前幾天，一篇叫做 用正方形紙片折出等邊三角形 的日志引起大家的討論，折出正七邊形和折出角三等分線的方案更是讓大家爭論不休。提得最多的問題就是，折紙為什么要比尺規(guī)作圖更強？這是一個好問題。我查了不少資料，了解到不少折紙幾何的歷史，收獲頗大，不趕緊記下來就虧大了。于是有了這篇文章。

    要解答為何折紙如此強大，首先我們得解決一個問題：什么叫折紙。折紙的游戲規(guī)則是什么？換句話說，折紙允許哪些基本的操作？大家或許會想到一些折紙幾何必須遵守的規(guī)則：所有直線都由折痕或者紙張邊緣確定，所有點都由直線的交點確定，折痕一律是將紙張折疊壓平再展開后得到的，每次折疊都要求對齊某些已有幾何元素（不能憑感覺亂折），等等。不過，這些定義都太“空”了，我們需要更加形式化的折紙規(guī)則。 1991 年， Humiaki Huzita 指出了折紙過程中的 6 種基本操作（也可以叫做折紙幾何的公理）：

   

 1. 已知 A 、 B 兩點，可以折出一條經(jīng)過 A 、 B 的折痕

   

 2. 已知 A 、 B 兩點，可以把點 A 折到點 B 上去（想象這張紙是透明的，所有幾何對象正反兩面都能看見，下同）

   

 3. 已知 a 、 b 兩條直線，可以把直線 a 折到直線 b 上去

   

 4. 已知點 A 和直線 a ，可以沿著一條過 A 點的折痕，把 a 折到自身上

   

 5. 已知 A 、 B 兩點和直線 a ，可以沿著一條過 B 點的折痕，把 A 折到 a 上

   

 6. 已知 A 、 B 兩點和 a 、 b 兩直線，可以把 A 、 B 分別折到 a 、 b 上

    容易看出，它們實際上對應(yīng)著不同的幾何作圖操作。例如，操作 1 實際上相當(dāng)于連接已知兩點，操作 2 實際上相當(dāng)于作出已知兩點的連線的垂直平分線，操作 3 則相當(dāng)于作出已知線段的夾角的角平分線，操作 4 則相當(dāng)于過已知點作已知線的垂線。真正強大的則是后面兩項操作，它們確定出來的折痕要滿足一系列復(fù)雜的特征，不是尺規(guī)作圖一兩下能作出來的（有時甚至是作不出來的）。正是這兩個操作，讓折紙幾何有別于尺規(guī)作圖，折紙這門學(xué)問從此處開始變得有趣起來。

    更有趣的是，操作 5 的解很可能不止一個。在大多數(shù)情況下，過一個點有兩條能把點 A 折到直線 a 上的折痕。

    操作 6 則更猛：把已知兩點分別折到對應(yīng)的已知兩線上，最多可以有三個解！

    一組限定條件能同時產(chǎn)生三個解，這讓操作 6 變得無比靈活，無比強大。利用一些并不太復(fù)雜的解析幾何分析，我們能得出操作 6 有三種解的根本原因：滿足要求的折痕是一個三次方程的解。也就是說，給出兩個已知點和兩條對應(yīng)的已知線后，尋找符合要求的折痕的過程，本質(zhì)上是在解一個三次方程！

    讓我們來回顧一下尺規(guī)作圖里的五個基本操作：

 1. 過已知兩點作直線
 2. 給定圓心和圓周上一點作圓
 3. 尋找直線與直線的交點
 4. 尋找圓與直線的交點
 5. 尋找圓與圓的交點

    這五項操作看上去變化多端，但前三項操作都是唯一解，后兩項操作最多也只能產(chǎn)生兩個解。從這個角度來看，尺規(guī)作圖最多只能解決二次問題，加減乘除和不斷開方就已經(jīng)是尺規(guī)作圖的極限了。能解決三次問題的折紙規(guī)則，勢必比尺規(guī)作圖更加強大。

    正因為如此，一些尺規(guī)作圖無法完成的任務(wù)，在折紙幾何中卻能辦到。這就回到了文章開頭提到的問題：用折紙法可以實現(xiàn)作正七邊形，而這是無法用尺規(guī)作圖辦到的。

    我們有更簡單的例子來說明，用折紙法能完成尺規(guī)作圖辦不到的事情?！氨读⒎襟w”問題是古希臘三大尺規(guī)作圖難題之一，它要求把立方體的體積擴大到原來的兩倍，本質(zhì)上是求作 2 的立方根。由于尺規(guī)作圖最多只能開平方，因而它無法完成“倍立方體”的任務(wù)。但是，折紙公理 6 相當(dāng)于解三次方程，解決“倍立方體”難題似乎是游刃有余。

    有意思的是，用紙片折出 2 的立方根比想象中的更加簡單。取一張正方形紙片，將它橫著劃分成三等份（方法有很多，大家不妨自己想想）。然后，將右邊界中下面那個三等分點折到正方形內(nèi)上面那條三等分線上，同時將紙片的右下角頂點折到正方形的左邊界。那么，紙片的左邊界就被分成了 ³√2 : 1 兩段。

    利用勾股定理和相似三角形建立各線段長度的關(guān)系，我們不難證明它的正確性。強烈建議大家自己動筆算一算，來看看三次方程是如何產(chǎn)生的。

    本文寫到這里，大家或許以為故事就結(jié)束了吧。 10 年以后（也就是 2001 年），事情又有了轉(zhuǎn)折： Koshiro Hatori 發(fā)現(xiàn)， Humiaki Huzita 的 6 個折紙公理并不是完整的。 Koshiro Hatori 給出了折紙的第 7 種操作。從形式上看，第 7 公理與已有的公理如出一轍，并不出人意料，很難想象這個公理整整十年里竟然一直沒被發(fā)現(xiàn)。繼續(xù)閱讀之前，大家不妨先自己想想，這個缺失的操作是什么。這段歷史背景無疑讓它成為了一個非常有趣的思考題。

 
 
 
    Koshiro Hatori 補充的公理是：

   

 7. 已知點 A 和 a 、 b 兩直線，可以沿著一條垂直于 b 的折痕，把 A 折到 a 上。

    后來，這 7 條公理就合稱為了 Huzita–Hatori 公理，你可以在 Wikipedia 上讀到這個條目。在 2003 年的一篇文章中， Robert J. Lang 對這些公理進(jìn)行了一番整理和分析，證明了這 7 條公理已經(jīng)包含折紙幾何中的全部操作了。

    Robert J. Lang 注意到了，上述 7 項基本操作其實是由一些更基本的操作要素組合而成的，例如“把已知點折到已知線上”、“折痕經(jīng)過已知點”等等。說得更貼切一些，這些更加基本的操作要素其實是對折痕的“限制條件”。在平面直角坐標(biāo)系中，折痕完全由斜率和截距確定，它等價于一個包含兩個變量的方程。不同的折疊要素對折痕的限制力是不同的，例如“把已知點折到已知點上”就同時要求 x₁' = x₂ 并且 y₁' = y₂ ，可以建立出兩個等量關(guān)系，一下子就把折痕的兩個變量都限制住了。而“折痕經(jīng)過已知點”則只能列出一個方程，只能確定一個變量（形式上通常表示為與另一個變量的關(guān)系），把折痕的活動范圍限制在一個維度里。

    不難總結(jié)出，基本的折疊限制要素共有 5 個：

 (1) 把已知點折到已知點上，確定 2 個變量
 (2) 把已知點折到已知線上，確定 1 個變量
 (3) 把已知線折到已知線上，確定 2 個變量
 (4) 把已知線折到自身上，確定 1 個變量
 (5) 折痕經(jīng)過已知點，確定 1 個變量

    而折痕本身有 2 個待確定的變量，因此符合要求的折紙操作只有這么幾種： (1) ， (2)+(2) ， (3) ， (4)+(4) ， (5)+(5) ， (2)+(4) ， (2)+(5) ， (4)+(5) 。但是，這里面有一種組合需要排除掉： (4)+(4) 。在絕大多數(shù)情況下， (4)+(4) 實際上都是不可能實現(xiàn)的。如果給出的兩條直線不平行，我們無法折疊紙張使得它們都與自身重合，因為沒有同時垂直于它們的直線。

    另外 7 種則正好對應(yīng)了前面 7 個公理，既無重合，又無遺漏。折紙幾何至此便有了一套完整的公理。

    不過，折紙的學(xué)問遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有到此結(jié)束。如果允許單次操作同時包含多處折疊，折紙公理將會更復(fù)雜，更強大。折紙的極限究竟在哪里，這無疑是一個非常激動人心的話題。