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前言：

    本來(lái)上一章的結(jié)尾提到，準(zhǔn)備寫寫線性分類的問(wèn)題，文章都已經(jīng)寫得差不多了，但是突然聽(tīng)說(shuō)最近Team準(zhǔn)備做一套分布式的分類器，可能會(huì)使用Random Forest來(lái)做，下了幾篇論文看了看，簡(jiǎn)單的random forest還比較容易弄懂，復(fù)雜一點(diǎn)的還會(huì)與boosting等算法結(jié)合（參見(jiàn)iccv09），對(duì)于boosting也不甚了解，所以臨時(shí)抱佛腳的看了看。說(shuō)起boosting，強(qiáng)哥之前實(shí)現(xiàn)過(guò)一套Gradient Boosting Decision Tree（GBDT)算法，正好參考一下。

    最近看的一些論文中發(fā)現(xiàn)了模型組合的好處，比如GBDT或者rf，都是將簡(jiǎn)單的模型組合起來(lái)，效果比單個(gè)更復(fù)雜的模型好。組合的方式很多，隨機(jī)化（比如random forest），Boosting（比如GBDT）都是其中典型的方法，今天主要談?wù)凣radient Boosting方法（這個(gè)與傳統(tǒng)的Boosting還有一些不同）的一些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，有了這個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，上面的應(yīng)用可以看Freidman的Gradient Boosting Machine。

    本文要求讀者學(xué)過(guò)基本的大學(xué)數(shù)學(xué)，另外對(duì)分類、回歸等基本的機(jī)器學(xué)習(xí)概念了解。

    本文主要參考資料是prml與Gradient Boosting Machine。

Boosting方法：

    Boosting這其實(shí)思想相當(dāng)?shù)暮?jiǎn)單，大概是，對(duì)一份數(shù)據(jù)，建立M個(gè)模型（比如分類），一般這種模型比較簡(jiǎn)單，稱為弱分類器(weak learner)每次分類都將上一次分錯(cuò)的數(shù)據(jù)權(quán)重提高一點(diǎn)再進(jìn)行分類，這樣最終得到的分類器在測(cè)試數(shù)據(jù)與訓(xùn)練數(shù)據(jù)上都可以得到比較好的成績(jī)。

    上圖（圖片來(lái)自prml p660）就是一個(gè)Boosting的過(guò)程，綠色的線表示目前取得的模型（模型是由前m次得到的模型合并得到的），虛線表示當(dāng)前這次模型。每次分類的時(shí)候，會(huì)更關(guān)注分錯(cuò)的數(shù)據(jù)，上圖中，紅色和藍(lán)色的點(diǎn)就是數(shù)據(jù)，點(diǎn)越大表示權(quán)重越高，看看右下角的圖片，當(dāng)m=150的時(shí)候，獲取的模型已經(jīng)幾乎能夠?qū)⒓t色和藍(lán)色的點(diǎn)區(qū)分開了。

    Boosting可以用下面的公式來(lái)表示：

    訓(xùn)練集中一共有n個(gè)點(diǎn)，我們可以為里面的每一個(gè)點(diǎn)賦上一個(gè)權(quán)重Wi(0 <= i < n)，表示這個(gè)點(diǎn)的重要程度，通過(guò)依次訓(xùn)練模型的過(guò)程，我們對(duì)點(diǎn)的權(quán)重進(jìn)行修正，如果分類正確了，權(quán)重降低，如果分類錯(cuò)了，則權(quán)重提高，初始的時(shí)候，權(quán)重都是一樣的。上圖中綠色的線就是表示依次訓(xùn)練模型，可以想象得到，程序越往后執(zhí)行，訓(xùn)練出的模型就越會(huì)在意那些容易分錯(cuò)（權(quán)重高）的點(diǎn)。當(dāng)全部的程序執(zhí)行完后，會(huì)得到M個(gè)模型，分別對(duì)應(yīng)上圖的y1(x)…yM(x)，通過(guò)加權(quán)的方式組合成一個(gè)最終的模型YM(x)。

    我覺(jué)得Boosting更像是一個(gè)人學(xué)習(xí)的過(guò)程，開始學(xué)一樣?xùn)|西的時(shí)候，會(huì)去做一些習(xí)題，但是常常連一些簡(jiǎn)單的題目都會(huì)弄錯(cuò)，但是越到后面，簡(jiǎn)單的題目已經(jīng)難不倒他了，就會(huì)去做更復(fù)雜的題目，等到他做了很多的題目后，不管是難題還是簡(jiǎn)單的題都可以解決掉了。

Gradient Boosting方法：

    其實(shí)Boosting更像是一種思想，Gradient Boosting是一種Boosting的方法，它主要的思想是，每一次建立模型是在之前建立模型損失函數(shù)的梯度下降方向。這句話有一點(diǎn)拗口，損失函數(shù)(loss function)描述的是模型的不靠譜程度，損失函數(shù)越大，則說(shuō)明模型越容易出錯(cuò)（其實(shí)這里有一個(gè)方差、偏差均衡的問(wèn)題，但是這里就假設(shè)損失函數(shù)越大，模型越容易出錯(cuò)）。如果我們的模型能夠讓損失函數(shù)持續(xù)的下降，則說(shuō)明我們的模型在不停的改進(jìn)，而最好的方式就是讓損失函數(shù)在其梯度（Gradient)的方向上下降。

    下面的內(nèi)容就是用數(shù)學(xué)的方式來(lái)描述Gradient Boosting，數(shù)學(xué)上不算太復(fù)雜，只要潛下心來(lái)看就能看懂：）

    可加的參數(shù)的梯度表示：

    假設(shè)我們的模型能夠用下面的函數(shù)來(lái)表示，P表示參數(shù)，可能有多個(gè)參數(shù)組成，P = {p0,p1,p2….}，F(xiàn)(x;P)表示以P為參數(shù)的x的函數(shù)，也就是我們的預(yù)測(cè)函數(shù)。我們的模型是由多個(gè)模型加起來(lái)的，β表示每個(gè)模型的權(quán)重，α表示模型里面的參數(shù)。為了優(yōu)化F，我們就可以優(yōu)化{β,α}也就是P。

    我們還是用P來(lái)表示模型的參數(shù)，可以得到，Φ(P)表示P的likelihood函數(shù)，也就是模型F(x;P)的loss函數(shù)，Φ(P)=…后面的一塊看起來(lái)很復(fù)雜，只要理解成是一個(gè)損失函數(shù)就行了，不要被嚇跑了。

   既然模型(F(x;P))是可加的，對(duì)于參數(shù)P，我們也可以得到下面的式子：   這樣優(yōu)化P的過(guò)程，就可以是一個(gè)梯度下降的過(guò)程了，假設(shè)當(dāng)前已經(jīng)得到了m-1個(gè)模型，想要得到第m個(gè)模型的時(shí)候，我們首先對(duì)前m-1個(gè)模型求梯度。得到最快下降的方向，gm就是最快下降的方向。

    這里有一個(gè)很重要的假設(shè)，對(duì)于求出的前m-1個(gè)模型，我們認(rèn)為是已知的了，不要去改變它，而我們的目標(biāo)是放在之后的模型建立上。就像做事情的時(shí)候，之前做錯(cuò)的事就沒(méi)有后悔藥吃了，只有努力在之后的事情上別犯錯(cuò)：

    我們得到的新的模型就是，它就在P似然函數(shù)的梯度方向。ρ是在梯度方向上下降的距離。

    我們最終可以通過(guò)優(yōu)化下面的式子來(lái)得到最優(yōu)的ρ：

    可加的函數(shù)的梯度表示：

    上面通過(guò)參數(shù)P的可加性，得到了參數(shù)P的似然函數(shù)的梯度下降的方法。我們可以將參數(shù)P的可加性推廣到函數(shù)空間，我們可以得到下面的函數(shù)，此處的fi(x)類似于上面的h(x;α)，因?yàn)樽髡叩奈墨I(xiàn)中這樣使用，我這里就用作者的表達(dá)方法：

    同樣，我們可以得到函數(shù)F(x)的梯度下降方向g(x)

    最終可以得到第m個(gè)模型fm(x)的表達(dá)式:

    通用的Gradient Descent Boosting的框架：

   下面我將推導(dǎo)一下Gradient Descent方法的通用形式，之前討論過(guò)的：

    對(duì)于模型的參數(shù){β,α}，我們可以用下面的式子來(lái)進(jìn)行表示，這個(gè)式子的意思是，對(duì)于N個(gè)樣本點(diǎn)(xi,yi)計(jì)算其在模型F(x;α,β)下的損失函數(shù)，最優(yōu)的{α,β}就是能夠使得這個(gè)損失函數(shù)最小的{α,β}。 表示兩個(gè)m維的參數(shù)：

    寫成梯度下降的方式就是下面的形式，也就是我們將要得到的模型fm(x)的參數(shù){αm,βm}能夠使得fm的方向是之前得到的模型Fm-1(x)的損失函數(shù)下降最快的方向：

    對(duì)于每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)xi都可以得到一個(gè)gm(xi)，最終我們可以得到一個(gè)完整梯度下降方向

    為了使得fm(x)能夠在gm(x)的方向上，我們可以優(yōu)化下面的式子得到，可以使用最小二乘法：

    得到了α的基礎(chǔ)上，然后可以得到βm。       最終合并到模型中：

    算法的流程圖如下

     之后，作者還說(shuō)了這個(gè)算法在其他的地方的推廣，其中，Multi-class logistic regression and classification就是GBDT的一種實(shí)現(xiàn)，可以看看，流程圖跟上面的算法類似的。這里不打算繼續(xù)寫下去，再寫下去就成論文翻譯了，請(qǐng)參考文章：Greedy function Approximation – A Gradient Boosting Machine，作者Freidman。

總結(jié)：

    本文主要談了談Boosting與Gradient Boosting的方法，Boosting主要是一種思想，表示“知錯(cuò)就改”。而Gradient Boosting是在這個(gè)思想下的一種函數(shù)（也可以說(shuō)是模型）的優(yōu)化的方法，首先將函數(shù)分解為可加的形式（其實(shí)所有的函數(shù)都是可加的，只是是否好放在這個(gè)框架中，以及最終的效果如何）。然后進(jìn)行m次迭代，通過(guò)使得損失函數(shù)在梯度方向上減少，最終得到一個(gè)優(yōu)秀的模型。值得一提的是，每次模型在梯度方向上的減少的部分，可以認(rèn)為是一個(gè)“小”的或者“弱”的模型，最終我們會(huì)通過(guò)加權(quán)(也就是每次在梯度方向上下降的距離）的方式將這些“弱”的模型合并起來(lái)，形成一個(gè)更好的模型。

    有了這個(gè)Gradient Descent這個(gè)基礎(chǔ)，還可以做很多的事情。也在機(jī)器學(xué)習(xí)的道路上更進(jìn)一步了：）