一. 教學(xué)內(nèi)容：

勻速圓周運(yùn)動(dòng)的實(shí)例分析

二. 具體知識(shí)：

知識(shí)點(diǎn)1 火車、汽車、飛機(jī)等的轉(zhuǎn)彎

  1. 火車轉(zhuǎn)彎

（1）火車車輪的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

火車的車輪有凸出的輪緣，且火車在軌道上運(yùn)行時(shí)，有凸出輪緣的一邊在兩軌道內(nèi)側(cè)，這種結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，主要是有助于固定火車運(yùn)動(dòng)的軌跡（如圖所示）。

（2）如果轉(zhuǎn)彎處內(nèi)外軌一樣高，外側(cè)車輪的輪緣擠壓外軌，使外軌發(fā)生彈性形變，外軌對(duì)輪緣的彈力就是火車轉(zhuǎn)彎的向心力，如圖所示，但火車質(zhì)量太大，單靠這種辦法得到向心力，輪緣與外軌間的相互作用力太大，鐵軌和車輪極易受損。

（3）如果在轉(zhuǎn)彎處使外軌略高于內(nèi)軌，火車轉(zhuǎn)彎時(shí)鐵軌對(duì)火車的支持力的方向不再是豎直的，而是斜向彎道的內(nèi)側(cè)，它與重力G的合力指向圓心，為火車轉(zhuǎn)彎提供了一部分向心力，這就減輕了輪緣與外軌的擠壓，在修筑鐵路時(shí)，要根據(jù)彎道的半徑和規(guī)定的行駛速度，適當(dāng)選擇內(nèi)外軌的高度差，使轉(zhuǎn)彎時(shí)所需的向心力幾乎完全由重力G和支持力的合力來提供（如圖所示）。

設(shè)內(nèi)外軌間的距離為L，內(nèi)外軌的高度差為h，火車轉(zhuǎn)彎的半徑為R，火車轉(zhuǎn)彎的規(guī)定速度為，由圖得向心力為

，

由牛頓第二定律得，所以。

即火車轉(zhuǎn)彎的規(guī)定速度。

（4）對(duì)火車轉(zhuǎn)彎時(shí)速度與向心力的討論

a. 當(dāng)火車以規(guī)定速度轉(zhuǎn)彎時(shí)，等于向心力，這時(shí)輪緣與內(nèi)、外軌均無側(cè)壓力。

b. 當(dāng)火車轉(zhuǎn)彎速度時(shí)，小于向心力，外軌向內(nèi)擠壓輪緣，提供側(cè)壓力，與共同充當(dāng)向心力。

c. 當(dāng)火車轉(zhuǎn)彎速度時(shí)，大于向心力，內(nèi)軌向外擠壓輪緣，產(chǎn)生的側(cè)壓力與共同充當(dāng)向心力。

  2. 汽車轉(zhuǎn)彎

在水平公路上行駛的汽車，轉(zhuǎn)彎時(shí)所需的向心力，是由車輪與路面間的靜摩擦力提供的，即，因?yàn)殪o摩擦力最大不能超過最大靜摩擦力，故要求車子轉(zhuǎn)彎時(shí)，車速不能太大和轉(zhuǎn)彎半徑不能太小。

思考：在高速公路的轉(zhuǎn)彎處，路面造得外高內(nèi)低是什么原因？

  3. 飛機(jī)轉(zhuǎn)彎

飛機(jī)在空中轉(zhuǎn)彎時(shí)，其機(jī)翼是傾斜的，飛機(jī)受到豎直向下的重力和垂直于機(jī)翼的升力作用，其合力提供轉(zhuǎn)彎所需要的向心力。當(dāng)轉(zhuǎn)彎速度較大時(shí)，飛機(jī)的機(jī)翼傾斜角度增大，從而使重力與升力的合力增大，當(dāng)轉(zhuǎn)彎速度較小時(shí)，飛機(jī)的機(jī)翼傾斜角度減小，從而使重力與升力的合力減小。

知識(shí)點(diǎn)2  拱形橋

  1. 汽車過拱形橋時(shí)，車對(duì)橋的壓力小于其重力

汽車在橋上運(yùn)動(dòng)經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)，汽車所受重力G及橋?qū)ζ渲С至?/SPAN>的合力提供向心力，如圖所示。

，

所以。

汽車對(duì)橋的壓力與橋?qū)ζ嚨闹С至κ且粚?duì)作用力與反作用力，故汽車對(duì)橋的壓力小于其重力。

思考：汽車的速度不斷增大時(shí)，會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象？

由上面表達(dá)式可以看出，v越大，越小。當(dāng)時(shí)，由G可得，若速度大于時(shí)，汽車所需的向心力會(huì)大于重力，這時(shí)汽車將“飛”離橋面，我們看摩托車越野賽時(shí)，常有摩托車飛起來的現(xiàn)象，就是這個(gè)原因。

  2. 汽車過凹形橋時(shí)，車對(duì)橋的壓力大于其重力

如圖所示，汽車經(jīng)過凹形橋最低點(diǎn)時(shí)，受豎直向下的重力和豎直向上的支持力，其合力充當(dāng)向心力，則有，所以。

由牛頓第三定律知，車對(duì)橋的壓力，大于車的重力，而且還可以看出，v越大，車對(duì)橋的壓力越大。

思考：汽車不在拱形橋的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)時(shí)，如圖所示，它的運(yùn)動(dòng)能用上面的方法求解嗎？

分析：可以用上面的方法求解，但要注意向心力的來源發(fā)生了變化，如圖所示，重力沿半徑方向的分力和垂直橋面的支持力的合力提供的向心力，設(shè)此時(shí)汽車與圓心的連線和豎直方向的夾角為，則有

，

所以。

橋面支持力與夾角、車速v都有關(guān)。

  3. 航天器中的失重現(xiàn)象

飛船環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)飛船距地面高度為一二百千米時(shí)，它的軌道半徑近似等于地球半徑R，航天員受到的地球引力近似等于他在地面測(cè)得的體重mg，除了地球引力外，航天員還可能受到飛船座艙對(duì)他的支持力，引力與支持力的合力為他提供了繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，即，也就是。

由此可以解出，當(dāng)時(shí)，座艙對(duì)航天員的支持力，航天員處于失重狀態(tài)。

思考：地球可以看作一個(gè)巨大的拱形橋，橋面的半徑就是地球的半徑R（約為6400km）。地面上有一輛汽車，重量是，地面對(duì)它的支持力是，汽車沿南北方向行駛，不斷加速，如圖所示，會(huì)不會(huì)出現(xiàn)這樣的情況：速度大到一定程度時(shí)，地面對(duì)車的支持力是零？這時(shí)駕駛員與坐椅之間的壓力是多少？駕駛員軀體各部分之間的壓力是多少？他這時(shí)可能有什么感覺？

其實(shí)，這和飛船的情況相似，當(dāng)汽車的速度達(dá)到時(shí)（代數(shù)計(jì)算可得），地面對(duì)車的支持力是零，這時(shí)汽車已經(jīng)飛起來了，此時(shí)駕駛員與坐椅間無壓力，駕駛員、車都處于完全失重狀態(tài)，駕駛員軀體各部分之間沒有壓力，他會(huì)感到全身都飄起來了。

知識(shí)點(diǎn)3 離心運(yùn)動(dòng)

做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，在所受合力突然消失或者不足以提供圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力情況下，就做逐漸遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)叫做離心運(yùn)動(dòng)。

  1. 離心現(xiàn)象是物體慣性的表現(xiàn)（如圖所示）

（1）向心力的作用效果是改變物體的運(yùn)動(dòng)方向，如果物體所受到的合外力恰好等于物體所需的向心力，物體就做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，。

（2）如果向心力突然消失（例如小球轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)繩子突然斷裂），則物體的速度方向不再變化，由于慣性，物體將沿此時(shí)的速度方向（即切線方向），按此時(shí)的速度大小飛出，這時(shí)。

（3）如果合外力小于物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，雖然物體的速度方向還要變化，但速度方向變化較慢，因此物體偏離原來的圓周做離心運(yùn)動(dòng)，其軌跡為圓周和切線間的某條線，如圖所示，這時(shí)，。

  2. 離心運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用和危害

（1）利用離心運(yùn)動(dòng)制成離心機(jī)械，例如離心干燥器、洗衣機(jī)的脫水筒和離心轉(zhuǎn)速計(jì)等等。

（2）在水平公路上行駛的汽車，轉(zhuǎn)彎時(shí)所需的向心力是由車輪與路面間的靜摩擦力提供的，如果轉(zhuǎn)彎時(shí)速度過大，所需向心力F很大，大于最大靜摩擦力，汽車將做離心運(yùn)動(dòng)而易造成交通事故，如圖所示，因此，在轉(zhuǎn)彎處，為防止離心運(yùn)動(dòng)造成傷害：一是限定車輛的轉(zhuǎn)彎速度；二是把路面筑成外高內(nèi)低的斜坡以增大向心力。

三. 重點(diǎn)分析

（一）豎直平面內(nèi)物體做圓周運(yùn)動(dòng)

  1. 繩球模型

如圖所示，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)過最高點(diǎn)情況，軟繩（或軌道）對(duì)小球只能產(chǎn)生拉力（或壓力）的作用，小球在最高點(diǎn)時(shí)

（1）當(dāng)，即時(shí)，為小球恰好過最高點(diǎn)的臨界速度。

（2）當(dāng)，即時(shí)，繩（或軌道）對(duì)小球產(chǎn)生拉力（或壓力），小球能過最高點(diǎn)。

（3）當(dāng)，即時(shí)，小球不能通過最高點(diǎn)，實(shí)際上小球還沒有到達(dá)最高點(diǎn)就已經(jīng)脫離了圓周軌道。

  2. 桿球模型

如圖所示，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)過最高點(diǎn)情況，輕桿和細(xì)線不同，輕桿對(duì)小球既能產(chǎn)生拉力，又能產(chǎn)生推力。

（1）當(dāng)時(shí)，桿對(duì)球的支持力，此為過最高點(diǎn)的臨界條件。

（2）當(dāng)時(shí)，，。

（3）當(dāng)時(shí)，為支持力，v增大，則減小。

（4）當(dāng)時(shí)，N為指向圓心的拉力，v增大，則增大。

（二）關(guān)于圓周運(yùn)動(dòng)實(shí)例的受力分析

我們所接觸的圓周運(yùn)動(dòng)分為兩類：一是水平面上的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，除火車轉(zhuǎn)彎外，還有很多情形，如圖所示，這類問題需從兩個(gè)不同方向列式，即豎直方向上的平衡式及水平方向上的牛頓第二定律表達(dá)式（即向心力的表示式）。

另一類是豎直平面內(nèi)的非勻速圓周運(yùn)動(dòng)，但我們只研究物體運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)，這兩個(gè)狀態(tài)可以用前面所學(xué)過的物理規(guī)律列式求解，豎直軌道也分不同情形，除講過的凸、凹形軌道外，還有如圖所示的管形軌道等，球在A點(diǎn)的受力較為復(fù)雜，內(nèi)、外壁對(duì)球的作用力如何，決定于球的運(yùn)動(dòng)速度。

【典型例題】

  例1 鐵路轉(zhuǎn)彎處的圓弧半徑是，軌距是1435mm，規(guī)定火車通過這里的速度是，內(nèi)外軌的高度差應(yīng)該是多少，才能使外軌不受輪緣擠壓。

解析：火車轉(zhuǎn)彎速度與兩軌高度的關(guān)系

如圖（1）所示，設(shè)兩軌間距為L，兩軌高度差為h，則，向心力。

（1）

由于角很小，則，

故，再考慮，所以車速，由此可知，火車轉(zhuǎn)彎時(shí)，為保證安全，轉(zhuǎn)彎速度的大小應(yīng)保持恒定，若車速過大，則外軌受沖擊；若車速過小，則內(nèi)軌受擠壓。

本題考查利用圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，若火車在轉(zhuǎn)彎時(shí)不受軌道擠壓，火車所受的重力和軌道對(duì)火車的支持力的合力提供向心力，同時(shí)還應(yīng)該注意火車轉(zhuǎn)彎平面是水平面。

受力分析如圖（2）所示，作平行四邊形，根據(jù)牛頓第二定律有

（2）

由于很小，可以近似認(rèn)為。

所以內(nèi)外軌高度差

。

答案：

點(diǎn)撥：火車在轉(zhuǎn)彎時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)，需要一定的向心力，向心力是由誰(shuí)提供呢？

（1）彎道兩軌在同一水平面上時(shí)，向心力由內(nèi)、外軌道輪緣的擠壓力的合力提供。

（2）當(dāng)外軌高于內(nèi)軌時(shí)，向心力由火車的重力和鐵軌的支持力以及內(nèi)外軌對(duì)輪緣的擠壓力的合力提供，這還與火車的速度大小有關(guān)。

  例2  2002年12月30日，我國(guó)成功發(fā)射并回收了“神舟”四號(hào)宇宙飛船，2003年10月15日成功發(fā)射了載人飛船，飛船中的宇航員需要在航天之前進(jìn)行多種訓(xùn)練，其中圖中是離心實(shí)驗(yàn)器的原理圖，可以用此實(shí)驗(yàn)研究過荷對(duì)人體的影響，測(cè)定人體的抗荷能力，離心實(shí)驗(yàn)器轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，被測(cè)者做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)觀察到圖中的直線AB（線AB與艙底垂直）與水平桿成角，則被測(cè)者對(duì)座位的壓力是他所受重力的多少倍？

解析：人受重力和彈力的作用，兩個(gè)力的合力提供向心力，受力分析如圖所示。

在豎直方向

①

在水平方向

由①式解得

。

由牛頓第三定律知，人對(duì)座位的壓力是其重力的2倍。

答案：2倍。

  例3 如圖（1）甲所示，在光滑的圓錐頂用長(zhǎng)為L的細(xì)線懸掛一質(zhì)量為m的小球，圓錐體固定在水平面上不動(dòng)，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角為，物體以速率v繞圓錐體軸線做水平圓周運(yùn)動(dòng)，求：

（1）

（1）當(dāng)時(shí)，求線對(duì)物體的拉力；

（2）當(dāng)時(shí)，求線對(duì)物體的拉力。

解析：臨界條件為圓錐體對(duì)小球的支持力

如圖（1）乙所示，由牛頓第二定律可列出方程

。

解得。

（1）因，，對(duì)小球進(jìn)行受力分析如圖（1）丙所示。

；

。

解得。

（2）因，物體離開斜面，對(duì)小球受力分析如圖（2）所示

；

。

解得。

答案：（1）   （2）

  例4 如圖所示，細(xì)繩一端系著質(zhì)量的物體，靜止于水平面，另一端通過光滑小孔吊著質(zhì)量的物體，M的中點(diǎn)與圓孔距離為0.2m，并知M和水平面的最大靜摩擦力為2N，現(xiàn)使此平面繞中心軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，問角速度在什么范圍內(nèi)m會(huì)處于靜止?fàn)顟B(tài)？（）

解析：要使m靜止，M應(yīng)與水平面相對(duì)靜止，考慮M能與水平面相對(duì)靜止的兩個(gè)極端狀態(tài)；

當(dāng)為所求范圍的最小值時(shí)，M有向圓心運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，水平面對(duì)M的靜摩擦力方向背離圓心，大于等于最大靜摩擦力2N，此時(shí)對(duì)M有

，且。

解得。

當(dāng)為所求范圍的最大值時(shí)，M有遠(yuǎn)離圓心運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，水平面對(duì)M的靜摩擦力方向指向圓心，且大小也為2N，此時(shí)

，且。

解得。

答案：

方法點(diǎn)撥：分析兩個(gè)極端（臨界）狀態(tài)來確定變化范圍，是求解“范圍類”題目的基本思路和方法。

【模擬試題】

  1. 一汽車通過拱形橋頂點(diǎn)時(shí)速度為，車對(duì)橋頂?shù)膲毫檐囍氐?/SPAN>，如果要使汽車在橋頂對(duì)橋面沒有壓力，車速至少為

       A.                    B.                    C.                   D.

  2. 如圖所示，長(zhǎng)為L的懸線固定在O點(diǎn)，在O點(diǎn)正下方處有一釘子C，把懸線另一端的小球m拉到跟懸點(diǎn)在同一水平面上無初速度釋放，小球到懸點(diǎn)正下方時(shí)懸線碰到釘子，則小球的

       A. 線速度突然增大

B. 角速度突然增大

C. 向心加速度突然增大

D. 懸線拉力突然增大

  3. 如圖所示，質(zhì)量不計(jì)的輕質(zhì)彈性桿P插入桌面上的小孔中，桿的另一端套有一個(gè)質(zhì)量的m的小球，今使小球在水平面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且角速度為，則桿的上端受到球?qū)ζ渥饔昧Φ拇笮?/SPAN>

       A.                    B.        C.       D. 不能確定

  4. 如圖是用來說明向心力、質(zhì)量、半徑之間關(guān)系的儀器，球P和Q可以在光滑桿上無摩擦滑動(dòng)，兩球之間用一條輕繩連接，已知，當(dāng)整個(gè)裝置以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩球離轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離不變，則此時(shí)

       A. 兩球受的向心力大小相等

B. P球受的向心力比Q的大

C. 一定是的兩倍

D. 當(dāng)增大時(shí)，P球?qū)⑾蛲膺\(yùn)動(dòng)

  5. （2007·江蘇模擬）如圖所示，水平轉(zhuǎn)臺(tái)上放著A、B、C三物，質(zhì)量分別為、m、m，離轉(zhuǎn)軸距離分別為R、R、2R，與轉(zhuǎn)臺(tái)摩擦因數(shù)相同，轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)時(shí)，下列說法中正確的是

①物均未滑動(dòng)，C物向心加速度最大

②物均未滑動(dòng)，B物受摩擦力最大

③增加轉(zhuǎn)速，A物比B物先滑動(dòng)

④增加轉(zhuǎn)速，C物先滑動(dòng)

       A. ①②                       B. ②③                       C. ①④                       D. ②④

  6. 汽車在傾斜的彎道上拐彎，如圖所示，彎道的傾角為，半徑為r，則汽車完全不靠摩擦力轉(zhuǎn)彎速率是

       A.                 B.                C.                D.

  7. 飛行員的質(zhì)量為m，他駕駛飛機(jī)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)飛機(jī)飛到最高點(diǎn)時(shí)速度為v，飛行員對(duì)機(jī)座的壓力恰好為零，若飛機(jī)飛到最低點(diǎn)時(shí)速度為v′，求飛行員對(duì)機(jī)座的壓力是多少？

  8. 有一內(nèi)壁光滑的試管裝有質(zhì)量為1g的小球，試管的開端封閉后安裝在水平軸O上，如圖所示，轉(zhuǎn)動(dòng)軸到管底小球的距離為5cm，讓試管在豎直面內(nèi)做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。求：

（1）轉(zhuǎn)動(dòng)軸達(dá)某一角速度時(shí)，試管底部受到小球的壓力的最大值為最小值的3倍，此時(shí)角速度多大？

（2）當(dāng)角速度時(shí)，管底對(duì)小球的作用力的最大值和最小值各是多少？（g取）

  9. 如圖所示，長(zhǎng)為L的繩子，下端連著質(zhì)量為m的小球，上端懸于天花板上，當(dāng)把繩子拉直時(shí)，繩子與豎直方向的夾角為，此時(shí)小球靜止于光滑的水平桌面上，則

       （1）當(dāng)球以角速度為做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩子的張力為多大？桌面受到的壓力為多大？

（2）當(dāng)球以角速度為做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩子的張力及桌面受到的壓力又各為多大？

  10. 長(zhǎng)為L的細(xì)線，拴一質(zhì)量為m的小球，一端固定于O點(diǎn)，讓其在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（這種運(yùn)動(dòng)通常稱為圓錐擺運(yùn)動(dòng)），如圖所示，當(dāng)擺線L與豎直方向的夾角是時(shí)，求：

（1）線的拉力F；

（2）小球運(yùn)動(dòng)的線速度的大?。?/SPAN>

（3）小球運(yùn)動(dòng)的角速度及周期。

  11. 如圖所示，一根長(zhǎng)0.1m的細(xì)線，一端系著一個(gè)質(zhì)量是0.18kg的小球，拉住線的另一端，使球在光滑的水平桌面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球的轉(zhuǎn)速增加到原轉(zhuǎn)速的3倍時(shí)，細(xì)線斷裂，這時(shí)測(cè)得線的拉力比原來大40N。求：

（1）線斷裂的瞬間，線的拉力；

（2）這時(shí)小球運(yùn)動(dòng)的線速度；

（3）如果桌面高出地面0.8m，線斷后小球飛出去落在離桌面的水平距離為多少的地方？0

【試題答案】

  1. B     2. BCD           3. C        4. AC             5. C        6. C

  7.

  8. （1）            （2）        0N

  9. （1），  （2），。

  10. （1）（2）（3），

  11. （1）45N    （2）   （3）2m