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第四講 從問題的反面考慮 分析問題的方式多種多樣，可以從問題的正面考慮，也可以從問題的反面考慮。 例1 從1到1999這1999個(gè)自然數(shù)中，有多少個(gè)數(shù)與5678相加時(shí)，至少發(fā)生一次進(jìn)位？(《小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》數(shù)學(xué)競賽題) 解：先考慮與5678相加時(shí)，一次進(jìn)位也沒有發(fā)生過的數(shù)。這些數(shù)的個(gè)位上只能是0或1；十位上只能是0、1或2；百位上只能是0、1、2或3；千位上只能是0、1。共有2×3×4×2＝48(個(gè))，減去多算的“0000”這個(gè)數(shù)，實(shí)際上這樣的數(shù)只有47個(gè)。所以在與5678相加時(shí)，至少發(fā)生一次進(jìn)位的數(shù)共有1999－47＝1952(個(gè))。 例2 有一個(gè)算式：1＋1×2＋1×2×3＋1×2×3×4＋1×2×3×4×5＋…＋1×2×3×…×8×9。 這個(gè)算式的得數(shù)能否是某個(gè)數(shù)的平方？(“華杯賽”試題) 解：平方數(shù)的個(gè)位數(shù)只能是0、1、4、5、6、9，而這個(gè)算式前4項(xiàng)的得數(shù)是1＋2＋6＋24＝33，后面各項(xiàng)得數(shù)的個(gè)位數(shù)都是0，于是算式得數(shù)的個(gè)位數(shù)是3，所以，算式的得數(shù)不可能是某個(gè)數(shù)的平方。 例3 黑色、黃色、白色的筷子各有8根，混雜地放在一起，黑暗中想從這些筷子中取出顏色不同的兩雙筷子。問至少要取多少根才能保證達(dá)到要求？(“華杯賽”試題) 解：從最不利的情況考慮，可能取了8根都是同一種顏色，實(shí)際上只取出了一雙同一種顏色的筷子。這時(shí)還剩下另外兩種顏色的筷子，當(dāng)再取3根時(shí)，無論如何總會取出2根顏色相同的筷子。所以，至少要取8＋3＝11(根)才能保證達(dá)到要求。 例4 一次測驗(yàn)共有10道問答題，每題的評分標(biāo)準(zhǔn)是：回答完全正確，得5分；回答不完全正確得3分；回答完全錯(cuò)誤或不回答，得0分。共有300人參加測驗(yàn)，至少有多少人的分?jǐn)?shù)相同？(《小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》數(shù)學(xué)競賽題) 解：根據(jù)評分標(biāo)準(zhǔn)可知，最高得分為50分。試算得出，在0分到50分之間，1分、2分、4分、7分、47分、49分這6種分?jǐn)?shù)不可能出現(xiàn)，所以得分只有51－6＝45(種)。300÷45＝6……30，因此，至少有6＋1＝7(人)的得分相同。 練 習(xí) 四 1．在1～1999這1999個(gè)數(shù)中，有多少個(gè)數(shù)與4567相加時(shí)，至少在一個(gè)數(shù)位上發(fā)生過進(jìn)位？(南京市“興趣杯”數(shù)學(xué)競賽題) 2．已知A×15×1 3．在1到100之間，與77互質(zhì)的所有奇數(shù)的和是多少？(“華杯賽”試題) 4．志強(qiáng)小學(xué)國慶節(jié)舉辦三項(xiàng)游藝活動，每個(gè)學(xué)生至多參加兩項(xiàng)，至少參加一項(xiàng)，那么只要有多少個(gè)學(xué)生，就能保證至少有兩人參加的活動完全相同？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競賽題) 5．1＋1×2＋1×2×3＋1×2×3×4＋1×2×3×4×5＋1×2×3×4×5×6這個(gè)算式的得數(shù)能否是某個(gè)數(shù)的平方？(“華杯賽”式題) 6．在1992后面補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)七位數(shù)，使它分別能被2、3、5、11整除，這個(gè)七位數(shù)最小是多少？(《小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》數(shù)學(xué)競賽題) 7．設(shè)X、Y是選自前50個(gè)自然數(shù)的兩個(gè)不同的數(shù)。求 8．一個(gè)自然數(shù)，各個(gè)上數(shù)字之和是1995，這個(gè)自然數(shù)最小是多少？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競賽題) 9．布袋里有5種不同顏色的球，每種都有20個(gè)，最少取出多少個(gè)，才能保證其中一定有3個(gè)顏色相同的球？(南京市“興趣杯”數(shù)學(xué)競賽題) 10．從1、2、3、…99、100中，至少取出多少個(gè)不同的數(shù)，才能保證其中一定有一個(gè)數(shù)能被5整除？(南京市“興趣杯”數(shù)學(xué)競賽題) 11．現(xiàn)在有64個(gè)乒乓球、18個(gè)乒乓球盒，每個(gè)盒子最多可以放6個(gè)乒乓球，如果把這些乒乓球全部裝入盒內(nèi)，不許有空盒，那么至少有多少個(gè)乒乓球盒里的乒乓球數(shù)目相同？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競賽題) 12．能否在8行8列的方格表(如圖)的每一個(gè)空格中分別填上1、2、3這三個(gè)數(shù)中的任一個(gè)數(shù)，使得每行、每列及對角線AC、BD上各個(gè)數(shù)的和互不相同？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競賽題) A B
D C 學(xué)習(xí)資料
從反面考慮
解數(shù)學(xué)題，需要正確的思路。對于很多數(shù)學(xué)問題，通常采用正面求解的思路，即從條件出發(fā)，求得結(jié)論。但是，如果直接從正面不易找到解題思路時(shí)，則可改變思維的方向，即從結(jié)論入手或從條件及結(jié)論的反面進(jìn)行思考，從而使問題得到解決。 例1: 某次數(shù)學(xué)測驗(yàn)一共出了10道題，評分方法如下：每答對一題得4分，不答題得0分，答錯(cuò)一題倒扣1分，每個(gè)考生預(yù)先給10分作為基礎(chǔ)分。問：此次測驗(yàn)至多有多少種不同的分?jǐn)?shù)？ 分析：最高的得分為50分，最低的得分為0分。但并不是從0分到50分都能得到。 從正面考慮計(jì)算量較大，故我們從反面考慮，先計(jì)算有多少種分?jǐn)?shù)達(dá)不到，然后排除達(dá)不到的分?jǐn)?shù)就可以了。 解：最高的得分為50分，最低的得分為0分。在從0分到50分這51個(gè)分?jǐn)?shù)中，有49，48，47，44，43，39這6種分?jǐn)?shù)是不能達(dá)到的，故此次測驗(yàn)不同的分?jǐn)?shù)至多有51-6=45（種）。 例2:一支隊(duì)伍的人數(shù)是5的倍數(shù)，且超過1000人。若按每排4人編隊(duì)，則最后差3人；若按每排3人編隊(duì)，則最后差2人；若按每排2人編隊(duì)，則最后差1人。問：這支隊(duì)伍至少有多少人？ 分析：從條件“若按每排4人編隊(duì)，則最后差3人”的反面來考慮，可理解為“若按每排4人編隊(duì)，則最后多1人”。同理，按3人、2人排隊(duì)都可理解為多1人。即總?cè)藬?shù)被12除余1。這樣一來，原題就化為： 一個(gè)5的倍數(shù)大于1000，且它被12除余1。問：這個(gè)數(shù)最小是多少？ 解：是5的倍數(shù)且除以12余1的最小自然數(shù)是25。因?yàn)槿藬?shù)超過1000，[3，4，5]=60，所以最少有 25+60×17=1045（人）。 例3:在八邊形的8個(gè)頂點(diǎn)上是否可以分別記上數(shù)1，2，…，8，使得任意三個(gè)相鄰的頂點(diǎn)上的數(shù)的和大于13？ 解：將八邊形的8個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)依次記為a1，a2，a3，…，a8，則有S=a1+a2+a3+…+a8=1+2+3+…+8=36。 假設(shè)任意3個(gè)相鄰頂點(diǎn)上的數(shù)都大于13，因?yàn)轫旤c(diǎn)上的數(shù)都是整數(shù)，所以 a1+a2+a3≥14； a2+a3+a4≥14； …… a7+a8+a1≥14； a8+a1+a2≥14。 將以上 8個(gè)不等式相加，得3S≥112，從而 S＞ 37，這與S=36矛盾。故結(jié)論是否定的。 例4: 有一個(gè)1000位的數(shù)，它由888個(gè)1和112個(gè)0組成，這個(gè)數(shù)是否可能是一個(gè)平方數(shù)？ 解：假設(shè)這個(gè)數(shù)為A，它是自然數(shù)a的平方。 因?yàn)?/font>A的各位數(shù)字之和888是3的倍數(shù)，所以a也應(yīng)是3的倍數(shù)。于是a的平方是9的倍數(shù)，但888不是9的倍數(shù)，這樣就產(chǎn)生了矛盾，從而A不可能是平方數(shù)。 82. 從反面考慮： 1+2+3+......+98+99+100=5050；
所有能被9整除的數(shù)字的和：9+18+27+......+90+99=(9+99)×11÷2=594； 所有不能被9整除的數(shù)字的和：5050—594=4456. 83. 從反面考慮，先求出1到100里面能被3或7整除的數(shù)的個(gè)數(shù)： 能被3整除的數(shù)：100÷3=33......1，共33個(gè)； 能被7整除的數(shù)：100÷7=14......2，共14個(gè)； 能被21整除的數(shù)：100÷21=4......16，共4個(gè)； 所以，能被3或7整除的數(shù)有33+14-4=43個(gè)。 不能被3或7整除的數(shù)：100-43=57個(gè)。 84. 六人的總分92.5×6=555（分） 排第二、第三、第四、第五的四位同學(xué)的總分：555-99-76=380（分）， 從反面考慮：欲使第三的同學(xué)盡量低分，那么應(yīng)該使第二、第四、第五這3名同學(xué)盡量高分，易知排第二的同學(xué)最高排98分， 此時(shí)，排第三、第四、第五的三位同學(xué)總分為：380-98=282（分）， 由282÷3=94分，可知排第三的同學(xué)至少得95分。（理由：由于三人的得分各不相同，所以最高分者必定高于平均分） 總結(jié)：這是一道以平均數(shù)為背景的最值問題，平均數(shù)問題通常是利用平均數(shù)與總數(shù)之間互相轉(zhuǎn)換來解答。 85. 最不利原則：9+8+7+......+3+2+1=45(次） 注意：這道題與第七講的例五有所不同，例五問的是“最多要開多少次”，這道題問的是“最多要試驗(yàn)多少次”，以第一條鑰匙為例，最多要開10次，要試9次。 86. 9+8+7+6+5+4+3+2=44（次） 上述過程是拿著一條鑰匙去試不同的鎖，如果先用不同鑰匙去試同一把鎖，那么得出的算式應(yīng)為：8+8+7+6+5+4+3+2+1=44（次），答案是一樣的。 87. 見后面答案，做這種題目通常都是通過反面考慮比較簡便。 88. 題目應(yīng)改為“李明、劉華、學(xué)友三位同學(xué)不能同時(shí)入選”，從反面考慮：（15×14×13×12×11）÷（1×2×3×4×5）-（12×11）÷2=2937（種） |
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