數(shù)學(xué)猜想并不總是對的，錯誤的數(shù)學(xué)猜想不占少數(shù)。關(guān)鍵在于，有時(shí)反例太大，找出反例實(shí)在是太困難了。這篇日志收集了很多“大反例”的例子，里面提到的規(guī)律看上去非常誘人，要試到相當(dāng)大的數(shù)時(shí)才會出現(xiàn)第一個(gè)反例。

千萬不要迷信規(guī)律

    圓上有 n 個(gè)點(diǎn)，兩兩之間連線后，最多可以把整個(gè)圓分成多少塊？

    上圖顯示的就是 n 分別為 2 、 3 、 4 的情況?？梢钥吹?，圓分別被劃分成了 2 塊、 4 塊、 8 塊。規(guī)律似乎非常明顯：圓周上每多一個(gè)點(diǎn)，劃分出來的區(qū)域數(shù)就會翻一倍。

    事實(shí)上真的是這樣嗎？讓我們看看當(dāng) n = 5 時(shí)的情況：

    果然不出所料，整個(gè)圓被分成了 16 塊，區(qū)域數(shù)依舊滿足 2^n-1 的規(guī)律。此時(shí)，大家都會覺得證據(jù)已經(jīng)充分，不必繼續(xù)往下驗(yàn)證了吧。偏偏就在 n = 6 時(shí)，意外出現(xiàn)了：

    此時(shí)區(qū)域數(shù)只有 31 個(gè)。

 
 
最有名的素?cái)?shù)生成公式

    1772 年，Euler 曾經(jīng)發(fā)現(xiàn)，當(dāng) n 是正整數(shù)時(shí)， n² + n + 41 似乎總是素?cái)?shù)。事實(shí)上，n 從 1 一直取到 39，算出來的結(jié)果分別是：

43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281,
313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853,
911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601

    這些數(shù)全都是素?cái)?shù)。第一次例外發(fā)生在 n = 40 的時(shí)候，此時(shí) 40² + 40 + 41 = 40² + 40 + 40 + 1 = (40 + 1)(40 + 1) = 41 × 41。

 
 
xⁿ - 1 的因式分解

    x² - 1 分解因式后等于 (x + 1)(x - 1) 。 x²⁰ - 1 分解因式后等于

(x - 1) (x + 1) (x² + 1) (x⁴ - x³ + x² - x + 1) (x⁴ + x³ + x² + x + 1) (x⁸ - x⁶ + x⁴ - x² + 1)

    對于所有的正整數(shù) n ， xⁿ - 1 因式分解后各項(xiàng)系數(shù)都只有可能是 1 或者 -1 嗎？據(jù)說有人曾經(jīng)算到了 x¹⁰⁰ - 1 ，均沒有發(fā)現(xiàn)反例，終于放心大膽地做出了這個(gè)猜想。悲劇的是，這個(gè)猜想是錯誤的，第一個(gè)反例出現(xiàn)在 n = 105 的情況， x¹⁰⁵ - 1 分解出來等于

(x - 1) (x² + x + 1) (x⁴ + x³ + x² + x + 1) (x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1)
(x⁸ - x⁷ + x⁵ - x⁴ + x³ - x + 1) (x¹² - x¹¹ + x⁹ - x⁸ + x⁶ - x⁴ + x³ - x + 1)
(x²⁴ - x²³ + x¹⁹ - x¹⁸ + x¹⁷ - x¹⁶ + x¹⁴ - x¹³ + x¹² - x¹¹ + x¹⁰ - x⁸ + x⁷ - x⁶ + x⁵ - x + 1)
(x⁴⁸ + x⁴⁷ + x⁴⁶ - x⁴³ - x⁴² - 2 x⁴¹ - x⁴⁰ - x³⁹ + x³⁶ + x³⁵ + x³⁴ + x³³ + x³² + x³¹ - x²⁸
- x²⁶ - x²⁴ - x²² - x²⁰ + x¹⁷ + x¹⁶ + x¹⁵ + x¹⁴ + x¹³ + x¹² - x⁹ - x⁸ - 2 x⁷ - x⁶ - x⁵ + x² + x + 1)

 
 
以 2 為底的偽素?cái)?shù)

    下面是當(dāng) n 較小的時(shí)候， n 與 2ⁿ - 2 的值。

    似乎有這樣的規(guī)律： n 能整除 2ⁿ - 2 ，當(dāng)且僅當(dāng) n 是一個(gè)素?cái)?shù)。如果真是這樣的話，我們無疑有了一種超級高效的素?cái)?shù)判定算法（ 2ⁿ 可以用二分法速算，期間可以不斷模 n ）。國外數(shù)學(xué)界一直傳有“中國人 2000 多年前就發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律”的說法，后來發(fā)現(xiàn)其實(shí)是對《九章算術(shù)》一書的錯誤翻譯造成的。再后來人們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)規(guī)律竟然是錯誤的。第一個(gè)反例是 n = 341，此時(shí) 341 能夠整除 2³⁴¹ - 2 ，但 341 = 11 × 31 。

    事實(shí)上，根據(jù) Fermat 小定理，如果 p 是素?cái)?shù)，那么 p 一定能整除 2ⁿ - 2。不過，它的逆定理卻是不成立的，上面提到的 341 便是一例。我們把這種數(shù)叫做以 2 為底的偽素?cái)?shù)。由于這種素?cái)?shù)判定法的反例出人意料的少，我們完全可以用它來做一個(gè)概率型的素?cái)?shù)判定算法。事實(shí)上，著名的 Miller-Rabin 素性測試算法就是用的這個(gè)原理。

 
 
Perrin 偽素?cái)?shù)

    定義 f(n) = f(n - 2) + f(n - 3) ，其中 f(1) = 0 ， f(2) = 2 ， f(3) = 3 。這個(gè)數(shù)列叫做 Perrin 數(shù)列。

    似乎有這么一個(gè)規(guī)律： n 能整除 Perrin 數(shù)列的第 n 項(xiàng) f(n) ，當(dāng)且僅當(dāng) n 是一個(gè)素?cái)?shù)。如果這個(gè)規(guī)律成立的話，我們也將獲得一個(gè)效率非常高的素?cái)?shù)檢驗(yàn)方法。根據(jù) MathWorld 的描述，1899 年 Perrin 本人曾經(jīng)做過試驗(yàn)，隨后 Malo 在 1900 年， Escot 在 1901 年，以及 Jarden 在 1966 年都做過搜索，均未發(fā)現(xiàn)任何反例。直到 1982 年， Adams 和 Shanks 才發(fā)現(xiàn)第一個(gè)反例 n = 271 441 ，它等于 521 × 521 ，卻也能整除 f(271 441) 。下一個(gè)反例則發(fā)生在 n = 904 631 的時(shí)候，再下一個(gè)反例則是 n = 16 532 714 。這種反例被稱為 Perrin 偽素?cái)?shù)。

 
 
最經(jīng)典的大反例

    說到大反例，這是我最喜歡舉的例子。下面是大于 1 的正整數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后的結(jié)果：

2 = 2
3 = 3
4 = 2 × 2
5 = 5
6 = 2 × 3
7 = 7
8 = 2 × 2 × 2
9 = 3 × 3
10 = 2 × 5
...

    其中，4、6、9、10 包含偶數(shù)個(gè)質(zhì)因子，其余的數(shù)都包含奇數(shù)個(gè)質(zhì)因子。你會發(fā)現(xiàn)，在上面的列表中一行一行地看下來，不管看到什么位置，包含奇數(shù)個(gè)質(zhì)因子的數(shù)都要多一些。1919 年，George Pólya 猜想，質(zhì)因子個(gè)數(shù)為奇數(shù)的情況不會少于 50% 。也就是說，對于任意一個(gè)大于 1 的自然數(shù) n ，從 2 到 n 的數(shù)中有奇數(shù)個(gè)質(zhì)因子的數(shù)不少于有偶數(shù)個(gè)質(zhì)因子的數(shù)。這便是著名的 Pólya 猜想。

    Pólya 猜想看上去非常合理——每個(gè)有偶數(shù)個(gè)質(zhì)因子的數(shù)，必然都已經(jīng)提前經(jīng)歷過了“有奇數(shù)個(gè)質(zhì)因子”這一步。不過，這個(gè)猜想?yún)s一直未能得到一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。到了 1958 年，英國數(shù)學(xué)家 C. B. Haselgrove 發(fā)現(xiàn)， Pólya 猜想竟然是錯誤的。他證明了 Pólya 猜想存在反例，從而推翻了這個(gè)猜想。不過，Haselgrove 僅僅是證明了反例的存在性，并沒有算出這個(gè)反例的具體值。Haselgrove 估計(jì)，這個(gè)反例至少也是一個(gè) 361 位數(shù)。

    1960 年，R. Sherman Lehman 給出了一個(gè)確鑿的反例：n = 906 180 359。而 Pólya 猜想的最小反例則是到了 1980 年才發(fā)現(xiàn)的：n = 906 150 257。

 
 
Fermat 大定理還能推廣嗎？

    Fermat 大定理說，當(dāng) n > 2 時(shí)，方程 xⁿ + yⁿ = zⁿ 沒有正整數(shù)解。 Euler 曾經(jīng)猜想，當(dāng) n > k 時(shí)，方程 x₁ⁿ + x₂ⁿ + … + x_kⁿ = yⁿ 都沒有正整數(shù)解。 1986 年，Noam Elkies 給出了方程 x⁴ + y⁴ + z⁴ = w⁴ 的一個(gè)正整數(shù)解，從而推翻了這個(gè)猜想。這個(gè)反例是：2 682 440⁴ + 15 365 639⁴ + 18 796 760⁴ = 20 615 673⁴ 。

 
 
XX 型平方數(shù)

    11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 1010, 1111, 1212, … 都不是完全平方數(shù)。有沒有什么數(shù)，把它連寫兩次后，正好是一個(gè)完全平方數(shù)呢？有。第一個(gè)這樣的數(shù)是 13 223 140 496 ，把它連寫兩次將得到 1 322 314 049 613 223 140 496 ，是 36 363 636 364 的平方。第二個(gè)這樣的數(shù)則是 20 661 157 025 ，它對應(yīng)了 45 454 545 455 的平方。更多信息可見 http:///A102567 。

 
 
總是相等嗎？

    下面是 n 為正整數(shù)時(shí)， 2 / (2^1/n - 1) 取上整的結(jié)果與 2n / ln(2) 取下整的結(jié)果：

    這兩者的結(jié)果總是相等嗎？不是的。第一個(gè)反例是 n = 777 451 915 729 368，前者算出來的結(jié)果是 2 243 252 046 704 767 ，但后者是 2 243 252 046 704 766 。下一個(gè)反例則出現(xiàn)在 n = 140 894 092 055 857 794 的時(shí)候。更多信息可見 http:///A129935 。

 
 
至今仍未找到的反例

    有沒有什么猜想，明明已經(jīng)被推翻了，所有人都知道存在反例，但因?yàn)榉蠢龑?shí)在是太大了，直到現(xiàn)在仍然沒有找到呢？有。下面這張表展示了 n 取不同值時(shí) pi(n) 和 li(n) 的值，其中 pi(n) 表示不超過 n 的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，li(n) 則是對數(shù)積分 ∫₀ⁿ dx/ln(x) 。

    pi(n) 是否永遠(yuǎn)小于 li(n) 呢？1914 年，Littlewood 證明了存在一個(gè)大數(shù) n 使得 pi(n) ≥ li(n) ，不過卻并沒有給出一個(gè)具體的 n 值來。1955 年，Skewes 給出了這樣的 n 值的一個(gè)上界：在 10^(10^(10^963)) 以內(nèi)，必有一個(gè)滿足 pi(n) ≥ li(n) 的 n 。

    雖然數(shù)學(xué)家們正在不斷地改進(jìn)上界（目前的上界大約是 e^727.9513 ），但仍然無法找出一個(gè)具體的 n 來。原因很簡單——這個(gè)反例實(shí)在是太大了。

 
 
幾個(gè)主要來源：
http:///iikk4
http://www./article/9688/
http:///questions/15444

如果你對此感興趣，不要錯過數(shù)學(xué)史上的一篇經(jīng)典論文：The Strong Law of Small Numbers

這篇日志今后將不斷更新

 
 
2011-10-13 Update:
Borwein 積分

    2001 年， David Borwein 和 Jonathan M. Borwein 在一篇論文中指出：

    事實(shí)上，這個(gè)規(guī)律一直到

    都是成立的。但

    卻打破了規(guī)律。其原因是， 1/3 + 1/5 + ... + 1/15 超過了 1 。