精通八大排序算法系列：一、快速排序算法
作者 July 二零一一年一月四日
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寫此八大排序算法系列之前，先說點(diǎn)題外話。
每寫一篇文章，我都會遵循以下幾點(diǎn)原則：
一、保持版面的盡量清晰，力保排版良好。
二、力爭所寫的東西，清晰易懂，圖文并茂
三、盡最大可能確保所寫的東西精準(zhǔn)，有實(shí)用價值。
因?yàn)椋矣X得，你既然要把你的文章，公布出來，那么你就一定要為你的讀者負(fù)責(zé)。
不然，就不要發(fā)表出來。一切，為讀者服務(wù)。
ok，閑不多說。接下來，咱們立刻進(jìn)入本文章的主題，排序算法。
眾所周知，快速排序算法是排序算法中的重頭戲。
因此，本系列，本文就從快速排序開始。
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一、快速排序算法的基本特性
時間復(fù)雜度：O（n*lgn）
最壞：O（n^2）
空間復(fù)雜度：O（n*lgn）
不穩(wěn)定。
快速排序是一種排序算法，對包含n個數(shù)的輸入數(shù)組，平均時間為O（nlgn），最壞情況是O（n^2）。
通常是用于排序的最佳選擇。因?yàn)?，排序最快，也只能達(dá)到O（nlgn）。
二、快速排序算法的描述
算法導(dǎo)論，第7章
快速排序時基于分治模式處理的，
對一個典型子數(shù)組A[p...r]排序的分治過程為三個步驟：
1.分解：
A[p..r]被劃分為倆個（可能空）的子數(shù)組A[p ..q-1]和A[q+1 ..r]，使得
A[p ..q-1] <= A[q] <= A[q+1 ..r]
2.解決：通過遞歸調(diào)用快速排序，對子數(shù)組A[p ..q-1]和A[q+1 ..r]排序。
3.合并。
三、快速排序算法
版本一：
QUICKSORT(A, p, r)
1 if p < r
2 then q ← PARTITION(A, p, r) //關(guān)鍵
3 QUICKSORT(A, p, q - 1)
4 QUICKSORT(A, q + 1, r)
數(shù)組劃分
快速排序算法的關(guān)鍵是PARTITION過程，它對A[p..r]進(jìn)行就地重排：
PARTITION(A, p, r)
1 x ← A[r]
2 i ← p - 1
3 for j ← p to r - 1
4 do if A[j] ≤ x
5 then i ← i + 1
6 exchange A[i] <-> A[j]
7 exchange A[i + 1] <-> A[r]
8 return i + 1
ok，咱們來舉一個具體而完整的例子。
來對以下數(shù)組，進(jìn)行快速排序，
2 8 7 1 3 5 6 4(主元)
一、
i p/j
2 8 7 1 3 5 6 4(主元)
j指的2<=4，于是i++，i也指到2，2和2互換，原數(shù)組不變。
j后移，直到指向1..
二、
j（指向1）<=4，于是i++
i指向了8，所以8與1交換。
數(shù)組變成了：
i j
2 1 7 8 3 5 6 4
三、j后移，指向了3,3<=4，于是i++
i這是指向了7，于是7與3交換。
數(shù)組變成了：
i j
2 1 3 8 7 5 6 4
四、j繼續(xù)后移，發(fā)現(xiàn)沒有再比4小的數(shù)，所以，執(zhí)行到了最后一步，
即上述PARTITION(A, p, r)代碼部分的 第7行。
因此，i后移一個單位，指向了8
i j
2 1 3 8 7 5 6 4
A[i + 1] <-> A[r]，即8與4交換，所以，數(shù)組最終變成了如下形式，
2 1 3 4 7 5 6 8
ok，快速排序第一趟完成。
4把整個數(shù)組分成了倆部分，2 1 3,7 5 6 8，再遞歸對這倆部分分別快速排序。
i p/j
2 1 3(主元)
2與2互換，不變，然后又是1與1互換，還是不變，最后，3與3互換，不變，
最終，3把2 1 3，分成了倆部分，2 1，和3.
再對2 1，遞歸排序，最終結(jié)果成為了1 2 3.
7 5 6 8(主元)，7、5、6、都比8小，所以第一趟，還是7 5 6 8，
不過，此刻8把7 5 6 8，分成了 7 5 6，和8.[7 5 6->5 7 6->5 6 7]
再對7 5 6，遞歸排序，最終結(jié)果變成5 6 7 8。
ok，所有過程，全部分析完成。
最后，看下我畫的圖：
快速排序算法版本二
不過，這個版本不再選?。ㄈ缟系谝话姹镜模?shù)組的最后一個元素為主元，
而是選擇，數(shù)組中的第一個元素為主元。
/**************************************************/
/* 函數(shù)功能：快速排序算法 */
/* 函數(shù)參數(shù)：結(jié)構(gòu)類型table的指針變量tab */
/* 整型變量left和right左右邊界的下標(biāo) */
/* 函數(shù)返回值：空 */
/* 文件名：quicsort.c 函數(shù)名：quicksort () */
/**************************************************/
void quicksort(table *tab,int left,int right)
{
int i,j;
if(left<right)
{
i=left;j=right;
tab->r[0]=tab->r[i]; //準(zhǔn)備以本次最左邊的元素值為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行劃分，先保存其值
do
{
while(tab->r[j].key>tab->r[0].key&&i<j)
j--; //從右向左找第1個小于標(biāo)準(zhǔn)值的位置j
if(i<j) //找到了，位置為j
{
tab->r[i].key=tab->r[j].key;i++;
} //將第j個元素置于左端并重置i
while(tab->r[i].key<tab->r[0].key&&i<j)
i++; //從左向右找第1個大于標(biāo)準(zhǔn)值的位置i
if(i<j) //找到了，位置為i
{
tab->r[j].key=tab->r[i].key;j--;
} //將第i個元素置于右端并重置j
}while(i!=j);
tab->r[i]=tab->r[0]; //將標(biāo)準(zhǔn)值放入它的最終位置,本次劃分結(jié)束
quicksort(tab,left,i-1); //對標(biāo)準(zhǔn)值左半部遞歸調(diào)用本函數(shù)
quicksort(tab,i+1,right); //對標(biāo)準(zhǔn)值右半部遞歸調(diào)用本函數(shù)
}
}
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ok，咱們，還是以上述相同的數(shù)組，應(yīng)用此快排算法的版本二，來演示此排序過程：
這次，以數(shù)組中的第一個元素2為主元。
2(主) 8 7 1 3 5 6 4
請細(xì)看：
2 8 7 1 3 5 6 4
i-> <-j
(找大) (找小)
一、j
j找第一個小于2的元素1,1賦給(覆蓋重置)i所指元素2
得到：
1 8 7 3 5 6 4
i j
二、i
i找到第一個大于2的元素8,8賦給(覆蓋重置)j所指元素(NULL<-8)
1 7 8 3 5 6 4
i <-j
三、j
j繼續(xù)左移，在與i碰頭之前，沒有找到比2小的元素，結(jié)束。
最后，主元2補(bǔ)上。
第一趟快排結(jié)束之后，數(shù)組變成：
1 2 7 8 3 5 6 4
第二趟，
7 8 3 5 6 4
i-> <-j
(找大) (找小)
一、j
j找到4，比主元7小，4賦給7所處位置
得到：
4 8 3 5 6
i-> j
二、i
i找比7大的第一個元素8,8覆蓋j所指元素(NULL)
4 3 5 6 8
i j
4 6 3 5 8
i-> j
i與j碰頭，結(jié)束。
第三趟：
4 6 3 5 7 8
......
以下，分析原理，一致，略過。
最后的結(jié)果，如下圖所示：
1 2 3 4 5 6 7 8
相信，經(jīng)過以上內(nèi)容的具體分析，你一定明了了。
最后，貼一下我畫的關(guān)于這個排序過程的圖：
完。一月五日補(bǔ)充。
OK,上述倆種算法，明白一種即可。
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五、快速排序的最壞情況和最快情況。
最壞情況發(fā)生在劃分過程產(chǎn)生的倆個區(qū)域分別包含n-1個元素和一個0元素的時候，
即假設(shè)算法每一次遞歸調(diào)用過程中都出現(xiàn)了，這種劃分不對稱。那么劃分的代價為O（n），
因?yàn)閷σ粋€大小為0的數(shù)組遞歸調(diào)用后，返回T（0）=O（1）。
估算法的運(yùn)行時間可以遞歸的表示為：
T（n）=T（n-1）+T（0）+O（n)=T(n-1)+O(n).
可以證明為T（n）=O（n^2）。
因此，如果在算法的每一層遞歸上，劃分都是最大程度不對稱的，那么算法的運(yùn)行時間就是O（n^2）。
亦即，快速排序算法的最壞情況并不比插入排序的更好。
此外，當(dāng)數(shù)組完全排好序之后，快速排序的運(yùn)行時間為O（n^2）。
而在同樣情況下，插入排序的運(yùn)行時間為O（n）。
//注，請注意理解這句話。我們說一個排序的時間復(fù)雜度，是僅僅針對一個元素的。
//意思是，把一個元素進(jìn)行插入排序，即把它插入到有序的序列里，花的時間為n。
再來證明，最快情況下，即PARTITION可能做的最平衡的劃分中，得到的每個子問題都不能大于n/2.
因?yàn)槠渲幸粋€子問題的大小為|_n/2_|。另一個子問題的大小為|-n/2-|-1.
在這種情況下，快速排序的速度要快得多。為，
T(n)<=2T（n/2）+O（n）.可以證得，T（n）=O（nlgn）。
直觀上，看，快速排序就是一顆遞歸數(shù)，其中，PARTITION總是產(chǎn)生9:1的劃分，
總的運(yùn)行時間為O（nlgn）。各結(jié)點(diǎn)中示出了子問題的規(guī)模。每一層的代價在右邊顯示。
每一層包含一個常數(shù)c。
完。
July、二零一一年一月四日。
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請各位自行，思考以下這個版本，對應(yīng)于上文哪個版本?
HOARE-PARTITION(A, p, r)
1 x ← A[p]
2 i ← p - 1
3 j ← r + 1
4 while TRUE
5 do repeat j ← j - 1
6 until A[j] ≤ x
7 repeat i ← i + 1
8 until A[i] ≥ x
9 if i < j
10 then exchange A[i] ? A[j]
11 else return j
我常常思考，為什么有的人當(dāng)時明明讀懂明白了一個算法，
而一段時間過后，它又對此算法完全陌生而不了解了列?
我想，究其根本，還是沒有徹底明白此快速排序算法的原理，與來龍去脈...
那作何改進(jìn)列，只能找發(fā)明那個算法的原作者了，從原作者身上，再多挖掘點(diǎn)有用的東西出來。
July、二零一一年二月十五日更新。
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最后，再給出一個快速排序算法的簡潔示例：
Quicksort函數(shù)
void quicksort(int l, int u)
{ int i, m;
if (l >= u) return;
swap(l, randint(l, u));
m = l;
for (i = l+1; i <= u; i++)
if (x[i] < x[l])
swap(++m, i);
swap(l, m);
quicksort(l, m-1);
quicksort(m+1, u);
}
如果函數(shù)的調(diào)用形式是quicksort(0, n-1)，那么這段代碼將對一個全局?jǐn)?shù)組x[n]進(jìn)行排序。
函數(shù)的兩個參數(shù)分別是將要進(jìn)行排序的子數(shù)組的下標(biāo)：l是較低的下標(biāo)，而u是較高的下標(biāo)。
函數(shù)調(diào)用swap(i,j)將會交換x[i]與x[j]這兩個元素。
第一次交換操作將會按照均勻分布的方式在l和u之間隨機(jī)地選擇一個劃分元素。
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