［學(xué)習(xí)目標(biāo)］

  1. 掌握直角三角形中的邊角關(guān)系

    （1）三邊之間的關(guān)系         （勾股定理）

    （2）銳角之間的關(guān)系        

    （3）邊角之間的關(guān)系         銳角三角函數(shù)

  2. 理解解直角三角形的概念：直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角。由直角三角形中的兩個(gè)已知元素（直角除外且其中至少一個(gè)是邊），求出其余未知元素的過(guò)程，叫解直角三角形。

  3. 明確解直角三角形四類(lèi)基本問(wèn)題的方法

    （1）已知斜邊和一直角邊（如斜邊c，直角邊a），由

    求A，進(jìn)而

    （2）已知斜邊和一銳角（如斜邊c，銳角A），

    （3）已知一直角邊和一銳角（如a，A），

    （4）已知兩直角邊（如a，b），，由，求A。

    進(jìn)而

  3. 掌握解直角三角形的思路

    （1）當(dāng)已知或求解式中有斜邊時(shí)，可用正弦或余弦；無(wú)斜邊時(shí)，就應(yīng)用正切或余切；當(dāng)所求元素既可用乘法又可用除法時(shí)，則用乘法，不用除法；既可由已知數(shù)據(jù)又可用中間數(shù)據(jù)求解時(shí)，則取原始數(shù)據(jù)，忌用中間數(shù)據(jù)。

    （2）當(dāng)已知直角三角形中中線、高、角平分線、周長(zhǎng)、面積等時(shí)，一般將這些元素轉(zhuǎn)化為三角形中的元素或元素間的關(guān)系式，再通過(guò)解直角三角形的基本方法進(jìn)行求解。

  4. 理解掌握直角三角形中邊、角之間的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用勾股定理，直角三角形的兩銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形。

［學(xué)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn)］

    本節(jié)重點(diǎn)是在歸納直角三角形中邊、角關(guān)系的基礎(chǔ)上，利用這些關(guān)系式和上節(jié)概念解直角三角形。并利用三角形，四邊形與解直角三角形的聯(lián)系解實(shí)際問(wèn)題。

    難點(diǎn)是對(duì)解三角形方法的靈活選擇應(yīng)用。

【典型例題】

  例1. 如圖，在中，，求BC的長(zhǎng)。

    解：過(guò)A作于D

    在中，

    中，

    點(diǎn)悟：過(guò)A作于D點(diǎn)，形成直角三角形來(lái)解題。

  例2. 已知：如圖，中，，于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，，連結(jié)CE。求的周長(zhǎng)。

    解：

    為等腰直角三角形

    在和中，

    又

    的周長(zhǎng)

    點(diǎn)悟：此題圖形雖然較復(fù)雜，但所出現(xiàn)的四個(gè)三角形均為直角三角形，且有兩個(gè)為等腰直角三角形，用逐一推理方法，不難求出的三邊，于是可求其周長(zhǎng)。

    例3. 一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3cm和12cm，夾角為，和它面積相等的等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是多少？

    解：設(shè)等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為xcm，則由題意，

    由勾股定理，得斜邊長(zhǎng)

    等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為6cm。

    點(diǎn)悟：本題利用了很重要的面積公式，即“”。

  例4. 在中，，，求AB和。

    解：作，并與BA延長(zhǎng)線交于D

    在中，

    在中，，

    由勾股定理

    點(diǎn)悟：由題意，可作的補(bǔ)角，做垂線，構(gòu)造直角三角形是轉(zhuǎn)化求解的關(guān)鍵。

  例5. 已知，如圖在四邊形ABCD中，，，求AC的長(zhǎng)。

     （1）                （2）                          （3）

    解：解法1，圖（1）延長(zhǎng)AD，BC相交于E

    在中，

    ，即

    在中，由勾股定理

    解法2：圖（2）

    作于G，于H

    為矩形，

    在中，

    在中

    在中，由勾股定理

    解法3：圖（3），延長(zhǎng)AB、DC相交于點(diǎn)F

    在中，

    在中，

    在中，由勾股定理

    點(diǎn)悟：本題的多解法中，我們可總結(jié)，特殊角要放在直角三角形中，使用起來(lái)才方便，無(wú)直角三角形時(shí)，一是可用等角代換，轉(zhuǎn)移至直角三角形；二是可作垂線，構(gòu)造直角三角形，對(duì)于常轉(zhuǎn)化為其補(bǔ)角去發(fā)揮作用。

  例6. 在中，為BC中點(diǎn)，，，求AB的長(zhǎng)。

    解：

    設(shè)

    在中，，由勾股定理

    D是BC中點(diǎn)

    在中，由勾股定理

    的長(zhǎng)是。

  例7. 已知：如圖在中，，BD是的平分線，，，求BC的長(zhǎng)。

    解：在中，

    平分

    設(shè)

    在中，

    BC長(zhǎng)為。

  例8. 已知：如圖在直角梯形ABCD中，AB//CD，，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，，求兩底AB、CD的長(zhǎng)。

    解：過(guò)C作于G交EF于H

    E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)

    在中，

    為的中位線

    答：AB長(zhǎng)，CD長(zhǎng)cm

    點(diǎn)悟：本題使用“轉(zhuǎn)化思想”，把分散的元素，通過(guò)添加輔助線，集中到一個(gè)三角形中，然后，再解此三角形。

【模擬試題】（答題時(shí)間：45分鐘）

一. 選擇題：

  1. 已知在中，，則a等于（    ）

    A.                  B.                C.             D. 3

  2. 已知在中，三內(nèi)角之比為，則三邊之比等于（    ）

    A. 1：2：3            B. 1：：2        C. 1：3：4            D. 1：：4

  3. 等腰三角形底邊上的高為8，周長(zhǎng)為32，此三角形面積是（    ）

    A. 56             B. 48              C. 40             D. 32

  4. 已知如圖菱形ABCD，對(duì)角線，那么等于（    ）

    A.             B.             C.                      D.

  5. 已知等腰三角形ABC中，一腰上高為1，這條高與底邊夾角為，則的面積等于（    ）

    A. 1               B.           C.             D.

二. 填空。

  6. 若為銳角，且，則_______。

  7. 在中，，則_______。

  8. 已知直角三角形兩直角邊之和為，面積為2，則此直角三角形的斜邊長(zhǎng)為________。

  9. 已知矩形的兩條邊長(zhǎng)分別為和2，則這個(gè)矩形的兩條對(duì)角線所夾的銳角度數(shù)為___________。

三. 解答題：

  10. 如圖（1）在中，的平分線，求及的值。

（1）

  11. 已知，如圖（2），在中，，CD是高，求證：

（2）

  12. 平行四邊形邊長(zhǎng)分別為，一個(gè)角為，求平行四邊形兩高的長(zhǎng)。

【試題答案】

一. 1. D         2. B        3. B        4. A        5. A

二. 6.     7.     8. 4         9.

三. 10. 解：在中，

    又是的平分線

  11. 證明：設(shè)則

    ，

  12. 解：在平行四邊形ABCD中，

    則

    作于F，在中，

    作于E，在中

    答：此平行四邊形的兩高分別是與。

【勵(lì)志故事】

乘靜而入

菲律賓有家餐館生意一直很清淡，這家餐館老板特意到周?chē)牟宛^光顧一番后發(fā)現(xiàn)：這些餐館清一色的現(xiàn)代裝飾，使氣氛格外火爆，食客不少。于是這位老板就反其道而行之，決定突出本餐館與眾不同的古樸、幽靜的獨(dú)家特色：

室內(nèi)是白色房柱，座席被綠色植物簇?fù)恚糜《鹊墓艖?zhàn)車(chē)送菜，莎士比亞時(shí)代的酒桶盛酒……此舉一出，餐館生意立馬擊敗所有對(duì)手，迅速走紅。