這幾天都在標(biāo)定加速度計(jì)，終于完成了。

1. 方案
   傳感器總會(huì)有缺陷，測(cè)量的值有誤差，所以要校正。要校正加速度計(jì)，最簡(jiǎn)單有效的辦法就是利用重力了。以不同方向在靜止?fàn)顟B(tài)測(cè)量加速度，然后把數(shù)據(jù)擬合到當(dāng)?shù)刂亓铀俣?，就完成?duì)加速度計(jì)的標(biāo)定了，直接無(wú)視Datasheet上的精度參數(shù)。
2. 采集數(shù)據(jù)
   采集數(shù)據(jù)就要用到上次做的“黑匣”了，測(cè)量到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下。
   
   
   
   里面的0x55AA是幀開(kāi)始符，表示一組測(cè)量數(shù)據(jù)的開(kāi)始，緊接著就是3個(gè)double類(lèi)型的值，小端格式，表示x,y,z方向的原始測(cè)量值。
   
3. 理論依據(jù)
   這次標(biāo)定加速度計(jì)，最大的收獲是——把困擾多年的“最小二乘法”弄懂了。
   設(shè)x‘,y’,z‘為實(shí)際加速度分量，G0為當(dāng)?shù)刂亓铀俣戎怠＠硐肭闆r下有下面的等式：
   
   
   
   但測(cè)量有誤差，設(shè)測(cè)量值為[x,y,z]，則測(cè)量值和實(shí)際值可以用下面的公式擬合。擬合方式為線(xiàn)性擬合，其中a',b',c'是比例因子，d',e',f'為偏移因子。通過(guò)這條公式，可以把測(cè)量值“變成”實(shí)際值（下面稱(chēng)作“估計(jì)值”），標(biāo)定加速度計(jì)的目標(biāo)，就是確定[a',b',c',d',e',f']這六個(gè)參數(shù)（下面稱(chēng)作“參數(shù)”），使估計(jì)值更接近實(shí)際值。
   
   
   
   代入理想情況的等式，有：
   
   
   
   這分明是橢球嘛，展開(kāi)得：
   
   
   
   為方便推導(dǎo)和運(yùn)算，寫(xiě)成如下形式：
   
   
   比較以上兩式，有：（注意要加上系數(shù)k）
   
   
   反過(guò)來(lái)有：
   
   
   現(xiàn)在已經(jīng)在靜止?fàn)顟B(tài)測(cè)量出一些數(shù)據(jù)，記作[xn,yn,zn]，表示第n組測(cè)量值，對(duì)應(yīng)的實(shí)際值都是重力G0。為了衡量參數(shù)的合適程度，引入誤差函數(shù)Δn，表示第n個(gè)估計(jì)值與實(shí)際值的偏差，如果硬要說(shuō)出具體意義，就是：估計(jì)值和實(shí)際值的平方差的1/k倍。
   
   Δn是第n組數(shù)據(jù)的偏差，我們的目標(biāo)是整體偏差最小，所以引入整體偏差指數(shù)I，等于全部數(shù)據(jù)的偏差的平方和（“最小二乘法”的“二乘”就是指平方）。
   
   再次強(qiáng)調(diào)，我們的目標(biāo)是找出一組參數(shù)，使整體的估計(jì)值最接近實(shí)際值。換句話(huà)說(shuō)，就是：已知[xn,yn,zn]，求使I最小的[a',b',c',d',e',f']。直接求[a',b',c',d',e',f']有困難，要利用[a,b,c,d,e,f,g]，不廢話(huà)嗎？這就是我們引入abc的原因啊。所以不用猶豫了，動(dòng)用高數(shù)中的偏導(dǎo)吧，用I分別對(duì)[a,b,c,d,e,f,g]求偏導(dǎo)，然后通通都要是0，這是I最小的必要條件。于是得到下面7條方程，對(duì)于[a,b,c,d,e,f,g]，都是線(xiàn)性方程，組合起來(lái)就是一組7*7的齊次線(xiàn)性方程組。
   
   仔細(xì)觀察上面的方程，很有規(guī)律。其實(shí)可以寫(xiě)成更簡(jiǎn)潔（傳說(shuō)中的數(shù)學(xué)的優(yōu)雅?。┑男问?。引入列向量v和pn，v為變量組，pn為系數(shù)組，單個(gè)偏差可以寫(xiě)成它們的點(diǎn)積。
   
   
   神奇的一刻到了，方程組可以用一條式表示！再經(jīng)過(guò)一些變換（向量點(diǎn)積交換，證明不出，歸納出來(lái)的。），得到終極的矩陣形式。而且矩陣A相當(dāng)利于程序?qū)崿F(xiàn)，算法復(fù)雜度甚至是完美的“online”！
   
   
   
   
   
   呵呵，一不小心，把最小二乘法的一般形式推導(dǎo)出來(lái)了。
   至此，問(wèn)題歸結(jié)到線(xiàn)性方程組的求解，理論上已經(jīng)沒(méi)有任何障礙（那是當(dāng)然的，都已經(jīng)用了上百年了）。
   
4. 編寫(xiě)軟件

   先梳理一下思路?，F(xiàn)在有一個(gè)原始的RCD格式的數(shù)據(jù)，首先要提取出[xn,yn,zn]，然后用[xn,yn,zn]算出向量pn，再用pn轉(zhuǎn)置自乘，累加成矩陣A，接著求以A為系數(shù)矩陣的齊次線(xiàn)性方程組，算出[a,b,c,d,e,f,g]，這樣就可以得到最佳的[a',b',c',d',e',f']了。

   第一步需要了解RCD文件的結(jié)構(gòu)，那是做黑匣的時(shí)候自己設(shè)計(jì)的，沒(méi)問(wèn)題；然后加加減減得到A，這個(gè)也不難；以前混ACM的時(shí)候，對(duì)著《線(xiàn)性代數(shù)》寫(xiě)過(guò)解線(xiàn)性方程組的庫(kù)，解方程組小意思；最后再次加加減減，[a',b',c',d',e',f']就出來(lái)啦。關(guān)鍵代碼如下：

   輸入數(shù)據(jù)循環(huán)。
   
   
   
   
   累加生成矩陣。
   
   
   
   
   解方程，vp就是[a,b,c,d,e,f,g]啦。
   
   
   
   
   [a,b,c,d,e,f,g]轉(zhuǎn)[a',b',c',d',e',f']。
   
   
   
   
   
5. 校驗(yàn)結(jié)果
   一共14339組數(shù)據(jù)，左邊是原始采樣值，中間是標(biāo)定后的加速度，右邊是估計(jì)值與實(shí)際值的誤差。
   重力加速度取廣州的9.7883m/s2，大多數(shù)誤差在0.5%以下，結(jié)果還算滿(mǎn)意。
   
   
   
   后來(lái)試過(guò)周期性忽略某些采樣點(diǎn)，得出不同的參數(shù)，發(fā)現(xiàn)參數(shù)只有3～4位有效數(shù)字