貌似整數(shù)的數(shù)

你知道嗎：

哇，小數(shù)點后三位都是 9 ，該不會整個數(shù)正好就是 20 吧？其實不然：

這還不牛。我們有更像整數(shù)的數(shù)：

直到小數(shù)點后第 6 位才出現(xiàn)第一個不是 9 的數(shù)。

而

小數(shù)點后面有連續(xù) 9 個 9！

質(zhì)數(shù)生成公式？

1772 年，大數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）發(fā)現(xiàn)，當(dāng) n 是較小的正整數(shù)時，代入 n ² + n + 41 得到的總是質(zhì)數(shù)。事實上，n 從 1 一直取到 39，算出來的結(jié)果分別是：

43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281,
313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853,
911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601

這些數(shù)全都是質(zhì)數(shù)。第一次例外發(fā)生在 n = 40 的時候，此時 40 ² + 40 + 41 = 40 ² + 40 + 40 + 1 = (40 + 1)(40 + 1) = 41 × 41。一直要算到 n = 40 ，才能破除這個“偽規(guī)律”。

這也太巧了吧

定義數(shù)列 s(1) = 8，s(2) = 55，并且 s(n) 等于最小的使得 s(n)/s(n-1) > s(n-1)/s(n-2) 的數(shù)。這個數(shù)列的頭幾個數(shù)是：

8, 55, 379, 2612, 18002, 124071, 855106, 5893451, 40618081,
279942687, 1929384798, 13297456486, 91647010581, …

這個數(shù)列似乎符合一個簡單的四階遞推方程：s(n) = 6·s(n-1) + 7·s(n-2) - 5·s(n-3) - 6·s(n-4)。事實上，數(shù)列的前 11056 項一直與這個遞推方程相吻合。到了第 11057 項（此時數(shù)列里的數(shù)已經(jīng)有上千位了），才第一次出現(xiàn)例外。

千萬不要妄下結(jié)論

圓周上有 n 個點，兩兩之間連線后，最多可以把整個圓分成多少塊？

上圖顯示的就是 n 分別為 2、3、4 的情況?？梢钥吹?，圓分別被劃分成了 2 塊、4 塊、8 塊。規(guī)律似乎非常明顯：圓周上每多一個點，劃分出來的區(qū)域數(shù)就會翻一倍。

事實上真的是這樣嗎？讓我們看看當(dāng) n = 5 時的情況：

果然不出所料，整個圓被分成了 16 塊，區(qū)域數(shù)依舊滿足 2 ^n-1 的規(guī)律。此時，多數(shù)人都會覺得證據(jù)已經(jīng)充分，不必繼續(xù)往下驗證了。偏偏就在 n = 6 時，意外出現(xiàn)了：

此時區(qū)域數(shù)只有 31 個，推翻了我們之前的猜想。根據(jù)規(guī)律妄下結(jié)論，終究是會翻船的。

最堅挺的猜想

下面是大于 1 的正整數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后的結(jié)果：

2 = 2
3 = 3
4 = 2 × 2
5 = 5
6 = 2 × 3
7 = 7
8 = 2 × 2 × 2
9 = 3 × 3
10 = 2 × 5
...

其中，4、6、9、10 包含偶數(shù)個質(zhì)因子，其余的數(shù)都包含奇數(shù)個質(zhì)因子。你會發(fā)現(xiàn)，在上面的列表中一行一行地看下來，不管看到什么位置，包含奇數(shù)個質(zhì)因子的數(shù)都要多一些。1919 年，匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞（George Pólya）猜想，質(zhì)因子個數(shù)為奇數(shù)的情況不會少于 50% 。也就是說，對于任意一個大于 1 的自然數(shù) N，從 2 到 N 的數(shù)中有奇數(shù)個質(zhì)因子的數(shù)不少于有偶數(shù)個質(zhì)因子的數(shù)。這便是著名的波利亞猜想。

波利亞猜想看上去非常合理——每個有偶數(shù)個質(zhì)因子的數(shù)，必然都已經(jīng)提前經(jīng)歷過了“有奇數(shù)個質(zhì)因子”這一步。不過，這個猜想?yún)s一直未能得到一個嚴格的數(shù)學(xué)證明。到了 1958 年，英國數(shù)學(xué)家哈賽格廬烏（C. B. Haselgrove）發(fā)現(xiàn)，波利亞的猜想竟然是錯誤的。他證明了波利亞猜想存在反例，從而推翻了這個猜想。不過，哈賽格廬烏僅僅是證明了反例的存在性，并沒有算出這個反例的具體值。哈賽格廬烏估計，這個反例至少也是一個 361 位數(shù)。

1960 年，謝爾曼·萊曼（R. Sherman Lehman）給出了一個確鑿的反例：N = 906 180 359。而波利亞猜想的最小反例則是到了 1980 年才發(fā)現(xiàn)的：N = 906 150 257。也就是說，從 2 一直數(shù)到 9 億多，波利亞猜想看起來都是成立的！