2010年3月8日 星期 一 
升華解題思路：品味“化歸”

　　化歸思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的一種思想方法。 “化歸”是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡稱，我們在處理和解決數(shù)學(xué)問題時,總的指導(dǎo)思想是把問題轉(zhuǎn)化為能夠解決的問題,這就是化歸思想。在解題中表現(xiàn)為:化難為易,避繁從簡,轉(zhuǎn)暗為明,化生為熟。

　　化歸思想無處不在,它是分析問題解決問題的有效途徑。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中運用這種化歸的思維方法解決問題的例子非常多。例如,在代數(shù)方程求解時大多采用“化歸”的思路,它是解決方程(組)問題的最基本的思想。即將復(fù)雜的方程(組)通過各種途徑轉(zhuǎn)化為簡單的方程(組),最后歸結(jié)為一元一次方程或一元二次方程。這種化歸過程可以概括為“高次方程低次化,無理方程有理化,分式方程整式化,多元方程組一元化”。這里化歸的主要途徑是降次和消元。雖然各類方程(組)具體的解法不盡相同,然而萬變不離其宗, 化歸是方程求解的金鑰匙。下面舉幾個實例：

　　例1．已知m2+m－1=0，那么代數(shù)式m3+2m2－2005的值是___。

　　【分析】可以運用化歸思想，化高次為低次來解決。

　　【解】由m2+m－1=0，得  m2=1－m, m2+m=1

　　∴m3+2m2－2005=m(1－m)+2m2－2005

　　=m－m2+2m2－2005

　　=m2+m－2005

　　=1－2005

　　=－2004

　　例2．若■=-■=■，則■=______。

　　【分析】消去未知數(shù)是解題的常見思路，常見的方法有代入消元和加減消元，本問題可采用“設(shè)k法”，表面上看似乎增加了未知數(shù)的個數(shù)，實際上找到了新的等量關(guān)系，如x=3k等，設(shè)參與消參的轉(zhuǎn)化達到了化多元為一元的目的，使問題順利求解。

　　【解】設(shè)■=-■=■=k , 則x=3k, y=－4k,z=7k ,代入原式，得

　　■=■=■=-3

　　例3．已知關(guān)于x的函數(shù)y=(m+6)x2+2(m-1)x+(m+1)的圖象與x軸總有交點，求m的取值范圍。

　　【分析】這是一個函數(shù)問題，可以根據(jù)函數(shù)與方程的聯(lián)系，把它轉(zhuǎn)化為：已知關(guān)于x的方程(m+6)x2+2(m-1)x+(m+1)=0總有實數(shù)根，求m的取值范圍。

　　【解】當(dāng)m+6=0即m=－6時，方程化為－14x=5它是一元一次方程，必有實數(shù)根，即函數(shù)的圖象與x軸有交點。

　　當(dāng)m+6≠0，即m≠－6時，方程為一元二次方程

　　∴△=4(m－1)2－4(m+6)(m+1)=4(－9m－5)≥0  ∴m≤-■

　　綜上，m的取值范圍是m≤-■

　　平面幾何的學(xué)習(xí)中亦是如此。例如,研究四邊形、多邊形問題時通過分割圖形,把四邊形、多邊形知識轉(zhuǎn)化為三角形知識來研究；解斜三角形的問題，通過作三角形一邊上的高，轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；我們熟悉的梯形問題,常通過作腰的平行線或作兩條高等常用輔助線,把梯形問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形與三角形問題。又如，圓中有關(guān)弦心距、半徑、弦長的計算亦能通過連結(jié)半徑或作弦心距把問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的求解。還有，解正多邊形的問題，通過添半徑和邊心距，轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題等等。下面也舉幾個實例：

　　例4．如圖，在四邊形ABCD中，已知AB:BC:CD:DA=2:2:3:1，且∠B=90°，求∠DAB的度數(shù)。

　　【分析】對于給出的不規(guī)則四邊形，沒有現(xiàn)成的公式、法則進行計算，故設(shè)法對圖形進行轉(zhuǎn)化，化不規(guī)則為規(guī)則。

　　作輔助線是進行幾何圖形轉(zhuǎn)化的常用手段，本題通過分析，連結(jié)AC，實現(xiàn)了化四邊形為三角形的解題思路。

　　【解】連結(jié)AC.

　　∵AB:BC=2:2 ，∠B=90°

　　∴∠BAC=∠BCA=45°，AC=■AB

　　設(shè)AB=2x,則AC=2■x,AD=x,CD=3x，

　　∴∠CAD=90°   ∴∠DAB=90°+45°=135°

  
  圖1                                                        圖2

  

　　在解綜合題時，由于有些條件比較隱蔽，或所給的條件比較分散，或是所求的結(jié)論比較復(fù)雜，這時我們就更需要熟練運用化歸的思想，把問題轉(zhuǎn)化為我們比較熟悉的問題，從而較快地找到解題思路。

　　例6．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點O'的坐標(biāo)為（2，0），⊙O'與x軸交于原點O和點A.又B、C、E三點的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（0，3）、（0，b），且0＜b＜3.

　　（1）求點A的坐標(biāo)和經(jīng)過B、C兩點的直線的解析式；

　　【分析】要考察直線BE與⊙O'有哪幾種位置關(guān)系，可先考察相切這種特殊位置，化一般為特殊，相切時直線與圓有可以運用的性質(zhì)定理，此時求得的b的值就是一個分界點。在分析的過程中，應(yīng)用本題的“靜態(tài)”——直線與圓相切，作出圖形，化動為靜是解題的關(guān)鍵。

　　【解】（1）由已知得：A（4，0）

　　由待定系數(shù)法，得：經(jīng)過B、C兩點的直線的解析式為y=3x+3

　　(2) 當(dāng)點E在線段OC上移動時，直線BE與⊙O'有三種位置關(guān)系:相離、相切、相交。

　　設(shè)當(dāng)點E運動到OC上某處時，恰使直線BE切⊙O'于點M，連結(jié)O'M。

　　∵BM是⊙O'的切線  ∴O'M⊥BM且O'M=2

　　在Rt⊿BO'M中，BO'=3，O'M=2  ∴BM=■=■

　　又■=■

　　∴OE=■

　　∴當(dāng)b=■時，直線BE與⊙O'相切；

　　當(dāng)■＜b＜3時，直線BE與⊙O'相離；

　　當(dāng)0＜b＜■時，直線BE與⊙O'相交。

　　“化歸”思想，貫穿在整個初中數(shù)學(xué)之中，我們在學(xué)習(xí)的過程中如能有意識地體會這種科學(xué)的思維方法，有利于我們在解決問題的過程中，思維通暢、方法得當(dāng)，從而達到事半功倍的效果。數(shù)學(xué)家雅諾夫思卡婭說：“解題——就是意味著把所要解的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的問題?！?

　　上海市第十中學(xué) 魯海燕