一元一次方程應(yīng)用題是初一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是一個難點(diǎn)。主要困難體現(xiàn)在兩個方面：一是難以從實(shí)際問題中找出相等關(guān)系，列出相應(yīng)的方程；二是對數(shù)量關(guān)系稍復(fù)雜的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知數(shù)的式子來表示出這些基本量的相等關(guān)系，導(dǎo)致解題時無從下手。

事實(shí)上，方程就是一個含未知數(shù)的等式。列方程解應(yīng)用題，就是要將實(shí)際問題中的一些數(shù)量關(guān)系用這種含有未知數(shù)的等式的形式表示出來。而在這種等式中的每個式子又都有自身的實(shí)際意義，它們分別表示題設(shè)中某一相應(yīng)過程的數(shù)量大小或數(shù)量關(guān)系。由此，解方程應(yīng)用題的關(guān)鍵就是要“抓住基本量，找出相等關(guān)系”。

下面就一元一次方程中常見的幾類應(yīng)用題作逐一講評，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考。

1.行程問題

行程問題中有三個基本量：路程、時間、速度。關(guān)系式為：①路程=速度×?xí)r間；②速度=；③時間=。

可尋找的相等關(guān)系有：路程關(guān)系、時間關(guān)系、速度關(guān)系。在不同的問題中，相等關(guān)系是靈活多變的。如相遇問題中多以路程作相等關(guān)系，而對有先后順序的問題卻通常以時間作相等關(guān)系，在航行問題中很多時候還用速度作相等關(guān)系。

航行問題是行程問題中的一種特殊情況，其速度在不同的條件下會發(fā)生變化：①順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（無風(fēng)）速度+水流速度（風(fēng)速）；②逆水（風(fēng)）速度=靜水（無風(fēng)）速度－水流速度（風(fēng)速）。由此可得到航行問題中一個重要等量關(guān)系：順?biāo)L(fēng)）速度－水流速度（風(fēng)速）＝逆水（風(fēng)）速度+水流速度（風(fēng)速）＝靜水（無風(fēng)）速度。

例１．某隊(duì)伍450米長，以每分鐘90米速度前進(jìn)，某人從排尾到排頭取東西后，立即返回排尾，速度為3米/秒。問往返共需多少時間？

講評：這一問題實(shí)際上分為兩個過程：①從排尾到排頭的過程是一個追及過程，相當(dāng)于最后一個人追上最前面的人；②從排頭回到排尾的過程則是一個相遇過程，相當(dāng)于從排頭走到與排尾的人相遇。

在追及過程中，設(shè)追及的時間為x秒，隊(duì)伍行進(jìn)（即排頭）速度為90米/分=1.5米/秒，則排頭行駛的路程為1.5x米；追及者的速度為3米/秒，則追及者行駛的路程為3x米。由追及問題中的相等關(guān)系“追趕者的路程－被追者的路程=原來相隔的路程”，有：

                   3x－1.5x=450    ∴x=300     

在相遇過程中，設(shè)相遇的時間為y秒，隊(duì)伍和返回的人速度未變，故排尾人行駛的路程為1.5y米，返回者行駛的路程為3y米，由相遇問題中的相等關(guān)系“甲行駛的路程+乙行駛的路程=總路程”有：    3y+1.5y=450    ∴y=100

故往返共需的時間為  x+y=300+100=400（秒）

例2 汽車從A地到B地，若每小時行駛40km，就要晚到半小時：若每小時行駛45km，就可以早到半小時。求A、B 兩地的距離。

講評：先出發(fā)后到、后出發(fā)先到、快者要早到慢者要晚到等問題，我們通常都稱其為“先后問題”。在這類問題中主要考慮時間量，考察兩者的時間關(guān)系，從相隔的時間上找出相等關(guān)系。本題中，設(shè)A、B兩地的路程為x km，速度為40 km/小時，則時間為小時；速度為45 km/小時，則時間為小時，又早到與晚到之間相隔1小時，故有

           － = 1           ∴　x = 360

　　例3 一艘輪船在甲、乙兩地之間行駛，順流航行需6小時，逆流航行需8小時，已知水流速度每小時2 km。求甲、乙兩地之間的距離。

講評：設(shè)甲、乙兩地之間的距離為x km，則順流速度為km/小時，逆流速度為km/小時，由航行問題中的重要等量關(guān)系有：

－２=  +2                ∴ x = 96

　　2.工程問題

工程問題的基本量有：工作量、工作效率、工作時間。關(guān)系式為：①工作量=工作效率×工作時間。②工作時間=，③工作效率=。

工程問題中，一般常將全部工作量看作整體1，如果完成全部工作的時間為t，則工作效率為。常見的相等關(guān)系有兩種：①如果以工作量作相等關(guān)系，部分工作量之和=總工作量。②如果以時間作相等關(guān)系，完成同一工作的時間差=多用的時間。

在工程問題中，還要注意有些問題中工作量給出了明確的數(shù)量，這時不能看作整體1，此時工作效率也即工作速度。

例4． 加工某種工件，甲單獨(dú)作要20天完成，乙只要10就能完成任務(wù)，現(xiàn)在要求二人在12天內(nèi)完成任務(wù)。問乙需工作幾天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務(wù)？

講評：將全部任務(wù)的工作量看作整體1，由甲、乙單獨(dú)完成的時間可知，甲的工作效率為，乙的工作效率為，設(shè)乙需工作x 天，則甲再繼續(xù)加工（12－x）天，乙完成的工作量為，甲完成的工作量為，依題意有  +=1   ∴x =8

例5． 收割一塊麥地，每小時割4畝，預(yù)計(jì)若干小時割完。收割了后,改用新式農(nóng)具收割，工作效率提高到原來的1.5倍。因此比預(yù)計(jì)時間提前1小時完工。求這塊麥地有多少畝？

講評：設(shè)麥地有x畝，即總工作量為x畝，改用新式工具前工作效率為4畝/小時，割完x畝預(yù)計(jì)時間為小時，收割畝工作時間為/4=小時；改用新式工具后，工作效率為1.5×4=6畝/小時，割完剩下畝時間為/6=小時，則實(shí)際用的時間為（+）小時，依題意“比預(yù)計(jì)時間提前1小時完工”有

－（+）=1       ∴ x =36

例6. 一水池裝有甲、乙、丙三個水管，加、乙是進(jìn)水管，丙是排水管，甲單獨(dú)開需10小時注滿一池水，乙單獨(dú)開需6小時注滿一池水，丙單獨(dú)開15小時放完一池水?，F(xiàn)在三管齊開，需多少時間注滿水池？

    講評：由題設(shè)可知，甲、乙、丙工作效率分別為、、－（進(jìn)水管工作效率看作正數(shù)，排水管效率則記為負(fù)數(shù)），設(shè)ｘ小時可注滿水池，則甲、乙、丙的工作量分別為，、－，由三水管完成整體工作量1，有      +－＝1   ∴　x = 5

　　3．經(jīng)濟(jì)問題

與生活、生產(chǎn)實(shí)際相關(guān)的經(jīng)濟(jì)類應(yīng)用題，是近年中考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題中的一個突出類型。經(jīng)濟(jì)類問題主要體現(xiàn)為三大類：①銷售利潤問題、②優(yōu)惠（促銷）問題、③存貸問題。這三類問題的基本量各不相同，在尋找相等關(guān)系時，一定要聯(lián)系實(shí)際生活情景去思考，才能更好地理解問題的本質(zhì)，正確列出方程。

⑴銷售利潤問題。利潤問題中有四個基本量：成本（進(jìn)價）、銷售價（收入）、利潤、利潤率?；娟P(guān)系式有：①利潤=銷售價（收入）－成本（進(jìn)價）【成本（進(jìn)價）=銷售價（收入）－利潤】；②利潤率=【利潤=成本（進(jìn)價）×利潤率】。在有折扣的銷售問題中，實(shí)際銷售價=標(biāo)價×折扣率。打折問題中常以進(jìn)價不變作相等關(guān)系。

⑵優(yōu)惠（促銷）問題。日常生活中有很多促銷活動，不同的購物（消費(fèi)）方式可以得到不同的優(yōu)惠。這類問題中，一般從“什么情況下效果一樣分析起”。并以求得的數(shù)值為基準(zhǔn)，取一個比它大的數(shù)及一個比它小的數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，預(yù)測其變化趨勢。

⑶存貸問題。存貸問題與日常生活密切相關(guān)，也是中考命題時最好選取的問題情景之一。存貸問題中有本金、利息、利息稅三個基本量，還有與之相關(guān)的利率、本息和、稅率等量。其關(guān)系式有：①利息=本金×利率×期數(shù)；②利息稅=利息×稅率；③本息和（本利）=本金+利息－利息稅。

例7.某商店先在廣州以每件15元的價格購進(jìn)某種商品10件，后來又到深圳以每件12.5元的價格購進(jìn)同樣商品40件。如果商店銷售這種商品時，要獲利12％，那么這種商品的銷售價應(yīng)定多少？

講評：設(shè)銷售價每件x 元，銷售收入則為（10+40）x元，而成本（進(jìn)價）為（5×10+40×12.5），利潤率為12％，利潤為（5×10+40×12.5）×12％。由關(guān)系式①有

（10+40）x－（5×10+40×12.5）=（5×10+40×12.5）×12％    ∴x=14.56

例8.某種商品因換季準(zhǔn)備打折出售，如果按定價七五折出售，則賠25元，而按定價的九折出售將賺20元。問這種商品的定價是多少？

講評：設(shè)定價為x元，七五折售價為75％x，利潤為－25元，進(jìn)價則為75％x－（－25）=75％x+25；九折銷售售價為90％x，利潤為20元，進(jìn)價為90％x－20。由進(jìn)價一定，有

     75％x+25=90％x－20           ∴ x = 300

例9. 李勇同學(xué)假期打工收入了一筆工資，他立即存入銀行，存期為半年。整存整取，年利息為2.16％。取款時扣除20％利息稅。李勇同學(xué)共得到本利504.32元。問半年前李勇同學(xué)共存入多少元？

講評：本題中要求的未知數(shù)是本金。設(shè)存入的本金為x元，由年利率為2.16％，期數(shù)為0.5年，則利息為0.5×2.16％x，利息稅為20％×0.5×2.16％x，由存貸問題中關(guān)系式③有    x +0.5×2.16％x－20％×0.5×2.16％x=504.32   ∴ x = 500

例10.某服裝商店出售一種優(yōu)惠購物卡，花200元買這種卡后，憑卡可在這家商店8折購物，什么情況下買卡購物合算？

講評：購物優(yōu)惠先考慮“什么情況下情況一樣”。設(shè)購物x元買卡與不買卡效果一樣，買卡花費(fèi)金額為（200+80％x）元，不買卡花費(fèi)金額為x元，故有

200+80％x = x       ∴  x = 1000

當(dāng)x ＞1000時，如x=2000  買卡消費(fèi)的花費(fèi)為：200+80％×2000=1800（元）

                          不買卡花費(fèi)為：2000（元 ）  此時買卡購物合算。

當(dāng)x ＜1000時，如x=800   買卡消費(fèi)的花費(fèi)為：200+80％×800=840（元）

                          不買卡花費(fèi)為：800（元）     此時買卡不合算。

4.溶液（混合物）問題

溶液（混合物）問題有四個基本量：溶質(zhì)（純凈物）、溶劑（雜質(zhì)）、溶液（混合物）、濃度（含量）。其關(guān)系式為：①溶液=溶質(zhì)+溶劑（混合物=純凈物+雜質(zhì)）；②濃度=×100％=×100％【純度（含量）=×100％=×100％】；③由①②可得到：溶質(zhì)=濃度×溶液=濃度×（溶質(zhì)+溶劑）。在溶液問題中關(guān)鍵量是“溶質(zhì)”：“溶質(zhì)不變”，混合前溶質(zhì)總量等于混合后的溶質(zhì)量，是很多方程應(yīng)用題中的主要等量關(guān)系。

例11.把1000克濃度為80％的酒精配成濃度為60％的酒精，某同學(xué)未經(jīng)考慮先加了300克水。⑴試通過計(jì)算說明該同學(xué)加水是否過量？⑵如果加水不過量，則應(yīng)加入濃度為20％的酒精多少克？如果加水過量，則需再加入濃度為95％的酒精多少克？

講評：溶液問題中濃度的變化有稀釋（通過加溶劑或濃度低的溶液，將濃度高的溶液的濃度降低）、濃化（通過蒸發(fā)溶劑、加溶質(zhì)、加濃度高的溶液，將低濃度溶液的濃度提高）兩種情況。在濃度變化過程中主要要抓住溶質(zhì)、溶劑兩個關(guān)鍵量，并結(jié)合有關(guān)公式進(jìn)行分析，就不難找到相等關(guān)系，從而列出方程。

本題中，⑴加水前，原溶液1000克，濃度為80％，溶質(zhì)（純酒精）為1000×80％克；設(shè)加x克水后，濃度為60％，此時溶液變?yōu)椋?SPAN>1000+x）克，則溶質(zhì)（純酒精）為（1000+x）×60％克。由加水前后溶質(zhì)未變，有（1000+x）×60％=1000×80％

      ∴x = ＞300     ∴該同學(xué)加水未過量。

⑵設(shè)應(yīng)加入濃度為20％的酒精y克，此時總?cè)芤簽椋?SPAN>1000+300+y）克，濃度為60％，溶質(zhì)（純酒精）為（1000+300+y）×60％；原兩種溶液的濃度分別為1000×80％、20％y，由混合前后溶質(zhì)量不變，有（1000+300+y）×60％=1000×80％+20％   ∴ y=50

5.數(shù)字問題

數(shù)字問題是常見的數(shù)學(xué)問題。一元一次方程應(yīng)用題中的數(shù)字問題多是整數(shù)，要注意數(shù)位、數(shù)位上的數(shù)字、數(shù)值三者間的關(guān)系：任何數(shù)=∑（數(shù)位上的數(shù)字×位權(quán)），如兩位數(shù)=10a+b；三位數(shù)=100a+10b+c。在求解數(shù)字問題時要注意整體設(shè)元思想的運(yùn)用。

例12. 一個三位數(shù)，三個數(shù)位上的和是17，百位上的數(shù)比十位上的數(shù)大7，個位上的數(shù)是十位上的數(shù)的3倍。求這個數(shù)。

講評：設(shè)這個數(shù)十位上的數(shù)字為x，則個位上的數(shù)字為3x，百位上的數(shù)字為（x+7），這個三位數(shù)則為100（x+7）+10x+3x。依題意有（x+7）+x+3x=17  ∴x=2

∴100（x+7）+10x+3x=900+20+6=926

例13. 一個六位數(shù)的最高位上的數(shù)字是1，如果把這個數(shù)字移到個位數(shù)的右邊，那么所得的數(shù)等于原數(shù)的3倍，求原數(shù)。

講評：這個六位數(shù)最高位上的數(shù)移到個位后，后五位數(shù)則相應(yīng)整體前移1位，即每個數(shù)位上的數(shù)字被擴(kuò)大10倍，可將后五位數(shù)看成一個整體設(shè)未知數(shù)。設(shè)除去最高位上數(shù)字1后的5位數(shù)為x，則原數(shù)為10+x，移動后的數(shù)為10x+1，依題意有  10x+1=10+x

            ∴x = 42857         則原數(shù)為142857

　　6.調(diào)配（分配）與比例問題

調(diào)配與比例問題在日常生活中十分常見，比如合理安排工人生產(chǎn)，按比例選取工程材料，調(diào)劑人數(shù)或貨物等。調(diào)配問題中關(guān)鍵是要認(rèn)識清楚部分量、總量以及兩者之間的關(guān)系。在調(diào)配問題中主要考慮“總量不變”；而在比例問題中則主要考慮總量與部分量之間的關(guān)系，或是量與量之間的比例關(guān)系。

例14.甲、乙兩書架各有若干本書，如果從乙架拿100本放到甲架上，那么甲架上的書比乙架上所剩的書多5倍，如果從甲架上拿100本書放到乙架上，兩架所有書相等。問原來每架上各有多少書？

講評：本題難點(diǎn)是正確設(shè)未知數(shù)，并用含未知數(shù)的代數(shù)式將另一書架上書的本數(shù)表示出來。在調(diào)配問題中，調(diào)配后數(shù)量相等，即將原來多的一方多出的數(shù)量進(jìn)行平分。由題設(shè)中“從甲書架拿100本書到乙書架，兩架書相等”，可知甲書架原有的書比乙書架上原有的書多200本。故設(shè)乙架原有x本書，則甲架原有（x+200）本書。從乙架拿100本放到甲架上，乙架剩下的書為（x－100）本，甲架書變?yōu)椋?SPAN>x+200）+100本。又甲架的書比乙架多5倍，即是乙架的六倍，有      （x+200）+100=6（x－100） ∴x=180     x+200=380

例15.教室內(nèi)共有燈管和吊扇總數(shù)為13個。已知每條拉線管3個燈管或2個吊扇，共有這樣的拉線5條，求室內(nèi)燈管有多少個？

講評：這是一道對開關(guān)拉線的分配問題。設(shè)燈管有x支，則吊扇有（13－ｘ）個，燈管拉線為條，吊扇拉線為條，依題意“共有５條拉線”，有+＝５∴x=9

例16.某車間22名工人參加生產(chǎn)一種螺母和螺絲。每人每天平均生產(chǎn)螺絲120個或螺母200個，一個螺絲要配兩個螺母，應(yīng)分配多少名工人生產(chǎn)螺絲，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)的產(chǎn)品剛好配套？

講評：產(chǎn)品配套（工人調(diào)配）問題，要根據(jù)產(chǎn)品的配套關(guān)系（比例關(guān)系）正確地找到它們間得數(shù)量關(guān)系，并依此作相等關(guān)系列出方程。本題中，設(shè)有x名工人生產(chǎn)螺母，生產(chǎn)螺母的個數(shù)為200x個，則有（22－x）人生產(chǎn)螺絲，生產(chǎn)螺絲的個數(shù)為120（22－x）個。由“一個螺絲要配兩個螺母”即“螺母的個數(shù)是螺絲個數(shù)的2倍”，有     200x=2×120（22－x）

  ∴x=12     22－x=10

例17. 地板磚廠的坯料由白土、沙土、石膏、水按25∶2∶1∶6的比例配制攪拌而成?，F(xiàn)已將前三種料稱好，公5600千克，應(yīng)加多少千克的水?dāng)嚢?？前三種料各稱了多少千克？

講評：解決比例問題的一般方法是：按比例設(shè)未知數(shù)，并根據(jù)題設(shè)中的相等關(guān)系列出方程進(jìn)行求解。本題中，由四種坯料比例25∶2∶1∶6，設(shè)四種坯料分別為25x、2x、x、6x千克，由前三種坯料共5600千克，有  25x+2x+x=5600

∴　x=200 25x=5000                   2x=400   x=200   6x=1200 

例18. 蘋果若干個分給小朋友，每人m個余14個，每人9個，則最后一人得6個。問小朋友有幾人？

講評：這是一個分配問題。設(shè)小朋友x人，每人分m個蘋果余14個，蘋果總數(shù)為mx+14，每人9個蘋果最后一人6個，則蘋果總數(shù)為9（x－１）+６。蘋果總數(shù)不變，有　　　　　　

mx+14＝9（x－１）+６　∴ｘ＝　∵x、m均為整數(shù) ∴9－ｍ＝１?。剑保?/SPAN>

例19. 出口1噸豬肉可以換5噸鋼材，7噸豬肉價格與4噸砂糖的價格相等，現(xiàn)有288噸砂糖，把這些砂糖出口，可換回多少噸鋼材？

講評：本題可轉(zhuǎn)換成一個比例問題。由豬肉∶鋼材=1∶5，豬肉∶砂糖=7∶4，得豬肉∶鋼材∶砂糖=7∶35∶4，設(shè)可換回鋼材x噸，則有    x∶288=35∶4    ∴x=2620

7.需設(shè)中間（間接）未知數(shù)求解的問題

一些應(yīng)用題中，設(shè)直接未知數(shù)很難列出方程求解，而根據(jù)題中條件設(shè)間接未知數(shù)，卻較容易列出方程，再通過中間未知數(shù)求出結(jié)果。

例20.甲、乙、丙、丁四個數(shù)的和是43，甲數(shù)的2倍加8，乙數(shù)的3倍，丙數(shù)的4倍，丁數(shù)的5倍減去4，得到的4個數(shù)卻相等。求甲、乙、丙、丁四個數(shù)。

講評：本題中要求4個量，在后面可用方程組求解。若用一元一次方程求解，如果設(shè)某個數(shù)為未知數(shù)，其余的數(shù)用未知數(shù)表示很麻煩。這里由甲、乙、丙、丁變化后得到的數(shù)相等，故設(shè)這個相等的數(shù)為x，則甲數(shù)為，乙數(shù)為，丙數(shù)為，丁數(shù)為，由四個數(shù)的和是43，有    +++=43        ∴x = 36

 ∴  =14      =12        =9        =8

　　例21.某縣中學(xué)生足球聯(lián)賽共賽10輪（即每隊(duì)均需比賽10場），其中勝1場得3分，平1場得1分，負(fù)1場得0分。向明中學(xué)足球隊(duì)在這次聯(lián)賽中所負(fù)場數(shù)比平場數(shù)少3場，結(jié)果公得19分。向明中學(xué)在這次聯(lián)賽中勝了多少場？

講評：本題中若直接將勝的場次設(shè)為未知數(shù)，無法用未知數(shù)的式子表示出負(fù)的場數(shù)和平的場數(shù)，但設(shè)平或負(fù)的場數(shù)，則可表示出勝的場數(shù)。故設(shè)平x場，則負(fù)x－3場，勝10－（ｘ+ｘ－３）場，依題意有 3[10－（x+x－3）]+x=19  ∴x=4  ∴ 10－（ｘ+ｘ－３）=5

8.設(shè)而不求（設(shè)中間參數(shù)）的問題

一些應(yīng)用題中，所給出的已知條件不夠滿足基本量關(guān)系式的需要，而且其中某些量不需要求解。這時，我們可以通過設(shè)出這個量，并將其看成已知條件，然后在計(jì)算中消去。這將有利于我們對問題本質(zhì)的理解。

例22.一艘輪船從重慶到上海要5晝夜，從上海駛向重慶要7晝夜，問從重慶放竹牌到上海要幾晝夜？（竹排的速度為水的流速）

分析：航行問題要抓住路程、速度、時間三個基本量，一般有兩種已知量才能求出第三種未知量。本題中已知時間量，所求也是時間量，故需在路程和速度兩個量中設(shè)一個中間參數(shù)才能列出方程。本題中考慮到路程量不變，故設(shè)兩地路程為a公里，則順?biāo)俣葹?SPAN>，逆水速度為，設(shè)水流速度為x，有－ｘ＝+ｘ　∴ｘ＝，又設(shè)竹排從重慶到上海的時間為y晝夜，有   ·x=a   ∴x=35

例23. 某校兩名教師帶若干名學(xué)生去旅游，聯(lián)系兩家標(biāo)價相同的旅行社，經(jīng)洽談后，甲旅行社的優(yōu)惠條件是：1名教師全部收費(fèi)，其余7．5折收費(fèi)；乙旅行社的優(yōu)惠條件是：全部師生8折優(yōu)惠。

⑴當(dāng)學(xué)生人數(shù)等于多少人時，甲旅行社與乙旅行社收費(fèi)價格一樣？

　?、迫艉怂憬Y(jié)果，甲旅行社的優(yōu)惠價相對乙旅行社的優(yōu)惠價要便宜，問學(xué)生人數(shù)是多少？

　　講評：在本題中兩家旅行社的標(biāo)價和學(xué)生人數(shù)都是未知量，又都是列方程時不可少的基本量，但標(biāo)價不需求解。⑴中設(shè)標(biāo)價為a元，學(xué)生人數(shù)x人，甲旅行社的收費(fèi)為a+0.75a（x+1）元，乙旅行社收費(fèi)為0.8a（x+2）元，有    a+0.75a（x+1）=0.8a（x+2）    ∴ x=3

⑵中設(shè)學(xué)生人數(shù)為y人，甲旅行社收費(fèi)為a+0.75a（x+1）元，乙旅行社收費(fèi)為0.8a（x+2）元，有  0.8a（x+2）－［a+0.75a（x+1）］＝×0.8a（x+2）　∴x=8。