只要第一個(gè)和最后的坐標(biāo)系沒(méi)有改變，機(jī)器人的總變換便是不變的。應(yīng)注意的是，第一個(gè)關(guān)節(jié)的原點(diǎn)并不在關(guān)節(jié)的實(shí)際位置，但證明這樣做是沒(méi)有問(wèn)題的，因?yàn)闊o(wú)論實(shí)際關(guān)節(jié)是高一點(diǎn)還是低一點(diǎn)，機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)并不會(huì)有任何差異。因此，考慮原點(diǎn)位置時(shí)可不用考慮基座上關(guān)節(jié)的實(shí)際位置。
接下來(lái)，我們將根據(jù)已建立的坐標(biāo)系來(lái)填寫(xiě)表2.2中的參數(shù)。參考前一節(jié)中任意兩個(gè)坐標(biāo)系之間的四個(gè)運(yùn)動(dòng)的順序。從開(kāi)始，有一個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)將轉(zhuǎn)到了，為使得與軸重合，需要沿和沿的平移均為零，還需要一個(gè)旋轉(zhuǎn)將轉(zhuǎn)到，注意旋轉(zhuǎn)是根據(jù)右手規(guī)則進(jìn)行的，即將右手手指按旋轉(zhuǎn)的方向彎曲，大拇指的方向則為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸的方向。到了這時(shí)，就變換到了。
接下來(lái)，繞旋轉(zhuǎn)，將轉(zhuǎn)到了，然后沿軸移動(dòng)距離，使坐標(biāo)系原點(diǎn)重合。由于前后兩個(gè)z軸是平行的，所以沒(méi)有必要繞x軸旋轉(zhuǎn)。按照這樣的步驟繼續(xù)做下去，就能得到所需要的結(jié)果。
必須要認(rèn)識(shí)到，與其他機(jī)械類(lèi)似，機(jī)器人也不會(huì)保持原理圖中所示的一種構(gòu)型不變。盡管機(jī)器人的原理圖是二維的，但必須要想象出機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)，也就是說(shuō)，機(jī)器人的不同連桿和關(guān)節(jié)在運(yùn)動(dòng)時(shí)，與之相連的坐標(biāo)系也隨之運(yùn)動(dòng)。如果這時(shí)原理圖所示機(jī)器人構(gòu)型的坐標(biāo)軸處于特殊的位姿狀態(tài)，當(dāng)機(jī)器人移動(dòng)時(shí)它們又會(huì)處于其他的點(diǎn)和姿態(tài)上。比如，總是沿著關(guān)節(jié)3與關(guān)節(jié)4之間連線的方向。當(dāng)機(jī)器人的下臂繞關(guān)節(jié)2旋轉(zhuǎn)而運(yùn)動(dòng)。在確定參數(shù)時(shí)，必須記住這一點(diǎn)。
表2.2     例2.19機(jī)器人的參數(shù)

表示旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量，d表示滑動(dòng)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量。因?yàn)檫@個(gè)機(jī)器人的關(guān)節(jié)全是旋轉(zhuǎn)的，因此所有關(guān)節(jié)變量都是角度。
通過(guò)簡(jiǎn)單地從參數(shù)表中選取參數(shù)代入A矩陣，便可寫(xiě)出每?jī)蓚€(gè)相鄰關(guān)節(jié)之間的變換。例如，在坐標(biāo)系0和1之間的變換矩陣可通過(guò)將（sin=1,cos=0, =）以及指定為等代入A矩陣得到，對(duì)其他關(guān)節(jié)的~矩陣也是這樣，最后得：
       
            （2.55）
        
特別注意：為簡(jiǎn)化最后的解，將用到下列三角函數(shù)關(guān)系式：
                （2.56）
在機(jī)器人的基座和手之間的總變換為：
                                                   （2.57）

• 斯坦福機(jī)械手臂。在斯坦福機(jī)械手臂上指定坐標(biāo)系（如圖2.29所示），并填寫(xiě)參數(shù)表。斯坦福機(jī)械手臂是一個(gè)球坐標(biāo)手臂，即開(kāi)始的兩個(gè)關(guān)節(jié)是旋轉(zhuǎn)的，第三個(gè)關(guān)節(jié)是滑動(dòng)的，最后三個(gè)腕關(guān)節(jié)全是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)。

圖2.29    斯坦福機(jī)械手臂示意圖
解：
在看本題解答之前，現(xiàn)根據(jù)自己的理解來(lái)做，問(wèn)題的答案在本章的最后。建議在看解答中建立的坐標(biāo)系和機(jī)械手臂的解之前，先試著自己做。
機(jī)器手臂最后的正運(yùn)動(dòng)學(xué)解是相鄰關(guān)節(jié)之間的6個(gè)變換矩陣的乘積：

其中


                             （2.58）