數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移規(guī)律

　　在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常有這樣的現(xiàn)象：以往的學(xué)習(xí)對新學(xué)習(xí)會出現(xiàn)影響。這種影響有的是起促進(jìn)作用，有的是起干擾作用。這種影響作用就是遷移。

　　所謂遷移，就是指一種知識、技能，甚至于方法和態(tài)度的學(xué)習(xí)對另一種知識、技能、方法、態(tài)度的學(xué)習(xí)產(chǎn)生的影響。

　　例如，學(xué)生學(xué)習(xí)了分式方程的解法后，回過頭來進(jìn)行分式的化簡時，往往在化簡分式中把分式的分母無端地去掉了。事實(shí)上，這是分式方程的解法對分式運(yùn)算方法學(xué)習(xí)的遷移。

　　在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，遷移現(xiàn)象是普遍存在的。如何利用遷移這一學(xué)習(xí)規(guī)律來促進(jìn)學(xué)習(xí)，這是我們必須注意的問題。這里，主要討論遷移規(guī)律對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響，以及怎樣利用遷移規(guī)律使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)達(dá)到良好的效果。

　　一、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移的類型

　　按不同的標(biāo)準(zhǔn)，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移有不同的分類。

　　1．按遷移的效果來分，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移可分為正遷移與負(fù)遷移。

　　正遷移是指一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)起促進(jìn)作用的遷移。例如，長方形的性質(zhì)學(xué)習(xí)，對長方體的性質(zhì)學(xué)習(xí)的遷移就是正遷移。事實(shí)上，設(shè)長方形的邊長分別為a、b，對角線長為x，長方體棱長分別為a、b、c，對角線長為y，那么有

　　由于上述的長方形性質(zhì)與長方體性質(zhì)之間存在著類似之處，因此，使長方形的知識學(xué)習(xí)對長方體的知識學(xué)習(xí)產(chǎn)生正遷移。

　　正遷移現(xiàn)象使學(xué)習(xí)過程變得容易、經(jīng)濟(jì)、高效率。

　　負(fù)遷移是指一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)起到干擾或阻礙作用的遷移。例如，學(xué)生學(xué)習(xí)對數(shù)運(yùn)算時，常常受到乘法分配律的干擾，出現(xiàn)了

lg(a＋b)=lga＋lgb，

　　同樣的，乘法分配律還會影響到和差的三角函數(shù)學(xué)習(xí)上，出現(xiàn)了

sin(α＋β)=sinα＋sinβ，

cos(α＋β)=cosα＋cosβ。

　　上述這種干擾現(xiàn)象是負(fù)遷移在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)。

　　2．按遷移的方向分，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移可分為順向遷移和逆向遷移。

　　順向遷移是指過去學(xué)習(xí)對后繼學(xué)習(xí)的遷移。例如，平行線的性質(zhì)學(xué)習(xí)對空間平行平面性質(zhì)的學(xué)習(xí)是順向遷移。

　　逆向遷移是指后繼學(xué)習(xí)對已往學(xué)習(xí)的遷移。例如，我們前面提到的分式方程解法學(xué)習(xí)對分式化簡的學(xué)習(xí)遷移，就是逆向遷移。

　　3．按特殊性與一般性分，數(shù)學(xué)遷移又可分為特殊遷移與一般遷移。

　　特殊遷移是指一種特殊性學(xué)習(xí)對另一種特殊性學(xué)習(xí)的遷移。例如，正弦函數(shù)性質(zhì)學(xué)習(xí)對余弦函數(shù)性質(zhì)學(xué)習(xí)的遷移是特殊遷移。

　　一般遷移是指從原理、態(tài)度、方法到另一原理、態(tài)度、方法的遷移。例如，數(shù)的運(yùn)算定律對代數(shù)式運(yùn)算定律的遷移就是一般性遷移。

　　4．按遷移前后知識水平分，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移可分為垂直遷移(縱向遷移)和水平遷移(橫向遷移)。

　　垂直遷移是指遷移的前后兩種學(xué)習(xí)內(nèi)容屬于不同水平的遷移。例如，學(xué)習(xí)數(shù)的整除性理論對學(xué)習(xí)多項(xiàng)式整除性理論的遷移就是一種上升性的垂直遷移。

　　水平遷移是指遷移的前后兩種學(xué)習(xí)內(nèi)容屬于同一水平的遷移。例如，等差數(shù)列性質(zhì)學(xué)習(xí)對等比數(shù)列性質(zhì)學(xué)習(xí)的遷移就是水平遷移。

　　二、遷移規(guī)律及其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

　　在學(xué)習(xí)遷移的規(guī)律中，無論哪一類型的遷移，都存在著正、負(fù)遷移現(xiàn)象。因此，學(xué)習(xí)中的正遷移與負(fù)遷移是學(xué)習(xí)遷移的核心內(nèi)容。在學(xué)習(xí)過程中，對遷移的利用，也主要是對正遷移的利用；對遷移的防止與克服，也主要是對負(fù)遷移的防止與克服。只存這樣，才能提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。下面我們主要從上述的這兩種遷移規(guī)律來研究在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對遷移規(guī)律的利用。

　　1．?dāng)?shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與遷移。

　　由于遷移現(xiàn)象與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)有關(guān)，因此，良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對促進(jìn)學(xué)習(xí)遷移起積極作用。

　　(1)概念對遷移的影響。

　　在原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的數(shù)學(xué)概念正確與否對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移具有重要的意義。概念建構(gòu)得正確，對新概念的學(xué)習(xí)可以產(chǎn)生影響。例如，通分概念對后來的分式運(yùn)算具有遷移作用。又如，算術(shù)根概念也對有關(guān)算術(shù)根運(yùn)算的學(xué)習(xí)產(chǎn)生遷移。

　　這個化簡過程中實(shí)際上由于算術(shù)根概念的不清而產(chǎn)生的負(fù)遷移現(xiàn)象。

　　如果學(xué)生算術(shù)根概念正確，那么他會進(jìn)行如下的化簡過程：

　　(i)當(dāng)a+b≥0時，

　　(ii)當(dāng)a＋b＜0時，

　　在這一化簡過程中表現(xiàn)出算術(shù)根概念對根式化簡運(yùn)算學(xué)習(xí)的正遷移效果。

　　(2)認(rèn)知結(jié)構(gòu)混亂帶來學(xué)習(xí)的負(fù)遷移。

　　這里，實(shí)際上是在他的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中把實(shí)數(shù)集上的根式性質(zhì)與復(fù)數(shù)集上的根式性質(zhì)混淆在一起造成了負(fù)遷移。事實(shí)上，其正確解法應(yīng)為

　　2．學(xué)生的學(xué)習(xí)方法與遷移。

　　學(xué)習(xí)方法很多，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法中，有一種方法是類比法。它在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有時是很奏效的。經(jīng)常地進(jìn)行類比，容易形成遷移的態(tài)勢。

　　例如，若數(shù)列a₁，a₂，…，a_n，…為公差是d的等差數(shù)列，求數(shù)列

　　如果學(xué)生在學(xué)習(xí)上有一種類比的習(xí)慣，他就馬上想起已往學(xué)習(xí)過數(shù)列

　　的前n項(xiàng)求和來。當(dāng)時是利用拆項(xiàng)辦法，即

　　他馬上把這個結(jié)果遷移到上面的新的數(shù)列前n項(xiàng)求和中來，得

　　上述的學(xué)習(xí)遷移是垂直上升性的正遷移。

　　3．教師的教學(xué)方法與學(xué)習(xí)遷移。

　　吳卓(H．Woodrow)1927年做了一個實(shí)驗(yàn)，證明教師在學(xué)習(xí)的指導(dǎo)方面對學(xué)生學(xué)習(xí)遷移的作用。他讓被試者記憶若干種材料，作初次測試，然后根據(jù)初次測試結(jié)果，把被試學(xué)生分成三組，使各組平均能力相同。第一組為控制組，不加訓(xùn)練；第二組為練習(xí)組，給予材料讓他們記憶，但不加指導(dǎo)；第三組為指導(dǎo)組，不但進(jìn)行練習(xí)，而且以優(yōu)良的方法作詳細(xì)指導(dǎo)。練習(xí)組與指導(dǎo)組除所學(xué)材料相同外，學(xué)習(xí)的時數(shù)也相同。最后進(jìn)行記憶測試，比較前后兩次測試結(jié)果，發(fā)現(xiàn)練習(xí)組與指導(dǎo)組的成績中遷移量超過控制組；指導(dǎo)組的遷移量超過練習(xí)組10倍以上。實(shí)驗(yàn)表明：有指導(dǎo)的練習(xí)比無指導(dǎo)的練習(xí)遷移效果好。同樣，練習(xí)比不練習(xí)遷移效果好。

　　教師在教學(xué)上進(jìn)行正確的學(xué)習(xí)指導(dǎo)，學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移就顯著?？梢娫跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中教師指導(dǎo)在學(xué)習(xí)遷移上的重要作用。

　　4．思維定勢與學(xué)習(xí)遷移。

　　思維定勢是由人們長期思維形成的一種思維的定向預(yù)備狀態(tài)或思維習(xí)慣。這是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所必須注意到的思維性的學(xué)習(xí)規(guī)律。

　　思維定勢與學(xué)習(xí)遷移有著密切的關(guān)系。思維定勢既可以使學(xué)習(xí)產(chǎn)生正遷移，也可以使學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)遷移。思維定勢是客觀存在的，只要學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，通過思維，總存在一定的思維定勢。我們應(yīng)該充分利用有利的思維定勢，使之用于學(xué)習(xí)上，形成正遷移，同時我們還要注意不利于學(xué)習(xí)的思維定勢，克服它對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生的負(fù)遷移。

　　(1)充分利用思維定勢中有利于正遷移的方面，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

　　例如，求證lg2是無理數(shù)。

　　一類型問題的思維定勢，于是必然選擇反證法來證明這一命題。

　　證明：設(shè)lg2為有理數(shù)，則

　　由對數(shù)定義，有

　　即 10^p=2^q，

　　而 10=2×5，

　　等式左邊含有素?cái)?shù)5的因數(shù)，而等式右邊沒有5的因數(shù)，這與算術(shù)基本定理矛盾，故有lg2為無理數(shù)。

　　(2)注意克服思維定勢中不利于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的因素，防止思維定勢產(chǎn)生的負(fù)遷移。

　　例如，解不等式組

　　由于學(xué)生的思維定勢：見到a總認(rèn)為a為正數(shù)，于是判定不等式組無解。事實(shí)上這個不等式組在某種情況下可能有解。在解這一不等式組時，必須對a分別情況加以討論：

　　(i)當(dāng)a＞0時，不等式組無解；

　　(ii)當(dāng)a=0時，不等式組無解；

　　(iii)當(dāng)a＜0時，不等式組的解為：

a＜x＜－a。