經(jīng)常聽到同行抱怨學(xué)生對(duì)空間垂直關(guān)系以及二面角掌握的不好，確實(shí)，筆者每次遇到講授線線垂直、線面垂直、面面垂直的內(nèi)容時(shí)候，也曾經(jīng)為學(xué)生的茫然而頭痛。

怎么突破這個(gè)難點(diǎn)？筆者找到了一個(gè)辦法，希望和讀者分享。當(dāng)然僅是一家之言，效果如何？還有待實(shí)踐的檢驗(yàn)。

先講點(diǎn)有關(guān)的數(shù)學(xué)歷史。我國古代的數(shù)學(xué)成就除了在代數(shù)上獨(dú)占熬頭以外，在立體幾何方面的成就也是舉世共睹的。

在立體幾何方面曾經(jīng)作出過杰出貢獻(xiàn)的有祖沖之、祖暅、劉徽等數(shù)學(xué)家。古代數(shù)學(xué)家在研究空間幾何體時(shí)，提出了兩種比較特殊的錐體：陽馬、鱉臑。《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩壍堵。斜解壍堵，其一為陽馬，一為鱉臑。陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也。合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以棊，其形露矣?！?劉徽 注：“此術(shù)臑者，背節(jié)也，或曰半陽馬，其形有似鱉肘，故以名云。中破陽馬，得兩鱉臑，鱉臑之起數(shù)，數(shù)同而實(shí)據(jù)半，故云六而一即得?！?SPAN lang=EN-US>

什么是鱉臑？其實(shí)就是四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐，兩個(gè)鱉臑拼在一起就是陽馬。筆者就用鱉臑來作為學(xué)生學(xué)習(xí)空間垂直問題這個(gè)難點(diǎn)的突破口的，效果很好。

在1992年全國高考理科數(shù)學(xué)試題中，曾經(jīng)有這樣的問題：

在四棱錐的四個(gè)側(cè)面中，直角三角形最多有（   ）個(gè)？

A.1       B.2       C.3      D.4

當(dāng)年本題目的得分也是十分低的，足以說明學(xué)生對(duì)垂直關(guān)系的掌握是不樂觀的。

突破難點(diǎn)采用的是一種循序漸進(jìn)的思路：

一．        提出問題：有沒有四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐？請(qǐng)用學(xué)具（塑料棒、橡皮泥）制作模型。

新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)立體幾何的教學(xué)要求十分符合學(xué)生的認(rèn)知心理，概括起來就是“直觀感知、操作確認(rèn)、思辯論證、歸納證明”這幾個(gè)重要環(huán)節(jié)。多年來，我在講授立體幾何時(shí)一直要求學(xué)生準(zhǔn)備學(xué)具，用學(xué)具擺模型，或者用硬紙片制作幾何體。那道著名的曾經(jīng)讓命題者尷尬的美國德克薩斯州中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題：一個(gè)正三棱錐和一個(gè)正四棱錐的所有棱長都相等，將它們的某兩個(gè)面重合，組成的新幾何體有幾個(gè)面？解決時(shí)，就是先讓學(xué)生制作模型，再去論證。

二．        觀察思考：

將你擺出的幾何體的直觀圖繪制出來，標(biāo)上字母。然后觀察其中有哪些線線垂直、線面垂直、面面垂直？能夠給出證明嗎？

引導(dǎo)學(xué)生“提煉”出一個(gè)有用的結(jié)論：如果一直線與三角形的兩邊垂直，那么必定與第三邊垂直。這樣學(xué)生再思考垂直關(guān)系時(shí)，思維的質(zhì)量就會(huì)有明顯的提高。

如圖1，在三棱錐 中， 平面 ，

，求證： 平面 ，平面 ⊥平面 。

證明：

∵ 平面 ， 平面

∴ ，又

∴ 平面 ，又 平面

∴平面 ⊥平面 。

三．        變換位置：

再提供任意位置的鱉臑，由學(xué)生去觀察。最好能夠給出一些比較復(fù)雜的幾何體，由學(xué)生去發(fā)現(xiàn)其中隱藏著的鱉臑。

例如：已知直四棱柱 的底面是菱形，且 是棱 的中點(diǎn)。

四．        靈活應(yīng)用：

有了上面的鋪墊，相信學(xué)生對(duì)空間垂直關(guān)系一定有了比較深刻的認(rèn)識(shí)，學(xué)生如同習(xí)了一身本領(lǐng)的將士，可以經(jīng)歷如火如荼的“解題”洗禮了。

在三棱錐 ，已知 ， 是線段 上一點(diǎn)， ，點(diǎn) 在線段 ，且 （圖3）。

求 長。

分析：結(jié)合已知條件，觀察圖形，追根溯源，要想證明 平面 ，必須先證明 平面 。

證明：∵ ，

∴ ，同理 ， ，

∴ 平面 ，而 平面  ∴ ，

又∵ ，

而 ，∴ ，又 ，

∴ 平面 ，∴ ，

根據(jù) ， ，∴ 平面 ∴ ，

那么在 中 。

至于二面角的教學(xué)，鱉臑也是一個(gè)特別好的載體?？梢宰寣W(xué)生觀察鱉臑中有多少個(gè)二面角？哪些是直二面角？哪些二面角的平面角已經(jīng)給出？當(dāng)然其中有一個(gè)難度稍大一些的問題：

如圖1，做二面角 的平面角。

如同垂直關(guān)系的教學(xué)一樣，充分作好這些準(zhǔn)備工作以后，再提供一些幾何體供學(xué)生演練鞏固提高。

這樣的處理，可以充分利用鱉臑的解題“標(biāo)本”功能。數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)，盡管沒有萬能的解題模式，但是會(huì)有一些捷徑。教師就是要發(fā)現(xiàn)這些捷徑，然后提供給學(xué)生，讓他們少走彎路。