函數(shù)的奇偶性

1. 概念

一般地，對(duì)于函數(shù)

（1）如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫奇函數(shù)。

（2）如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)。

注：

① 函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的一個(gè)必要條件是函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

② 對(duì)于與應(yīng)從數(shù)形兩方面理解

點(diǎn)的對(duì)稱性，即函數(shù)圖象的對(duì)稱性

P與均在圖象上

③ 刻畫(huà)的為函數(shù)的整體性質(zhì)

2. 奇偶性的性質(zhì)

（1）奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，那么此函數(shù)是奇函數(shù)。

證（）設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，則，在函數(shù)圖象上任取一點(diǎn)P（），則即也是圖象上一點(diǎn)，而是P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，所以函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)都在圖象上，即的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱

（）設(shè)圖象成中心對(duì)稱，在圖象上任取一點(diǎn)P（），則P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)（）也在上

∵ 時(shí)，而函數(shù)值是唯一的，∴

由的任意性知，在的定義域內(nèi)有，故為奇函數(shù)

（2）偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸成軸對(duì)稱圖形，反過(guò)來(lái)，若一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于軸成軸對(duì)稱圖形，則此函數(shù)是偶函數(shù)。證明略。

（3）如果和都是奇（偶）函數(shù)，則函數(shù)也是奇（偶）函數(shù)

證：設(shè)，都是奇函數(shù)，設(shè)

∵ 和都是奇函數(shù)  

∴

（都是偶函數(shù)同理可證）

推論：

① 兩個(gè)奇（偶）函數(shù)的和與差都是奇（偶）函數(shù)

② 奇（偶）函數(shù)與常數(shù)之積是奇（偶）函數(shù)

③ 兩個(gè)非零的一奇一偶函數(shù)之和既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)

對(duì)③設(shè)奇函數(shù)，偶函數(shù)，令

（反證）若是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)而與是偶函數(shù)矛盾，若是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)與是奇函數(shù)矛盾，但非奇非偶函數(shù)的和、差、積、商可能是奇或偶函數(shù)，如，，偶，奇，偶

（4）奇偶性相同的兩個(gè)函數(shù)之積（商）為偶函數(shù)，而奇偶性相異的兩個(gè)函數(shù)之積（商）為奇函數(shù)（證略）

（5）函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的充要條件是

證：既奇又偶且

，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，非恒為0函數(shù)，是奇則必非偶，是偶則必非奇。

（6）如果定義在A上的奇函數(shù)存在反函數(shù)，則反函數(shù)也是奇函數(shù)

證：設(shè)的值域B，則即的定義域，設(shè)，則有唯一的，使得，從而有，又因是奇函數(shù)，所以，從而有且有，即

是奇函數(shù)。

（7）定義在對(duì)稱區(qū)間內(nèi)的任何函數(shù)都可表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)之和。

證明：對(duì)于，令，

則，而，

即與分別為偶函數(shù)和奇函數(shù)，故命題得證

（8）在復(fù)合函數(shù)中

① 若為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)

② 若為奇函數(shù)，為偶（奇）函數(shù)，則是偶（奇）函數(shù)（證明略）

  3. 函數(shù)奇偶性的判定方法：

（1）定義法：或，1（）

（2）圖象法

（3）性質(zhì)法

（1）定義法

[例1] 判斷下列函數(shù)的奇偶性，并予以證明。

（1）      （2）

證明：（1）的定義域，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

不妨取兩個(gè)特殊值，，猜想是奇函數(shù)

∴ 是奇函數(shù)

有時(shí)證明較繁，可變通證等價(jià)命題

∴       ∴ 是奇函數(shù)

（又如證為奇函數(shù)，利用簡(jiǎn)單）

證（2）令，即兩邊平方得

經(jīng)檢驗(yàn)

故方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解，即對(duì)任意，于是定義域?yàn)?/SPAN>R

（或利用）

，故是定義在R上的奇函數(shù)

利用

∴ ，即是奇函數(shù)

[例2] 判定下列函數(shù)的奇偶性

（1）          （2）

解：（1）定義域?yàn)?/SPAN>R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

則

故，所以是R上的奇函數(shù)

（2）定義域?yàn)?/SPAN>關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

當(dāng)時(shí)，，則

當(dāng)時(shí)，，則

綜上，故是上的奇函數(shù)

另法利用圖象

[例3] 已知函數(shù)滿足① ，②  ，③  ，（1）判斷的奇偶性，（2）證明是周期函數(shù)，（3）求證，對(duì)，有恒成立。

分析：類比三角中的和差化積公式，可猜想與相當(dāng)，易知它為偶函數(shù)，周期為，且

證明：（1）令，，則由（1）可得

又令，可得    ∵     ∴

代入上式得，即，為偶函數(shù)

（2）令，，由（1）得（*）

再令，，由（1）得

又由（1），，即

∴ ，即（**）

由（*）和（**）可得，即是以為周期的周期函數(shù)

（3）由得得證

[例4] 設(shè)函數(shù)定義在上且對(duì)任意都有

（*），試證是偶函數(shù)。

證明：令，，則（*）即

再令，由（*）得

令，由（*）可得即

所以，故得證

[例5] 對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，，則函數(shù)（    ）

A. 必是奇函數(shù)                                        B. 必是偶函數(shù)

C. 可以是奇函數(shù)也可以是偶函數(shù)            D. 不能判定奇偶性

解：選C

設(shè)，則

令，得

令，得

故或

[例6] 對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，則函數(shù)（    ）

A. 必是奇函數(shù)                                         B. 必是偶函數(shù)

C. 可以是奇函數(shù)也可以是偶函數(shù)             D. 不能判定奇偶性

解：選A

因對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，特別地對(duì)，取，得，若取，則

∴      ∴ ，即為奇函數(shù)

4. 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

[例7] 已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，如果在上是增函數(shù)，則在上也是增函數(shù)。

證明：設(shè)，則

由在上單增，有   又由為奇函數(shù)

所以   即，故函數(shù)在上是增函數(shù)

[例8] 已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，。（1）求在R上的解析式；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性。

解：（1）若，則

若，則由，有

即，所以在R上的解析式為

（2）其圖象如下

由二次函數(shù)性質(zhì)可知在區(qū)間與上是增函數(shù)，在區(qū)間與上是減函數(shù)。

[例9] 解方程

解：令，則原方程可化為

即（*）

設(shè)，則為奇函數(shù)，從而（*）化為

即

又由在R上為增函數(shù)，所以，即

又由，所以原方程的解為

解法二：

令，，

原方程        

[例10] 已知函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

解：令，，則

由是偶函數(shù)且在上單增，則在上單減

又由在上單增，在上單減，以及

，或

列表如下

所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性結(jié)論知在與上是減函數(shù)，在與上是增函數(shù)。

注：是偶函數(shù)，如在上增，則必在上減

略證任取

故在上單減

[例11] 已知是定義在上的奇函數(shù)，且在上是的一次函數(shù)在上是的二次函數(shù)。當(dāng)時(shí)，，，試求的解析式。

分析：由于在上是奇函數(shù)，故可以把定義域分為兩個(gè)區(qū)間，進(jìn)行討論，又由在上是分段定義的，即分為，，故又要把分為兩個(gè)區(qū)間討論，再由奇函數(shù)概念，對(duì)也得分，兩段討論，因此對(duì)已知區(qū)間應(yīng)劃分為四個(gè)區(qū)間討論，考慮到函數(shù)分段定義，我們對(duì)劃分的四個(gè)區(qū)間，都用閉區(qū)間討論。

當(dāng)時(shí)，因在上是的二次函數(shù)且

∴（5，3）是該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)此二次式為

又由     ∴

故   由此可求得

當(dāng)時(shí)  ∵ 在上為奇函數(shù)，故

又∵ 及在上為的一次式

∴     

再由奇函數(shù)定義知，時(shí)，

時(shí)，

綜上，

【模擬試題】

1. 構(gòu)造一個(gè)滿足下面三個(gè)條件的函數(shù)實(shí)例，

①函數(shù)在上遞減；②函數(shù)具有奇偶性；③函數(shù)有最小值為0；         ．

2. 函數(shù)F（x）＝（1＋2/（2^x-1））f（x）（x≠0）是偶函數(shù)，且f（x）不恒等于零，則f（x）（    ）

A. 是奇函數(shù)                                        B. 是偶函數(shù)     

C. 既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)        D. 非奇非偶函數(shù)

3. 已知函數(shù)f（x）＝x²＋lg（x＋），若fA. ＝M，則f（-a）等于（     ）

A. 2a²-M         B. M-2a²           C. 2M-a²            D. a²-2M

4. 若對(duì)正常數(shù)m和任意實(shí)數(shù)x，等式成立，則下列說(shuō)法正確的是 （    ）

A. 函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期為2m

B. 函數(shù)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

C. 函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期為4 m

D. 函數(shù)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)      

5. 已知f（x） 是奇函數(shù)，且當(dāng)x?（0，1）時(shí)，f（x）＝ln（1/（1＋x）），那么當(dāng)x?（-1，0）時(shí)，f（x）＝             ．

6. 判斷下列函數(shù)的奇偶性

①；       ②；

③；       ④．

7. 已知，，求．

【試題答案】

  1.

  2. A

  3. A

  4. C

  5.

6. 解：①定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，奇函數(shù)．

②定義域?yàn)?/SPAN>不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。該函數(shù)不具有奇偶性.

③定義域?yàn)?/SPAN>R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，，故其不具有奇偶性．

④定義域?yàn)?/SPAN>R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；故該函數(shù)為奇函數(shù)．

  7. 解：已知中為奇函數(shù)，即＝中，也即，，得，．