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理解矩陣（一） 理解矩陣（二） 這兩篇文章發(fā)表于去年的4月。在第二部分結(jié)束的時候，我說： “矩陣不僅可以作為線性變換的描述，而且可以作為一組基的描述。而 作為變換的矩陣，不但可以把線性空間中的一個點給變換到另一個點去，而且也能夠把線性空間中的一個坐標(biāo)系（基）表換到另一個坐標(biāo)系（基）去。而且，變換點 與變換坐標(biāo)系，具有異曲同工的效果。線性代數(shù)里最有趣的奧妙，就蘊含在其中。理解了這些內(nèi)容，線性代數(shù)里很多定理和規(guī)則會變得更加清晰、直覺。 這個留在下一篇再寫吧。 因為有別的事情要做，下一篇可能要過幾天再寫了。 ” 然而這一拖就是一年半。一年半以來，這兩篇粗糙放肆的文章被到處轉(zhuǎn)載，以至于在Google的搜索提示中，我的名字跟“矩陣”是一對關(guān)聯(lián)詞匯。這對于學(xué)生時代數(shù)學(xué)一直很差的我來說，實在是令人惶恐的事情。數(shù)學(xué)是何等輝煌精致的學(xué)問！代表著人類智慧的最高成就，是人與上帝對話的語言。而我實在連數(shù)學(xué)的門都還沒進去，不要說談什么理解，就是稍微難一些的題目我也很少能解開。我有什么資格去談矩陣這樣重要的一個數(shù)學(xué)概念呢？更何況，我的想法直觀是直觀，未見的是正確的啊，會不會誤人子弟呢？因此，算了吧，到此為止吧，我這么想。 是時不時收到的來信逐漸改變了我的想法。 一年半以來，我收到過不下一百封直接的來信，要求我把后面的部分寫出來。這些來信大部分是國內(nèi)的網(wǎng)友和學(xué)生，也有少數(shù)來自正在國外深造的朋友，大部分是鼓勵，有的是誠摯的請求，也有少數(shù)嚴厲斥責(zé)我不守承諾。不管是何種態(tài)度，這都表明他們對我這一點點小小的思考成果的鼓勵，特別是對于我這種思維的視角和嘗試的鼓勵。他們在信中讓我知道，盡管我的數(shù)學(xué)水平不高，但是我這種從普通人（而不是數(shù)學(xué)家）視角出發(fā)，強調(diào)對數(shù)學(xué)概念和規(guī)則的直覺理解的思路，對于很多人是有益的。也許這條路子在數(shù)學(xué)中絕非正道，也不會走得很遠，但是無論如何，在一定的階段，對一部分人來說，較之目前數(shù)學(xué)教材普遍采用的思路，這種方式可能更容易理解一些。既然是可能對一部分人有幫助的事情，那么我就不應(yīng)該心存太多雜念，應(yīng)該不斷思考和總結(jié)下去。 所以，下面就是你們來信要求我寫出來的東西。 首先來總結(jié)一下前面兩部分的一些主要結(jié)論： 1. 首先有空間，空間可以容納對象運動的。一種空間對應(yīng)一類對象。 2. 有一種空間叫線性空間，線性空間是容納向量對象運動的。 3. 運動是瞬時的，因此也被稱為變換。 4. 矩陣是線性空間中運動（變換）的描述。 5. 矩陣與向量相乘，就是實施運動（變換）的過程。 6. 同一個變換，在不同的坐標(biāo)系下表現(xiàn)為不同的矩陣，但是它們的本質(zhì)是一樣的，所以本征值相同。 下面讓我們把視力集中到一點以改變我們以往看待矩陣的方式。我們知道，線性空間里的基本對象是向量，而向量是這么表示的： [a1, a2, a3, ..., an] 矩陣呢？矩陣是這么表示的： a11, a12, a13, ..., a1n a21, a22, a23, ..., a2n ... an1, an2, an3, ..., ann 不用太聰明，我們就能看出來，矩陣是一組向量組成的。特別的，n維線性空間里的方陣是由n個n維向量組成的。我們在這里只討論這個n階的、非奇異的方陣，因為理解它就是理解矩陣的關(guān)鍵，它才是一般情況，而其他矩陣都是意外，都是不得不對付的討厭狀況，大可以放在一邊。這里多一句嘴，學(xué)習(xí)東西要抓住主流，不要糾纏于旁支末節(jié)。很可惜我們的教材課本大多數(shù)都是把主線埋沒在細節(jié)中的，搞得大家還沒明白怎么回事就先被灌暈了。比如數(shù)學(xué)分析，明明最要緊的觀念是說，一個對象可以表達為無窮多個合理選擇的對象的線性和，這個概念是貫穿始終的，也是數(shù)學(xué)分析的精華。但是課本里自始至終不講這句話，反正就是讓你做吉米多維奇，掌握一大堆解偏題的技巧，記住各種特殊情況，兩類間斷點，怪異的可微和可積條件（誰還記得柯西條件、迪里赫萊條件...？），最后考試一過，一切忘光光。要我說，還不如反復(fù)強調(diào)這一個事情，把它深深刻在腦子里，別的東西忘了就忘了，真碰到問題了，再查數(shù)學(xué)手冊嘛，何必因小失大呢？ 言歸正傳。如果一組向量是彼此線性無關(guān)的話，那么它們就可以成為度量這個線性空間的一組基，從而事實上成為一個坐標(biāo)系體系，其中每一個向量都躺在一根坐標(biāo)軸上，并且成為那根坐標(biāo)軸上的基本度量單位（長度1）。 現(xiàn)在到了關(guān)鍵的一步。看上去矩陣就是由一組向量組成的，而且如果矩陣非奇異的話（我說了，只考慮這種情況），那么組成這個矩陣的那一組向量也就是線性無關(guān)的了，也就可以成為度量線性空間的一個坐標(biāo)系。結(jié)論：矩陣描述了一個坐標(biāo)系。 “慢著！”，你嚷嚷起來了，“你這個騙子！你不是說過，矩陣就是運動嗎？怎么這會矩陣又是坐標(biāo)系了？” 嗯，所以我說到了關(guān)鍵的一步。我并沒有騙人，之所以矩陣又是運動，又是坐標(biāo)系，那是因為—— “運動等價于坐標(biāo)系變換”。 對不起，這話其實不準(zhǔn)確，我只是想讓你印象深刻。準(zhǔn)確的說法是： “對象的變換等價于坐標(biāo)系的變換”。 或者： “固定坐標(biāo)系下一個對象的變換等價于固定對象所處的坐標(biāo)系變換?！?/SPAN> 說白了就是： “運動是相對的?！?nbsp; 讓我們想想，達成同一個變換的結(jié)果，比如把點(1, 1)變到點(2, 3)去，你可以有兩種做法。第一，坐標(biāo)系不動，點動，把(1, 1)點挪到(2, 3)去。第二，點不動，變坐標(biāo)系，讓x軸的度量（單位向量）變成原來的1/2，讓y軸的度量（單位向量）變成原先的1/3，這樣點還是那個點，可是點的坐標(biāo)就變成(2, 3)了。方式不同，結(jié)果一樣。 從第一個方式來看，那就是我在《理解矩陣》1/2中說的，把矩陣看成是運動描述，矩陣與向量相乘就是使向量（點）運動的過程。在這個方式下， Ma = b 的意思是： “向量a經(jīng)過矩陣M所描述的變換，變成了向量b?！?BR> 而從第二個方式來看，矩陣M描述了一個坐標(biāo)系，姑且也稱之為M。那么： Ma = b 的意思是： “有一個向量，它在坐標(biāo)系M的度量下得到的度量結(jié)果向量為a，那么它在坐標(biāo)系I的度量下，這個向量的度量結(jié)果是b?！?/SPAN> 這里的I是指單位矩陣，就是主對角線是1，其他為零的矩陣。 而這兩個方式本質(zhì)上是等價的。 我希望你務(wù)必理解這一點，因為這是本篇的關(guān)鍵。 正因為是關(guān)鍵，所以我得再解釋一下。 在M為坐標(biāo)系的意義下，如果把M放在一個向量a的前面，形成Ma的樣式，我們可以認為這是對向量a的一個環(huán)境聲明。它相當(dāng)于是說： “注意了！這里有一個向量，它在坐標(biāo)系M中度量，得到的度量結(jié)果可以表達為a。可是它在別的坐標(biāo)系里度量的話，就會得到不同的結(jié)果。為了明確，我把M放在前面，讓你明白，這是該向量在坐標(biāo)系M中度量的結(jié)果?！?BR> 那么我們再看孤零零的向量b： b 多看幾遍，你沒看出來嗎？它其實不是b，它是： Ib 也就是說：“在單位坐標(biāo)系，也就是我們通常說的直角坐標(biāo)系I中，有一個向量，度量的結(jié)果是b?！?BR> 而 Ma = Ib的意思就是說： “在M坐標(biāo)系里量出來的向量a，跟在I坐標(biāo)系里量出來的向量b，其實根本就是一個向量??！” 這哪里是什么乘法計算，根本就是身份識別嘛。 從這個意義上我們重新理解一下向量。向量這個東西客觀存在，但是要把它表示出來，就要把它放在一個坐標(biāo)系中去度量它，然后把度量的結(jié)果（向量在各個坐標(biāo)軸上的投影值）按一定順序列在一起，就成了我們平時所見的向量表示形式。你選擇的坐標(biāo)系（基）不同，得出來的向量的表示就不同。向量還是那個向量，選擇的坐標(biāo)系不同，其表示方式就不同。因此，按道理來說，每寫出一個向量的表示，都應(yīng)該聲明一下這個表示是在哪個坐標(biāo)系中度量出來的。表示的方式，就是 Ma，也就是說，有一個向量，在M矩陣表示的坐標(biāo)系中度量出來的結(jié)果為a。我們平時說一個向量是[2 3 5 7]T，隱含著是說，這個向量在 I 坐標(biāo)系中的度量結(jié)果是[2 3 5 7]T，因此，這個形式反而是一種簡化了的特殊情況。 注意到，M矩陣表示出來的那個坐標(biāo)系，由一組基組成，而那組基也是由向量組成的，同樣存在這組向量是在哪個坐標(biāo)系下度量而成的問題。也就是說，表述一個矩陣的一般方法，也應(yīng)該要指明其所處的基準(zhǔn)坐標(biāo)系。所謂M，其實是 IM，也就是說，M中那組基的度量是在 I 坐標(biāo)系中得出的。從這個視角來看，M×N也不是什么矩陣乘法了，而是聲明了一個在M坐標(biāo)系中量出的另一個坐標(biāo)系N，其中M本身是在I坐標(biāo)系中度量出來的。 回過頭來說變換的問題。我剛才說，“固定坐標(biāo)系下一個對象的變換等價于固定對象所處的坐標(biāo)系變換”，那個“固定對象”我們找到了，就是那個向量。但是坐標(biāo)系的變換呢？我怎么沒看見？ 請看： Ma = Ib 我現(xiàn)在要變M為I，怎么變？對了，再前面乘以個M-1，也就是M的逆矩陣。換句話說，你不是有一個坐標(biāo)系M嗎，現(xiàn)在我讓它乘以個M-1，變成I，這樣一來的話，原來M坐標(biāo)系中的a在I中一量，就得到b了。 我建議你此時此刻拿起紙筆，畫畫圖，求得對這件事情的理解。比如，你畫一個坐標(biāo)系，x軸上的衡量單位是2，y軸上的衡量單位是3，在這樣一個坐標(biāo)系里，坐標(biāo)為(1，1)的那一點，實際上就是笛卡爾坐標(biāo)系里的點(2, 3)。而讓它原形畢露的辦法，就是把原來那個坐標(biāo)系: 2 0 0 3 的x方向度量縮小為原來的1/2，而y方向度量縮小為原來的1/3，這樣一來坐標(biāo)系就變成單位坐標(biāo)系I了。保持點不變，那個向量現(xiàn)在就變成了(2, 3)了。 怎么能夠讓“x方向度量縮小為原來的1/2，而y方向度量縮小為原來的1/3”呢？就是讓原坐標(biāo)系： 2 0 0 3 被矩陣： 1/2 0 0 1/3 左乘。而這個矩陣就是原矩陣的逆矩陣。 下面我們得出一個重要的結(jié)論： “對坐標(biāo)系施加變換的方法，就是讓表示那個坐標(biāo)系的矩陣與表示那個變化的矩陣相乘?！?/SPAN> 再一次的，矩陣的乘法變成了運動的施加。只不過，被施加運動的不再是向量，而是另一個坐標(biāo)系。 如果你覺得你還搞得清楚，請再想一下剛才已經(jīng)提到的結(jié)論，矩陣MxN，一方面表明坐標(biāo)系N在運動M下的變換結(jié)果，另一方面，把M當(dāng)成N的前綴，當(dāng)成N的環(huán)境描述，那么就是說，在M坐標(biāo)系度量下，有另一個坐標(biāo)系N。這個坐標(biāo)系N如果放在I坐標(biāo)系中度量，其結(jié)果為坐標(biāo)系MxN。 在這里，我實際上已經(jīng)回答了一般人在學(xué)習(xí)線性代數(shù)是最困惑的一個問題，那就是為什么矩陣的乘法要規(guī)定成這樣。簡單地說，是因為： 1. 從變換的觀點看，對坐標(biāo)系N施加M變換，就是把組成坐標(biāo)系N的每一個向量施加M變換。 2. 從坐標(biāo)系的觀點看，在M坐標(biāo)系中表現(xiàn)為N的另一個坐標(biāo)系，這也歸結(jié)為，對N坐標(biāo)系基的每一個向量，把它在I坐標(biāo)系中的坐標(biāo)找出來，然后匯成一個新的矩陣。 3. 至于矩陣乘以向量為什么要那樣規(guī)定，那是因為一個在M中度量為a的向量，如果想要恢復(fù)在I中的真像，就必須分別與M中的每一個向量進行內(nèi)積運算。我把這個結(jié)論的推導(dǎo)留給感興趣的朋友吧。應(yīng)該說，其實到了這一步，已經(jīng)很容易了。 綜合以上1/2/3，矩陣的乘法就得那么規(guī)定，一切有根有據(jù)，絕不是哪個神經(jīng)病胡思亂想出來的。 我已經(jīng)無法說得更多了。矩陣又是坐標(biāo)系，又是變換。到底是坐標(biāo)系，還是變換，已經(jīng)說不清楚了，運動與實體在這里統(tǒng)一了，物質(zhì)與意識的界限已經(jīng)消失了，一切歸于無法言說，無法定義了。道可道，非常道，名可名，非常名。矩陣是在是不可道之道，不可名之名的東西。到了這個時候，我們不得不承認，我們偉大的線性代數(shù)課本上說的矩陣定義，是無比正確的： “矩陣就是由m行n列數(shù)放在一起組成的數(shù)學(xué)對象?！?BR> 好了，這基本上就是我想說的全部了。還留下一個行列式的問題。矩陣M的行列式實際上是組成M的各個向量按照平行四邊形法則搭成一個n維立方體的體積。對于這一點，我只能感嘆于其精妙，卻無法揭開其中奧秘了。也許我掌握的數(shù)學(xué)工具不夠，我希望有人能夠給我們大家講解其中的道理了。 我不知道是否講得足夠清楚了，反正這一部分需要您花些功夫去推敲。 此外，請大家不必等待這個系列的后續(xù)部分。以我的工作情況而言，近期內(nèi)很難保證繼續(xù)投入腦力到這個領(lǐng)域中，盡管我仍然對此興致濃厚。不過如果還有（四）的話，可能是一些站在應(yīng)用層面的考慮，比如對計算機圖形學(xué)相關(guān)算法的理解。但是我不承諾這些討論近期內(nèi)會出現(xiàn)了。 |
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來自： 浮生一夢望滄海 > 《數(shù)學(xué)》
