等比數(shù)列

moonboat 2011-06-17

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等比數(shù)列

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等比數(shù)列：是一種特殊數(shù)列。它的特點(diǎn)是：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都是一個(gè)常數(shù)。

例如數(shù)列 $2,4,8,16,32,\cdots,2^{197},2^{198},2^{199},\cdots$ 。

這就是一個(gè)等比數(shù)列，因?yàn)榈诙?xiàng)與第一項(xiàng)的比和第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的比相等，都等于2， $2198$ 與 $2197$ 的比也等于2。我們把像2這樣的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比稱之為公比，符號(hào)為 $q$ 。

[編輯]公式

[編輯]公比公式

根據(jù)等比數(shù)列的定義可得：

$q=\frac {a_n}{a_{n-1}} \left(n\ge2\right)$

[編輯]通項(xiàng)公式

我們可以任意定義一個(gè)等比數(shù)列 $\left\{a_n\right\}$

這個(gè)等比數(shù)列從第一項(xiàng)起分別是 $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots$ ，公比為 $q$ ，則有：

a 2 = a 1 q

，

a 3 = a 2 q = a 1 q 2

，

a 4 = a 3 q = a 1 q 3

，

$\cdots$ ，

以此類推可得，等比數(shù)列 $\left\{a_n\right\}$ 的通項(xiàng)公式為：

a n = a n ? 1 q = a 1 q n ? 1

，

[編輯]求和公式

對于上面我們所定義的等比數(shù)列，即數(shù)列 $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots$ 。我們將所有項(xiàng)進(jìn)行累加。

于是把 $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots$ 稱為等比數(shù)列的和。記為：

$\sum_{i=1}^{n} a_i$

如果該等比數(shù)列的公比為 $q$ ，則有：

$S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n$

$=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n-1}$ （利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式） (1)

先將兩邊同乘以公比q，有：

$qS_n=a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^n$

該式減去(1)式，有：

(q ? 1) S n = a 1 q n ? a 1

(2)

然后進(jìn)行一定的討論

當(dāng) $q\ne1$ 時(shí)， $S_n=\frac {a_1(q^n-1)}{q-1}$

而當(dāng)

q = 1

時(shí)，由(2)式無法解得通項(xiàng)公式。

但我們可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)：

$S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n$

$=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n-1}$

$=a_1+a_1+a_1+\cdots+a_1$

= n a 1

綜上所述，等比數(shù)列 $\left\{a_n\right\}$ 的求和公式為：

$S_n=\begin{cases} \frac {a_1-a_1q^n}{1-q}, & (q\ne1) \\ na_1, & (q=1) \end{cases}$

經(jīng)過推導(dǎo)，可以得到另一個(gè)求和公式：當(dāng)q≠1時(shí)

${{S}_{n}}=\frac{{{a}_{1}}({{q}^{n} - 1})}{q - 1}=\frac{{{a}_{1}}{{q}^{n}} - {{a}_{1}}}{q - 1}$

[編輯]當(dāng) $0\le q<1$ 時(shí),等比數(shù)列無限項(xiàng)之和

由於當(dāng) $0\le q<1$ 及 $n$ 的值不斷增加時(shí), $q n$ 的值便會(huì)不斷減少而且趨於0,因此無限項(xiàng)之和:

$S_{\infty}=\frac {a_1-a_1q^{\infty}}{1-q}=\frac {a_1-0}{1-q}=\frac {a_1}{1-q}$

[編輯]性質(zhì)

如果數(shù)列 $\left\{a_n\right\}$ 是等比數(shù)列，那么有以下幾個(gè)性質(zhì)：

$a_n=a_mq^{n-m} (m,n\in \mathbb{N^*},n>m)$

證明：當(dāng) $m,n\in \mathbb{N^*},n>m$ 時(shí)， $a_mq^{n-m}=a_1q^{m-1}\times q^{n-m}=a_1q^{n-1}=a_n$

對于 $m,n,s,t\in \mathbb{N^*}$ ，若 $\!m+n=s+t$ ，則 $a_m\cdot a_n=a_s\cdot a_t$

證明： $a_m\cdot a_n=a_1q^{m-1}\cdot a_1q^{n-1}=a_1\cdot a_1\cdot q^{n+m-2}$

∵ $\!m+n=s+t$

∴ $a_m\cdot a_n=a_1\cdot a_1\cdot q^{s+t-2}=a_1q^{s-1}\cdot a_1q^{t-1}=a_s\cdot a_t$

等比中項(xiàng)：在等比數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是與它等距離的前后兩項(xiàng)的等比中項(xiàng)。即等比數(shù)列 $\left\{a_n\right\}$ 中有三項(xiàng) $\!a_i$ ， $\!a_j$ ， $\!a_k$ ，其中 $j-i=k-j\ge1$ ，則有 $a_j^2=a_ia_k$

在原等比數(shù)列中，每隔 $k$ 項(xiàng) $(k\in \mathbb{N^*})$ 取出一項(xiàng)，按原來順序排列，所得的新數(shù)列仍為等比數(shù)列。

$a_1\cdot a_2,a_3\cdot a_4,a_5\cdot a_6 \cdots$ 也成等比數(shù)列。

[編輯]參見

等差數(shù)列

1個(gè)分類: 序列

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