杏花春雨江南，杭州西湖游人如織．一列豪華的船隊(duì)出現(xiàn)在湖上，緩緩向湖心駛?cè)?，原?lái)是皇帝帶著大臣和嬪妃也來(lái)游湖了．

皇帝飽覽湖光山色之余，面對(duì)盈盈春水，忽然提出一個(gè)問(wèn)題：“這西湖的水，如果用缸來(lái)舀，有多少缸呢？”

皇帝身邊的人聽(tīng)了，個(gè)個(gè)面面相覷，半天答不上來(lái)．老宰相一向號(hào)稱智囊，這時(shí)只是皺眉搔頭；李妃平時(shí)伶牙俐齒，善于應(yīng)對(duì)，這時(shí)也變成啞巴．皇帝問(wèn)左邊的人，左邊的人惶恐地低頭；皇帝問(wèn)右邊的人，右邊的人也同樣木然． 正在尷尬萬(wàn)分的時(shí)候，船尾一位搖櫓的青年跑向船頭向皇帝跪下．

宰相喝問(wèn)：“你有何事奏報(bào)？”

青年說(shuō)：“啟奏萬(wàn)歲，這西湖有多少缸水，要看用來(lái)量水的缸有多大．如果用跟西湖一樣大的缸來(lái)量，就是一缸；如果用比西湖小一半的缸來(lái)量，就是兩缸；如果用比西湖大一倍的缸來(lái)量呢，那就只有半缸了．”

皇帝聽(tīng)了微微點(diǎn)頭說(shuō)：“答得好！”又瞟了一眼面前的大臣嬪妃，不勝感慨地說(shuō)：“想不到滿朝大臣、眾多嬪妃，連一個(gè)搖櫓青年都不如！”

細(xì)品上述故事，青年的確答的妙．妙就妙在一個(gè)眾人不易回答的問(wèn)題，青年能分情況巧妙答出．他這種思考問(wèn)題的方法，實(shí)際上就是數(shù)學(xué)中常說(shuō)的分類討論思想．

所謂分類討論思想，就是首先根據(jù)題目要求確定分類對(duì)象；其次針對(duì)對(duì)象選擇分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行合理分類；最后對(duì)分類合并歸納，作出綜合性結(jié)論．分類討論的思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，對(duì)培養(yǎng)思維的慎密性大有裨益．

等腰三角形是一種特殊的三角形，除具有一般三角形的性質(zhì)外，還具有一些獨(dú)特的性質(zhì)，如兩底角相等，兩腰相等．正是由于它的特殊性，我們?cè)诮獾妊切蔚挠嘘P(guān)題目時(shí)必須全面思考，分類討論，以防漏解．

一、已知等腰三角形的一個(gè)角，求其他兩個(gè)角

例1  (10楚雄)已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為70°，則另兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是(  )

A．55°，55°    B．70°，40°    C．55°，55°或70°，40°    D．以上都不對(duì)

分析：由于已知條件沒(méi)有明確告訴70°的角是頂角還是底角，因此需要分類討論．

解：當(dāng)70°的角為頂角時(shí)，則每個(gè)底角的度數(shù)為×(180°-70°)=55°；

當(dāng)70°的角為底角時(shí)，另一個(gè)底角也為70°，則其頂角的度數(shù)為180°-70°×2=40°．

所以另兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為55°，55°或70°，40°，答案選C．

評(píng)注：在等腰三角形中，如果給定一個(gè)角的度數(shù)，求另外兩角的度數(shù)，也就是說(shuō)，給定的角沒(méi)有明確是頂角還是底角，求解時(shí)，要按頂角或底角來(lái)進(jìn)行分類討論．可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)已知角為直角或鈍角時(shí)，該角只能為頂角，即只有一組解；當(dāng)已知角為60°時(shí)，無(wú)論它是頂角還是底角，其他兩個(gè)角都是60°．

二、已知等腰三角形的兩邊，求周長(zhǎng)

例2  (10襄樊)已知：一等腰三角形的兩邊長(zhǎng)x、y滿足方程組，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為(  )

A．5    B．4    C．3    D．5或4

分析：解方程組可得x=2，y=1，由于長(zhǎng)為2(或1)的邊可能是腰長(zhǎng)，也可能是底邊長(zhǎng)，因此需要分類討論．

解：解方程組，得．

所以等腰三角形的兩邊分別為2，1．

當(dāng)腰長(zhǎng)為2，底邊長(zhǎng)為1時(shí)，因?yàn)?/SPAN>1+2＞2，三邊能夠構(gòu)成三角形，則其周長(zhǎng)為2+2+1=5；

當(dāng)腰長(zhǎng)為1，底邊長(zhǎng)為2時(shí)，因?yàn)?/SPAN>1+1=2，三邊不能夠構(gòu)成三角形．

所以等腰三角形的周長(zhǎng)為5，答案選A．

評(píng)注：在等腰三角形中，如果給定兩邊的長(zhǎng)，并沒(méi)有明確哪條邊是腰長(zhǎng)或底邊長(zhǎng)，求解時(shí)，要按腰或底邊來(lái)進(jìn)行分類討論．需要注意的是：無(wú)論是通過(guò)哪一種假設(shè)得出的一組數(shù)值，都必須利用“三角形較短兩邊的和大于較長(zhǎng)的邊”來(lái)驗(yàn)證．

三、已知一條線段，確定符合條件的等腰三角形的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)

例3  (10荊門)如圖1，坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)A(2，-1)，O為原點(diǎn)，P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果以點(diǎn)P、O、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，那么符合條件的動(dòng)點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為(  )

                 圖1

A．2    B．3    C．4    D．5

分析：OA可能為底邊，也可能是腰，因此需要分類討論．

解：(1)當(dāng)OA為底邊時(shí)，作OA的垂直平分線l交x軸于點(diǎn)P₁，則△OP₁A是以點(diǎn)P₁為頂點(diǎn)的等腰三角形；

(2)當(dāng)OA為腰時(shí)，①以點(diǎn)O為圓心，以OA為半徑畫(huà)弧，交x軸于點(diǎn)P₂，則△P₂OA是以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的等腰三角形；②以點(diǎn)A為圓心，以OA為半徑畫(huà)弧，交x軸于點(diǎn)P₃(另一交點(diǎn)為O)，則△P₃AO是以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的等腰三角形．

所以符合條件的動(dòng)點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有三個(gè)，答案選B．

評(píng)注：從本例不難發(fā)現(xiàn)已知一條線段求符合條件的等腰三角形的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)的方法：作已知線段的垂直平分線或以已知線段的一個(gè)端點(diǎn)為圓心，已知線段長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，垂直平分線或弧與相關(guān)直線的交點(diǎn)即為符合條件的等腰三角形的頂點(diǎn)．

四、已知一個(gè)等腰三角形，確定從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的直線將其分割成兩個(gè)等腰三角形的頂角或底角的度數(shù)

例4  (10天門)從一個(gè)等腰三角形紙片的底角頂點(diǎn)出發(fā)，能將其剪成兩個(gè)等腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片的底角等于＿＿＿＿．

分析：如圖2，在△ABC中，AB=AC，過(guò)底角頂點(diǎn)B的直線將△ABC分成兩個(gè)等腰三角形△ABD和△BCD．其中在等腰三角形△ABD中，必有AD=BD(為什么？)，從而等腰三角形△ABD的形狀確定．而在等腰三角形△BCD中，只有兩種可能情況：BD=BC或BC=CD(為什么沒(méi)有BD=CD？)．因此解答本題需要分類討論．

      圖2

解：在△ABC中，AB=AC，過(guò)底角頂點(diǎn)B的直線將△ABC分成兩個(gè)等腰三角形△ABD和△BCD．

(1)若AD=BD，BD=BC，如圖3，

    圖3

則∠A=∠ABD，∠C=∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A．

∴∠A+2∠A+2∠A=180°．

∴∠A=36°．∴∠ABC=72°．

(2)若AD=BD，BC=CD，如圖4，

    圖4

則∠A=∠ABD，∠CBD=∠CDB=∠A+∠ABD=2∠A．

∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=3∠A．

∴∠A+3∠A+3∠A=180°．

∴∠A=()°．∴∠ABC=()°．

綜合(1)、(2)，原等腰三角形紙片的底角等于72°或()°．

反思：上述中考題是從一個(gè)等腰三角形紙片的底角頂點(diǎn)出發(fā)，如果從一個(gè)等腰三角形紙片的頂角頂點(diǎn)出發(fā)，情況又如何呢？請(qǐng)同學(xué)們思考．

快樂(lè)體驗(yàn)：

1．(10泰州)等腰△ABC的兩邊長(zhǎng)為2和5，則第三邊長(zhǎng)為＿＿＿．

2．(10東陽(yáng))已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為40°，則這個(gè)等腰三角形的頂角為(  )

A．40°    B．100°    C．40°或100°    D．70°或50°

3．(10株洲)如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知A、B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是(  )

A．6      B．7       C．8       D．9

4．(10內(nèi)江)下面的方格圖案中的正方形頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，圖1中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形有4個(gè)，圖2中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形有＿＿＿個(gè)，圖3中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形有＿＿＿個(gè)，圖4中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形有＿＿＿個(gè).

參考答案：

1．5  2．C  3．C　4．10，28，50