二. 教學重、難點：

1. 函數(shù)在一點處連續(xù)

2. 函數(shù)在開區(qū)間，閉區(qū)間上連續(xù)

3. 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

（1）若與在處連續(xù)，則，，（）在處也連續(xù)。

（2）最大、最小值，若是[]上的連續(xù)函數(shù)，那么在上有最大值和最小值，最值可在端點處取得，也可以在內(nèi)取得。

【典型例題】

[例1] 求下列極限

（1）

（2）

（3）

（4）

解：

（1）原式

（2）原式

（3）原式

（4）原式

[例2] 求下列各數(shù)列的極限

（1）

（2）

（3）

解：

（1）原式

（2）原式

（3）原式

[例3] 已知數(shù)列是正數(shù)構成的數(shù)列，，且滿足，其中是大于1的整數(shù)，是正數(shù)。

（1）求的通項公式及前項和；

（2）求的值。

解：

（1）由已知得    ∴ 是公比為的等比數(shù)列，則

（2）

① 當時，原式

② 當時，原式

③ 當時，原式

[例4] 判定下列函數(shù)在給定點處是否連續(xù)。

（1）在處；

（2），在處。

解：

（1），但

故函數(shù)在處不連續(xù)

（2）函數(shù)在處有定義，但

，即

故不存在，所以函數(shù)在點處不連續(xù)。

[例5] 已知函數(shù)，試求：

（1）的定義域，并畫出的圖象；

（2）求，，；

（3）在哪些點處不連續(xù)。

解：

（1）當，即時，

當時，不存在

當時，

當時，即或時，

∴

∴ 定義域為（）（），圖象如圖所示

（2）           

∴ 不存在

（3）在及處不連續(xù)   ∵ 在處無意義

時，

即不存在    ∴ 在及處不連續(xù)

[例6] 證明方程至少有一個小于1的正根。

證明：令，則在（0，1）上連續(xù)，且當時，。

時，

∴ 在（0，1）內(nèi)至少有一個，使

即：至少有一個，滿足且，所以方程至少有一個小于1的正根。

[例7] 函數(shù)在區(qū)間（0，2）上是否連續(xù)？在區(qū)間[0，2]上呢？

解：（且）

任取，則

∴ 在（0，2）內(nèi)連續(xù)，但在處無定義

∴ 在處不連續(xù)，從而在[0，2]上不連續(xù)

[例8] 假設，在上不連續(xù)，求的取值范圍。

解：若函數(shù)，在上連續(xù)，由函數(shù)在點處連續(xù)的定義， 必有，因為，

，所以，所以，若不連續(xù)，則且。

[例9] 設

（1）若在處的極限存在，求的值；

（2）若在處連續(xù)，求的值。

解：

（1），，因為在處極限存在，所以，所以，即

（2）因為在處連續(xù)，所以在處的極限存在，且

，由（1）知，且，又，所以。

【模擬試題】

一. 選擇題：

1. 已知，則下列結論正確的是（    ）

    A.     B. 不存在    C. =1    D. =

2. 的值為（    ）

    A. 5    B. 4    C. 7    D. 0

3. 的值為（    ）

    A. 1    B. 0   C.     D.

4. 的值為（    ）

    A.     B.     C. 1    D.

5. 若，則的取值范圍是（    ）

    A.     B.     C.     D.

6. 若在上處處連續(xù)，則常數(shù)等于（    ）

    A. 0    B. 1    C. 2    D.

7. 在點處連續(xù)是在點處連續(xù)的（    ）

A. 充分不必要條件                B. 必要不充分條件   

C. 充分必要條件                    D. 既不充分也不必要條件

8. 的不連續(xù)點是（    ）

A. 無不連續(xù)點    B.     C.     D.

二. 解答題：

1. 求下列極限：

    （1）   （2）    （3）

2. 為常數(shù)，1，求。

3. 已知

（1）在處是否連續(xù)？說明理由；

（2）討論在和上的連續(xù)性。

【試題答案】

一.

1. B    2. C    3. C    4. B    5. C    6. C    7. A   8. D

二.

1. 解：

（1）

（2）

① 當時，   ∴

② 當時，    ∴

③ 當時，

（3）

2. 解：∵

    ∴     ∴ ，

3. 解：

（1）∵ ，則   ∴

∵ ，且    ∴

∵    

∴ 不存在    ∴ 在處不連續(xù)

（2）∵     ∴ 在上是不連續(xù)函數(shù)

∵     ∴ 在上是連續(xù)函數(shù)。