寒假專(zhuān)題——方程與根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系有關(guān)問(wèn)題及應(yīng)用

    學(xué)習(xí)目標(biāo)：

  1. 復(fù)習(xí)一元二次方程解法，判別式，根系關(guān)系，深化提高認(rèn)識(shí)，在此背景下，結(jié)合幾何、三角或其他代數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題。

  2. 掌握方程與生產(chǎn)、生活及市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)有關(guān)的應(yīng)用，能正確理解題目意義，建立數(shù)學(xué)模型，最終解題。

  3. 通過(guò)練習(xí)一些中考熱點(diǎn)，重點(diǎn)考題，明確考試的范圍及要求程度。

二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)

    對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)熟練掌握是本節(jié)重點(diǎn)；難點(diǎn)是靈活應(yīng)用新舊知識(shí)，融匯貫通。

【典型例題】

    例1. 若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和是S，求S的取值范圍。

    解：設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，則

    ，

    方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

    ，且

    且

    由，得

    ，且

    且

    例2. 已知是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求的值（含有m代數(shù)式）

    解：已知方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根

    由根與系數(shù)關(guān)系知

    由此可知的符號(hào)與m有關(guān)

    （1）當(dāng)時(shí)，

    此時(shí)，與同號(hào)

    又

    ，

    （2）當(dāng)m＝1時(shí)，，此時(shí)方程為，它的兩根為，

    ，

    （3）當(dāng)時(shí)，，則與異號(hào)

    為正，為負(fù)

    例3. 已知關(guān)于x的方程（p為實(shí)數(shù)）

    （1）求證：此方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

    （2）設(shè)、是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，且，若和是方程的兩根，求實(shí)數(shù)q的值。

    證明：（1）

    關(guān)于x的方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

    （2）

    是方程的兩根

    由<2>得：

    由<1>，

    符合題意

    例4. 已知關(guān)于x的方程，其中m為實(shí)數(shù)，當(dāng)m為何值時(shí)

    （1）方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根？

    （2）方程恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根？求出這三個(gè)實(shí)數(shù)根。

    解：（1）令，則原方程可化為

    解得

    由此得①或②

    對(duì)于①由，得

    對(duì)于②由，得

    當(dāng)時(shí)，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根

    （2）由（1）可得，當(dāng)時(shí)，方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，但此時(shí)，方程②沒(méi)有實(shí)數(shù)根，不合題意；當(dāng)時(shí)，方程②有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

    當(dāng)時(shí)，原方程有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根

    例5. 關(guān)于x的方程①與②，若方程①的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于方程②的一個(gè)整數(shù)根，求m的值。

    解：設(shè)方程①的實(shí)數(shù)根，

         ③

    ，    ④

        ⑤

    由方程②解得

    若

    即，即

    ，此時(shí)（舍）

    故應(yīng)舍去

    若，則，即

    當(dāng)時(shí)，（舍去）

    當(dāng)時(shí)，是整數(shù)根，且滿足不等式③

    因此方程①的根是實(shí)數(shù)

    例6. 已知，關(guān)于x的方程①的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于3，關(guān)于x的方程②有實(shí)數(shù)根，且k為正整數(shù)，求代數(shù)式的值。

    解：設(shè)方程①的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，根據(jù)題意

    即     ③

    解得

    經(jīng)檢驗(yàn)是方程③的解，且使方程有實(shí)數(shù)根

    將代入方程②，得

    當(dāng)時(shí)，一元一次方程有實(shí)數(shù)根

    ，當(dāng)時(shí)，方程②為一元二次方程，且

    解得

    又k為正整數(shù)，且

    ，而時(shí)代數(shù)式無(wú)意義

    綜上所述，代數(shù)式的值為0

    例7. 某商店從廠家以每件21元價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，該商店可以自行定價(jià)，若每件商品售價(jià)為a元，則可賣(mài)出件，但物價(jià)局限定每件商品加價(jià)不能超過(guò)進(jìn)價(jià)的20％，商店計(jì)劃賺400元，需要賣(mài)出多少件商品？每件商品應(yīng)售價(jià)多少元？

    解：設(shè)每件商品應(yīng)售價(jià)x元，才能使商店賺400元

    又

    而

    舍去，

    當(dāng)時(shí)，

    答：該商店需賣(mài)出100件商品，每件商品應(yīng)售價(jià)25元才能使商店賺400元。

    例8. 為了參加北京市申辦2008年奧運(yùn)會(huì)活動(dòng)，（1）某班學(xué)生爭(zhēng)取到制作240面彩旗的任務(wù)，有10名學(xué)生因故沒(méi)有參加制作，因此這班的其余學(xué)生人均均要比原計(jì)劃多做4面彩旗才能完成任務(wù)，問(wèn)這個(gè)班有多少名學(xué)生？（2）如果有兩邊長(zhǎng)分別為1，a（其中a>1）的一塊矩形綢布，要將它剪裁出三面矩形彩旗（面料無(wú)剩余），使每面彩旗的長(zhǎng)，寬之比與原綢布的長(zhǎng)、寬之比相同，畫(huà)出兩種不同裁剪方法的示意圖，并寫(xiě)出相應(yīng)a的值。

    解：（1）設(shè)這個(gè)班有x名學(xué)生，那么實(shí)際參加彩旗制作的學(xué)生有（x－10）名

    經(jīng)檢驗(yàn)，都是原方程的根

    但不合題意，舍去

    答：這個(gè)班有30名學(xué)生

    （2）示意圖

     ①        ②      ③         ④

【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）

一. 選擇題

  1. 關(guān)于x的方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，則a＝_________。

    A.                 B.                  C.                    D.

  2. m為（    ）時(shí)，關(guān)于x的方程有兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根

    A. 1，2                 B. 1，2，3

    C. 2，3                 D. 1，3

  3. 關(guān)于x的方程的兩實(shí)數(shù)根都小于1，則m（    ）

    A.                 B.            C.          D.

  4. 已知實(shí)數(shù)a、b滿足，，則（    ）

    A. 5               B.             C. 5或              D. 5或

  5. 某商場(chǎng)于第一年初投入50萬(wàn)元進(jìn)行商品經(jīng)營(yíng)，以后每年年終將當(dāng)年年初投入資金相加所得的總資金作為下一年年初投入資金繼續(xù)進(jìn)行經(jīng)營(yíng)，如果第一年的年獲利率為P，則第一年年終的總資金可用代數(shù)式表示為（    ）萬(wàn)元

    A.                      B.

    C.                     D.

二. 填空

  6. 商店里有種型號(hào)的電視機(jī)，每臺(tái)售價(jià)1200元，可盈利20％，現(xiàn)有一客商以11500元總價(jià)購(gòu)買(mǎi)了若干臺(tái)這種型號(hào)的電視機(jī)，利潤(rùn)15％，若設(shè)客商買(mǎi)了x臺(tái)電視，則商店每臺(tái)電視機(jī)進(jìn)價(jià)為__________，由題列方程_______________，解得_______________。

  7. 某商場(chǎng)今年一月份銷(xiāo)售額100萬(wàn)元，二月份銷(xiāo)售額下降了10％，該商場(chǎng)采取措施，銷(xiāo)量大增，四月達(dá)129.6萬(wàn)元，則三、四月平均月銷(xiāo)售額增長(zhǎng)的百分率為_________。

  8. 若三個(gè)方程，，中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，則a___________

  9. 已知為的兩實(shí)數(shù)根，且，則m________

三. 解答題

  10. 已知①只有整數(shù)值，且②有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

    （1）當(dāng)k為整數(shù)時(shí)，求k

    （2）在（1）條件下，若，用關(guān)于m的代數(shù)式表示

  11. 制造一種產(chǎn)品，原來(lái)每件成本價(jià)500元，銷(xiāo)售價(jià)625元，經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，該產(chǎn)品銷(xiāo)售價(jià)第一個(gè)月將降低20％，第二個(gè)月將比第一個(gè)月提高6％，為使兩月后的原銷(xiāo)售利潤(rùn)不變，該產(chǎn)品成本價(jià)平均每月應(yīng)降低百分之幾？

【試題答案】

一. 選擇

  1. A            2. B               3. C               4. D               5. B

二. 填空

  6. ，，

  7. 20％

  8. 或

  9. m＝1或5

三. 解答題

  10. 解：（1）當(dāng)時(shí)，方程①可化為，，方程①可化為

    方程①的根是整數(shù)，所以k為整數(shù)的倒數(shù)

    k是整數(shù)，

    但當(dāng)時(shí)，不是一元二次方程

    舍去

    （2）當(dāng)時(shí)，方程②化為

    ∵方程②有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

    即，又

    當(dāng)時(shí)，

    當(dāng)時(shí)，方程②化為，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

    ，即

    ，當(dāng)時(shí)，方程②無(wú)實(shí)根

    當(dāng)時(shí)，

  11. 該產(chǎn)品的成本價(jià)應(yīng)降低百分之十