卡拉比猜想與弦理論

介紹丘成桐著作《內(nèi)空間之形——弦理論和宇宙隱藏維度之幾何學》

不懂幾何者請勿入內(nèi)。——柏拉圖

不懂幾何者請不要離開。——丘成桐

在1954年召開的國際數(shù)學家大會上，意大利幾何學家卡拉比提出：在封閉的空間中，有無可能存在沒有物質(zhì)分布的引力場。這就是著名的卡拉比猜想。

弦理論的雛形是在1968年由意大利物理學家加布里埃萊·威尼采亞諾（Gabriele Veneziano）提出，他當時在麻省理工學院工作，希望找到能描述原子核內(nèi)強作用力的數(shù)學函數(shù)，在一本數(shù)學書中，他發(fā)現(xiàn)有200年歷史之久的歐拉函數(shù)能描述他所要求解的強作用力。不久后，美國斯坦福大學的理論物理學家李奧納特·蘇士侃（Leonard Susskind）指出，這個函數(shù)可理解為一小段類似橡皮筋一樣扭曲抖動的“線段”，即“弦”。

卡拉比猜想已經(jīng)被丘成桐證明，而弦理論仍然是很多學者頭腦中的宇宙解析圖景。這二者之間有什么聯(lián)系？丘成桐認為幾何是“通向宇宙本質(zhì)的最有效之路”。

2010年９月，丘成桐和科學作家史蒂文·納第斯合著的新書THE SHAPE OF INNER SPACE （《內(nèi)空間之形——弦理論和宇宙隱藏維度之幾何學》）在美國正式出版。書中講述了丘成桐在數(shù)學領域，特別對“卡拉比—丘流形”的證明，以及“卡拉比—丘流形”如何成為今天的科學家們解釋宇宙的模型——弦理論的核心。

卡拉比猜想

1976年，27歲的丘成桐證明卡拉比猜想，并因此獲得1983年的菲爾茨獎。他說：“自從1983年，‘卡拉比－丘流形’刻入菲爾茨獎章后，我?guī)缀醺械娇ɡ确路鸪闪宋业拿郑绻诠娦闹羞@是我的名字，我也為之驕傲！” 

卡拉比認為自己的猜想是正確的，但是，包括他自己在內(nèi)，沒有人能證實。

然而，幾乎所有的數(shù)學家都認為，卡拉比是錯的，這個猜想不正確，當時還很年輕的丘成桐也說：“我曾百分之百地認為，卡拉比所稱的空間不可能存在。沒有數(shù)學家或物理學家曾經(jīng)發(fā)現(xiàn)過其中一個存在的例子，幾乎所有的幾何學家都認為，這個猜想完美得不可能真實。”

  1969年９月，丘成桐從香港來到美國成為加州大學伯克利分校的研究生。在這里，他第一次聽說愛因斯坦的重力理論。“當?shù)弥亓颓姹划斪鍪峭换厥碌挠^點后，我被震驚了。因為在香港上大學時，我已經(jīng)著迷于曲面的研究，我只是本能地對這些曲面感興趣，我不知道為什么，但我從來沒有停止過對它們的思考。在得知曲面是愛因斯坦廣義相對論的基礎時，我想，有一天，我會以某種方式為認識我們身在其中的宇宙作出貢獻。”

丘成桐花了相當多的時間思考如何證明卡拉比猜想是錯的。1973年初，他駕車從紐約州立大學石溪分校來到斯坦福大學，幾個月后，他認為自己最終得出了卡拉比猜想是錯誤的證明。

 證明卡拉比猜想不成立，這是一個重大成果。1973年8月，在斯坦福大學召開的一個有頂級幾何學家參加的大型會議上，丘成桐將自己的想法告訴了卡拉比?？ɡ日f：“這聽起來很好，你為什么不和我討論一下這個問題呢？”

 他們的討論會從晚上７點開始，卡拉比帶來了幾個來自賓夕法尼亞州的同事。丘成桐講了大約一個小時，卡拉比很興奮：“我等待這個結果已經(jīng)等了好長時間，我希望它是正確的。”其他人則說：“太好了，我們最終可以停止一相情愿地認為卡拉比是正確的。”

 當年10月，卡拉比致信丘成桐：“我一直在努力重建你的思想，我現(xiàn)在有一些困難，你能仔細給我解釋嗎？”丘成桐也開始重建自己的思路，并發(fā)現(xiàn)一個問題。“我相當尷尬、窘迫，我當時沒有給卡拉比回信，我努力想修補這個證明，但我不能。于是，我開始尋找別的例子來證明卡拉比是錯的。我兩個星期沒有睡覺。但每一次當我發(fā)現(xiàn)一個比較接近的例子時，證明總會在最后一分鐘崩潰……這時，我對卡拉比猜想有更深刻的理解，感覺整個事情中一定有真實的東西。我認為它應該是正確的。”

丘成桐開始發(fā)明新工具來理解卡拉比猜想。1975年，證明只剩下最后一部分了，丘成桐結婚了，并隨太太搬到加州大學洛杉磯分校。在結婚成家之初的忙亂中，他將自己鎖在辦公室思考卡拉比猜想，而不是家庭事務。最終，他解決了整個問題。他說：“我在細節(jié)上反復證明了三次，然后到賓夕法尼亞大學去見卡拉比。在一個大雪紛飛的圣誕節(jié)，他和我到紐約大學去訪問數(shù)學家路易斯·尼倫伯格（Louis Nirenberg），整個圣誕節(jié)這一天我們都在討論這個問題。之后幾個月里，我寫了證明卡拉比猜想的論文。”

卡拉比猜想的證明讓丘成桐一舉成名，他的證明所稱為“丘定理”，他們所發(fā)現(xiàn)的新空間被稱為“卡拉比-丘流形”，也就是說，除了我們?nèi)粘Ｄ芨兄娜S空間和時間外，宇宙中還隱藏著六維不可見的空間，外在的四維空間是它們的表現(xiàn)。

卡拉比猜想的證明也解決了代數(shù)幾何中的十多個重要問題，丘成桐獲得了許多新職位邀請。丘成桐認為這只是一個起點，卡拉比猜想被證明的重要性遠遠不止于此，它成為現(xiàn)代物理學家們解釋宇宙本質(zhì)的弦理論的基石。

 弦理論

 1915年，愛因斯坦發(fā)表廣義相對論，綜合了狹義相對論和牛頓的萬有引力定律，以幾何語言建立了引力理論，將引力描述為因時空中物質(zhì)與能量而彎曲的時空，取代了引力是一種力的傳統(tǒng)看法。

愛因斯坦在生命的后30年里一直在尋找統(tǒng)一理論，一個能在單獨的包羅萬象的數(shù)學框架下描述自然界所有力的理論。

 弦理論認為，自然界的基本粒子和基本作用力是極小微小的“弦”振動的結果，人類生活在有十維空間的宇宙中，但日常生活中只能感知四維空間，另外六維空間則以奇妙結構卷藏在宇宙中，這個結構就是被幾何學家丘成桐證明的“卡拉比—丘流形”。

物理學家們發(fā)現(xiàn)，為了與量子論一致，弦需要在十維度中震動：三維是空間、一維是時間，另外六維則是“致密空間”，隱藏在“致密空間”中的維度如此之小，以至于人們不能通過任何可感知的實驗來探測。實際上，它們是純粹的結構。

迄今為止，因為尚有待實驗驗證，弦理論仍然是一個理論物理概念。

以丘成桐為代表的部分數(shù)學家認為，他們可以通過五維時空（四維空間和一維時間）來統(tǒng)一這個理論。但物理學家們發(fā)現(xiàn)了新粒子，這些粒子需要額外的維度來解釋其強作用力和弱作用力。當物理學家們解決了這些問題后，他們發(fā)現(xiàn)需要一種名為弦理論的東西才能解釋宇宙，所謂的弦理論就是將“弦”看做是物質(zhì)組成的最基本單元，所有的粒子如電子、光子、中微子和夸克都是弦的不同振動激發(fā)態(tài)，以代替經(jīng)典物理學模式中的基本粒子。

包含六維空間的“卡拉比—丘流形”所擁有的特殊拓撲學性質(zhì)正好是弦理論所需要的，丘成桐說：“如果這些空間真正模擬了弦理論所需要的六維空間，那么它們將有助于我們推導出隱藏在宇宙中的幾何學和物理定律。”

丘成桐認為，弦理論是現(xiàn)在最有希望將自然界的基本粒子和引力等四種相互作用力統(tǒng)一起來的理論，它第一次將20世紀的兩大基礎理論——廣義相對論和量子力學結合到一個數(shù)學上自洽的框架里，有可能解決一些長期困擾物理學家的世紀難題，如黑洞的本質(zhì)、宇宙的起源等。

丘成桐認為，有朝一日，弦理論的實驗證明將從根本上改變?nèi)藗儗Y構、空間和時間的認識。他說：“數(shù)學中每一個基礎性發(fā)現(xiàn)最終在物質(zhì)世界都有一個真實的意義……如果空間模擬了弦理論所要求的六維空間，那么它們將幫助我們推導出宇宙的幾何性質(zhì)和物理定律。”

 但是，也有很多數(shù)學家、物理學家、天文學家對弦理論持反對或批評態(tài)度，甚至認為弦理論不過是一場鬧劇，不會有什么像樣的結局。例如沈致遠就對此不屑一顧。

“卡拉比—丘流形”也將丘成桐帶入物理世界。他的絕大多數(shù)博士后都是物理學博士，他說：“這種情形在數(shù)學系并不多見，但這樣的安排卻讓我們彼此受益，他們從我身上學到數(shù)學，而我從他們身上學到了物理。我很高興，我的許多擁有物理學背景的博士后最終成為多所大學數(shù)學系的杰出教授，如哥倫比亞大學、西北大學、牛津大學和東京大學等。

 內(nèi)空間之形

 為了讓幾何分析和弦理論進入公眾視野，丘成桐和合作者用了4年的時間，寫出《內(nèi)空間之形——弦理論和宇宙隱藏維度之幾何學》（THE SHAPE OF INNER SPACE）。在書中介紹了理解丘成桐的工作所需要的數(shù)學，也介紹了這項證明在數(shù)學和物理學領域的巨大影響。丘成桐在書中聯(lián)想到這一發(fā)現(xiàn)可能預示著宇宙的命運和幾何學自身的命運。

丘成桐說，寫這本書的目的不僅是與他人分享自己的研究，而且也想解釋數(shù)學在幫助人們認識宇宙的過程中所提供的方法。“我們（數(shù)學家）是普通的科學家，有時比物理學家和生物學家更沉默，我希望探索數(shù)學家們是如何思考自然以及為如何認識自然所作出的貢獻。”

 然而，對一個與幾何和非線性微分方程打交道的數(shù)學家來說，著手寫一本英文科普書是一個巨大的挑戰(zhàn)。“英文不是我的母語，我發(fā)現(xiàn)，當要將清晰、優(yōu)雅的數(shù)學方程變成語言文字時，如果不是不可能，也是相當?shù)睦щy，這簡直令人沮喪。”他說，“幸運的是，我得到了幫助，盡管本書是通過我的眼睛并用我的語言講話，但我的合作者一直負責將這些抽象和深奧的數(shù)學轉(zhuǎn)化為明晰易懂的文字。”

美國華裔教授專家網(wǎng)以《深悟與洞察》一文，向所有學者和專業(yè)人士全力推薦這本新書。文章中說：“《內(nèi)空間之形》首次用非學術的語言，向廣大科普愛好者揭示十維空間的奧秘。讀者將隨著丘成桐教授深邃的思維，了解人類對宇宙的認識，回顧幾何學研究的歷程，并展望數(shù)學帶給人類的未來。本書將從宏觀和微觀上帶給我們對宇宙的新認識，我們對宇宙的看法將從此改變。”

 普林斯頓高等研究中心教授愛德華·威頓（Edward Witten）評價說：“丘成桐和史蒂文·納第斯帶領讀者走上一條奇異之旅，拜訪了當代幾何學和物理學的諸多話題。”

 英國皇家純數(shù)學研究教授、帝國學院數(shù)學科學研究所所長西蒙·唐納森（Simon Donaldson）說：“《內(nèi)空間之形》以一種非凡的視覺，走進我們時代最重要和最有影響的科學家們的思想。”

 柏拉圖深信幾何的力量，聲稱“上帝乃幾何學家”。丘成桐說：“雖然與柏拉圖有著2400多年的時光隔離，但在幾何學的重要性上，我與他是心有靈犀一點通。”

大約在公元前387年，希臘哲學家柏拉圖在雅典創(chuàng)辦了一所以希臘英雄阿卡德米（Academy）命名的學院，這是世界上第一所研究型大學。柏拉圖認為幾何學研究是通向認識宇宙本質(zhì)的道路，他在學院的大門上方篆刻了一條戒律：“不懂幾何者請勿入內(nèi)。”

丘成桐1987年成為哈佛大學數(shù)學系教授，如今是哈佛大學數(shù)學系主席。他說：“從事幾何學研究四十余年后，我愿意在我的哈佛大學的辦公室門上寫道：‘不懂幾何者請不要離開’。”

                                                         (參考《科學時報》2010.12.16文章）