快樂課堂學數學-多余老師趣講“有規(guī)律的數”-華東師范大學出版社七年級上冊

一、  本單元概述

有規(guī)律的數，就是有理數。

在中學，人們把數學、物理、化學等科目歸為理科，這個“理”就是規(guī)律、規(guī)則的意思。理科的特點，就是規(guī)律性、規(guī)則性很強，學習內容，就是探究各種各樣的規(guī)律和規(guī)則。抓住規(guī)律和規(guī)則，就學好了理科，所以理科特別好學。

語文、英語等文科科目中，也有規(guī)律和規(guī)則，但文、理的規(guī)律和規(guī)則，有著非常明顯的區(qū)分特點：

1、理科的“理”，是把客觀存在的現象，總結成規(guī)律，把規(guī)律應用制定成規(guī)則，要求規(guī)則定得盡可能少、盡可能簡單，使用范圍盡可能廣。

2、文科的規(guī)則，是根據人類主觀的需要制定的，理科特征強的人類制定的規(guī)則，就會比較簡單、精煉，而理科特征弱的人類，制定的規(guī)則就會五花八門、多不勝數。然后再根據規(guī)則的實際使用情況，總結成規(guī)律。

比如：英語中，復數的規(guī)則就定得簡單精煉，一共兩大條3小條，第一大條是不可數的不變化，第二大條是可數的根據發(fā)音變化，再分為2小條，一個+s，一個+es。但英語中，這樣“理性的規(guī)律”太少太少，要是多了，不就成理科了嗎？絕大多數的規(guī)則，是“非理性規(guī)律”，是“主觀硬行的規(guī)定”，這就需要我們大量記性了。同學們在文科的學習中，可以用筆記本，把各種文科規(guī)則，按“理性的規(guī)律”和“主觀硬行的規(guī)定”進行分類，“理性的規(guī)律”重在理解，掌握規(guī)則制定的方法，“主觀硬行的規(guī)定”重在記憶，并在記憶中嘗試能否找到一定的規(guī)律，或一部分的規(guī)律。

再比如：語文有白話文和文言文，白話文一開始是沒有任何規(guī)則的，每一個寫白話文的人都會根據自己的需要和習慣，自己定一些規(guī)則，然后，這些規(guī)則在傳播的過程中，慢慢統(tǒng)一。并根據大家共認的、優(yōu)秀的白話文文章，總結出多種多樣的規(guī)律。好比，“你、我、他、她、它”在最初，有很多種書寫表達方式，后來統(tǒng)一成了這幾字。再好比，學語文課本的每一篇好文章，我們都要總結出相應類別的寫作規(guī)律，寫景的如何能寫好，還要再把景分成“動”與“靜”，或分成“山、水、花草”等。

而在有理數的學習中，我們則可以充分感受到，理科規(guī)則的簡潔性、通用性。

數學是研究數量關系和空間形式的科學。在數學學習中，要特別注意“數”（數量關系）和“形”（空間形式）之間的聯系、對應，如：數與數軸、絕對值與兩點間距離等。形成“數形結合思想”，能用“數”解釋“形”，能用“形”解釋“數”。

在有理數的四則運算中，進一步體會，理科規(guī)則的簡潔、通用；養(yǎng)成“簡單化”、“直接化”的數學意識，解決問題時，怎么簡單怎么來、怎么直接怎么來。

有理數的乘方運算，要理解運算的層次、級別、各層次級別，為以后學習更高一級運算（冪運算）打好基礎。通過科學計數法，初步體會乘方的簡潔表達方式。并形成數學“最簡”意識。

二、  從有理數看數學分類

我們最早學的數，是自然數。自然數的計數單位是“1”。其中，“0”可以表示起點、開始，“1、2、3***”可以表示順序（第1個，是序數）。

自然數進行四則運算：

自然數+自然數=自然數；大自然數-小自然數（或本數）=自然數；自然數×自然數=自然數；

自然數÷自然數呢？發(fā)現有不能整除的。

因此，定下了“分數”，分數就是兩個自然數的比值，分數比自然數特殊一點，也就有了一個特殊規(guī)定“分母為能為0”。

但分數的計數單位，要看分母，分母是幾，計數單位就是幾分之一，這太沒規(guī)律了。

因此，定下了“小數”，小數是自然數和分數的統(tǒng)一形式，這樣就把計數單位統(tǒng)一到了“1”。

從以上可以看到，小數，是一種“形式”，在分類時，不說小數。這樣，在小學時，我們學過的數，，按計數單位，就分為兩類，一是自然數，二是分數。

在上面，自然數的四則運算中，加法和乘法（加法的升級版），都沒有任何限制，除法也只限制了0不能做分母（除數），卻在減法中，加了限制，必須是“大-小”或“自已-自己”。

如果，“小-大”怎么辦？

這個問題，就留到了初一來解決。怎么來解決？引入“負數”。

在這，也能看出，減法的一大功能是“比較數的大小”。即：兩數相減，

得時大于0（為正），是“大-小”；

得數等于0，是“自己-自己”，兩數一樣大；

得數小于0（為負），是“小減大”。

什么是負數呢？就是在自然數和分數前面，加了一個“負號”的數。但是，我們在小學還遇到過不是自然數和分數的數，有“無限不循環(huán)小數”和“π”。

“無限不循環(huán)小數”是根據小數的形式，“構造”出來的數，用自然數和分數進行運算，是得不出“無限不循環(huán)小數”的，是一種“構造數”。

“π”稱為圓周率，是一個圓的周長與其直徑的比值，是圖形中客觀存在的，一種“客觀數”。

這樣，為了準確定義“負數”，建立這樣的命名規(guī)則：

大于0的數，稱為正數；小于0的數，稱為負數。

由這個規(guī)則可知：負數，是根據數的大小，來分類的。

現在，把自然數和由自然數運算出的分數，統(tǒng)稱為有理數。這個有理，就是有規(guī)律，什么規(guī)律？來自自然數和自然數的運算。

由此，將有理數進行分類，有兩種分類方式：

一是按大小分，分為正有理數、0、負有理數。切記：0不是正數，也不是負數。（按大小分類，必然是三類，大于、等于、小于）

二是按形式分，分為整數（自然數加正負號）、分數。（小數，是分數便于比較大小的另一種形式）

兩種分類同時使用，又可分出更多的小類。

每一個共同種類的數，放在一起，就是“數集”（數的集合）?！凹稀币礁咭粫r正式學習，現在對集合的初步概念，可當做“一種分類”或“一個范圍”。

集合的表現形式，有三種，分別對應數學的“三種語言”：文字語言、符號語言、圖形語言。

文字語言，是由語文文字而來，是最基本的語言。為了“簡單化”、“直觀化”，數學創(chuàng)造了符號語言和圖形語言。

數集的純數學語言，要到高一學習，現在使用的兩種是，文字+符號、文字+圖形。

集合的符號，用“{  }”（大括號）；集合的圖形，用“橢圓”。分別用文字說明集合的名稱。

關于“三種語言”，我們在以后的學習中，要慢慢體會，細細口味，它們各自的作用和優(yōu)勢。

到此，我們把數的范圍，拓展到了有理數。其實，也就比小學的數，多了一個“-”。

既然有理數的拓展范圍，就是多了個“-”，那不是，只要把“-”的意義和作用搞明白，有理數、有理數的計算，不就全學會了嗎？

“-”的正式名稱，是“相反號”。在具體使用時，根據使用情況，使用相應的具體名稱。如：

在正數前加個“-”，表示負數，此時，“-”是“負號”（表示與正數相反，正數的“+”號，根據“簡單化”，省略不寫）。如：-5，表示“5的相反數”。

在兩數相減時，“-”是減號（與加號相反）。

所以，“負號”只能在表示“數”時，稱為“負號，不能在表示“量”時，稱為“負號”。如：-2千米，就為“反向2千米”；-5攝氏度，讀作零下五攝氏度。

“相反號”，在以后要接觸的物理、化學中，有著更廣泛的應用。

三、  從數軸、相反數、絕對值、數的大小比較，看“數形結合”

請做填空題：

數軸是（ ）。（要求只能填一個名詞）

數軸是（ ）。（要求填加了一個定語的一個名詞）

數軸是（ ）。（填完整的定義）

通過這個填空題，我們要學會，學習時抓核心元素的方法和習慣。

我們之所以讓“形”的“直線”與“數”中的“數字”對應，是因為二者具有共同的特征：

都具有“無限性”，直線沒有端點，數字沒有最大、也沒有最小；任意兩點之間，都有無限多個點，兩數之間，不是有無限多個數。

軸數的核心，是用直線與數對應，所謂的數軸三要素，重要的是正方向（即數軸的箭頭），一般水平數軸，右為正方向。原點和單位長度，可以任意規(guī)定，在畫草圖時，這二者都可以不畫。

利用“形”，我們可以把“數”進行直觀化，使我們的理解過程、思考過程，變得“簡單化”“直接化”。

用數軸可以很直觀地、很簡單地判斷出，兩個數的大小。課本上說“右邊的大”，多余老師要特別進行糾正，應該是“正方向一側的大”，因為數的正方向，并不是只能向右。

相反數，是一個“相對詞”，相對詞，在使用時，必須說明是相對與誰而言。

比如：“男同學”就是一個“絕對詞”，但“兒子”就是一個“相對詞”，你可以說“我是男的”，但你不能說“你是兒子”，你得說明你是誰的兒子。

同樣，對于-5，你只能說“5是-5的相反數”，而不能說“相反數是5”。這體現了數學語言的“嚴謹性”和“完整性”。數學用語，不能像語文用語，不能產生“歧義”、“多義”。一句數學用語，只能產生唯一的意思，而且是完整的，不能有省略語。

相反數，從符號語言說，就是只有正負號不同的兩個數，是互為相反數；從圖形語言說，數軸上關于原點（0）對稱的兩個點（數），是互為相反數。

在這里，更能體會到“-”是相反號的意義了。

絕對值：數軸上表示數a的點與原點的距離，叫做a的絕對值，記作|a|。

絕對值是“距離”，是“線段的長度”，所以，絕對值是“形”的用語，而不是“數”的用語。絕對值號，是“形”的符號，是性質符號，而不是運算符號，求絕對值不是數的運算。

由此可知：

絕對值是非負數（大于等于0）；非負數的絕對值就是自己；負數的絕對值是其相反數。

絕對值的拓展：

|a-b|，表示a、b兩點間的距離。其結果=“大-小”（“正向一側的點”-“反向一側的點”）。

數的大小比較，在前面已經說過了：

一是“形”的方法，看數軸，正方向一側的數大。

二是“數”的方法，兩數相減，差大于0，則是“大-小”，差小于0，則是“小-大”。

四、  從有理數的四則運算和乘方，看數學知識的層次性和規(guī)則的通用性

在小學，我們已經學習過四則運算，我們知道：

一是先乘除，后加減，括號絕對優(yōu)先。

二是加法和乘法都有交換律、結合律；乘法和加法混合有分配律。

三是除以一個數，等于乘這個數的倒數。

四是乘法的0很特別，0乘任何數還是0。

五是能簡便運算就簡便運算，簡便運算的目的，一是消數，二是湊整。

這些規(guī)則，在現在仍然使用。

由于“除以一個數，等于乘這個數的倒數”，于是，除法被乘法統(tǒng)一了，看到除號，就看成分數線。那么，乘除可以統(tǒng)一，加減能統(tǒng)一嗎？當然能，用了“相反號”后，減號就可以當成負號，這樣，減法就被加法統(tǒng)一了?？吹健?SPAN lang=EN-US>-”，全是負號。

這樣，有理數的四則運算，就變成了加和乘兩種了

由于，有理數，就比小學多了一個“-”，所以，在有理數的計算時，處理“-”，就成了“優(yōu)先級”。

1、相乘時，先看0，有0得0；再看正負號，一個“-”反一次，再“-”，就正過來了，即“反反為正”（負負得正），擴展后成為：正負號相乘，看負號，偶數個為正，奇數個為負。

2、相加時，能抵消的先抵消（互為相反數先抵消或正負數的整十整百等先抵消），再分類相加，正數相加得到一個正數，負數相加得到一個負數，最后，如是兩個異號相加，大-小為正，小-大為負。

在小學時，我們已知道：乘法是加法的升級版，即乘法是求幾個相同加數的和的運算。所以，加法是一級運算，乘法是二級運算。

現在，把乘法再來一個升級版。求幾個相同因數的積的運算，命名為乘方。乘方是三級運算，即計算時，先乘方，再乘除，最后加減。

而乘方的符號確定方法，與乘法符號確定方法一樣。

所以，有理數的運算，處理好符號，余下的就是小學數學了。

五、從科學記數法和有效數字，看小數形式的優(yōu)點

前面，在說有理數時，已經說過，有理數分為整數和分數，可分數的大小不便于直接比較，于是把分數轉化成小數形式，就可以直接比較大小了。

而且，運用乘方，也能將整數改寫成小數形式。這就是科學計數法。

科學計數法，把整數和分數，都統(tǒng)一成了小數形式。

為什么要變成小數形式呢？

一是小數形式便于直接比較數的大小。

二是對于數位較多、且無效數字也多的數，用科學計數法，書寫“簡單化”。

由于，現階段，所學乘方的指數，只是正整數，所以還只能用科學計數法表示大于10的數。等以后，指數拓展到所有整數時，就可以用科學計數法表示所有的有理數了。

有效數字，就是從個位開始，把連續(xù)用于補充數位的0去掉。如：

0．00302，前面的0．00去掉，有效數字是3、0、2，共三個有效數字。

保留幾個有效數字、精確到某個數位，都是取近似數時，表示精確程度的。

而取近似數的方法，還是小學那一套，“四舍五入”或“進一”。

總之，有理數這一單元，比小學多的就是，“-”、乘方、科學計數法。其余的，還是按小學的規(guī)則來。這就是數學規(guī)則的“簡潔性”和“通用性”（或叫“統(tǒng)一性”）。

所以，初一的內容真的很簡單，關鍵是：從小學生到中學生，轉變的是學習方法和習慣，提升的是思維水平。