彩虹背后的數(shù)學(xué)

Marianne Freiberger

關(guān)鍵詞： 折射率, 彩虹線, Snell定律

當(dāng)偉大的數(shù)學(xué)家艾薩克?牛頓解釋彩虹的顏色與折射時(shí)，詩人約翰?濟(jì)慈嚇壞了。濟(jì)慈抱怨（當(dāng)然通過詩），數(shù)學(xué)解釋打劫了這些魔幻般的“所有規(guī)則和線條的奧秘”的自然奇觀。但是，正如我們下面將看到的，數(shù)學(xué)解釋只需要基本的幾何線條和圓圈，漂亮的數(shù)學(xué)原理和彩虹本身是一樣的優(yōu)雅。

因折射而彎曲

彩虹的顏色是因光折射而分裂成的一個(gè)結(jié)果，就像光線通過棱鏡照射時(shí)所發(fā)生的那樣。從太陽上來的白光是不同頻率電磁波的組合。當(dāng)這些頻率的組合在同一時(shí)間到達(dá)你的眼睛時(shí)，你就能看到白色，當(dāng)你的眼睛捕捉到其它的波時(shí)，你就會(huì)感知另一個(gè)特定的顏色。

約670至780兆赫頻率之間的光波被視為紫羅蘭色調(diào)，光譜的另一端是波頻率在約400至480赫茲之間，它給出了不同深淺的紅色知覺。而所有其它顏色均來自這兩個(gè)頻段之間的頻率。一般來說，人眼不能感知所有頻率的電磁波。

可見光譜從紫色（左）到紅色（右）

當(dāng)一縷陽光碰到一個(gè)球形水滴，它的一部分將從液滴的表面反射，但另一部分將進(jìn)入它。當(dāng)進(jìn)入時(shí)，光線會(huì)彎曲或折射，這是將吸管插進(jìn)一杯水時(shí)看到的同樣現(xiàn)象。然后光線將繼續(xù)行進(jìn)直到液滴的后部。這時(shí)有些光線會(huì)離開水滴出去，但有些將被反射回來到液滴的另一邊，并在這一過程中再次折射。（見圖1）

圖1：一條光線被折射，反射，然后再次折射。

折射是一縷光線從一種介質(zhì)傳遞到另一種介質(zhì)而速度放緩的一個(gè)結(jié)果。一個(gè)非常粗略的類比是想象將一個(gè)購物推車以某種角度從路上推向草地：推車因?yàn)樽矒舨莸貙⑹紫确啪?，然后改變方向?/SPAN>

當(dāng)太陽光通過一個(gè)真空（很好的近似是通過空氣），所有頻率以每秒約30萬公里的相同速度c  。因此，彩虹根據(jù)折射率順序來嵌套排列顏色序列，也就是說，按它們的頻率順序排列：從最頂?shù)募t色往下直到最底的紫色。

這種解釋也說明為什么背朝太陽站著時(shí)你只看到一道彩虹：這是你可以捕捉來自于液滴的彩虹光線的唯一途徑。這也解釋了為什么彩虹下面的天空顯出比上面的更明亮。由于絕大多數(shù)的光線離開液滴后高于彩虹線（見圖6），你不會(huì)捕捉到彩虹“上面”來自水滴的任何光線（即位于各種顏色的錐的外面）。所以你看不到任何源自這些水滴的反射光。然而，你的眼睛能捕捉到來自水滴彩虹“下面的”的反射光（位于錐體內(nèi)的水滴）；鑒于此，彩虹下面的天空顯得更亮，它以白光出現(xiàn)，因?yàn)閺牟煌乃蝸淼牟煌伾姆遣屎绻饩€混合在一起會(huì)成為白光，并進(jìn)入你的眼睛。

彩虹幾何也表明，任何你看到的彩虹是你的，也僅僅是你的，雖然站在你旁邊其他人也會(huì)看到彩虹，但它一般會(huì)來自不同的水滴，因此這將是一個(gè)不同的彩虹。

如果你是幸運(yùn)的，有時(shí)候你可能會(huì)在略高于主彩虹處看到暗淡一點(diǎn)的第二個(gè)彩虹。這個(gè)副虹是水滴內(nèi)光線兩次反射的一個(gè)結(jié)果。在這種情況下，各種顏色的彩虹角度約為51度，這是為什么副虹在天空看上去高一點(diǎn)的原因。雙反射也意味著副虹的顏色以相反的順序出現(xiàn)，底部為紅而頂部為紫。下面是笛卡兒所作的原始草圖，他天才地首先解釋了彩虹的形狀，包括主虹和副虹。與副虹相關(guān)的雙反射由紅線跟蹤。

笛卡兒的草圖：主要和次要的彩虹

甚至有可能在理論上（盡管實(shí)際中鮮有發(fā)生）看到來自水滴內(nèi)三、四個(gè)或更多的反射產(chǎn)生的彩虹。但我把這些計(jì)算留給讀者們。

課堂問題：在連續(xù)色譜上，人類如何產(chǎn)生了離散的顏色知覺？