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根據(jù)公歷日期計算當(dāng)日干支：
一、口訣：
乘五除四九加日，
雙月間隔三十天。
一二自加整少一，
三五七八十尾前。
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注解：
第三句中的“整少一”，為能被4整除之年一二月份比其他三年都要少加一；第四句反映的是大月規(guī)律，即8月加3、11月加5，依此類推）。
在介紹求年干支和日干支的公式前，先把干支的特點(diǎn)介紹一下。干支是天干和地支的
組合。天干有十個，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二個，即
子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。天干和地支從“甲子”開始，按順
序逐一相配，各用到最后一個時，再從第一個開始繼續(xù)相配，就形成了六十個干支，也稱
“六十花甲子”。為什么是六十個干支呢？這個從數(shù)學(xué)上很容易回答。根據(jù)干支的構(gòu)成條
件，其循環(huán)周期必然是天干數(shù)和地干數(shù)的最小公倍數(shù)。而60正是10和12的最小公倍數(shù)。
如果我們把“甲子”編為1號，“乙丑”編為2號，這樣編下去，就可以得到一個干支
和序號的對照表，如下：
1.甲子 2.乙丑 3.丙寅 4.丁卯 5.戊辰 6.己巳 7.庚午 8.辛未
9.壬申 10.癸酉 11.甲戌 12.乙亥 13.丙子 14.丁丑 15.戊寅 16.己卯
17.庚辰 18.辛巳 19.壬午 20.癸未 21.甲申 22.乙酉 23.丙戌 24.丁亥
25.戊子 26.己丑 27.庚寅 28.辛卯 29.壬辰 30.癸巳 31.甲午 32.乙未
33.丙申 34.丁酉 35.戊戌 36.己亥 37.庚子 38.辛丑 39.壬寅 40.癸卯
41.甲辰 42.乙巳 43.丙午 44.丁未 45.戊申 46.己酉 47.庚戌 48.辛亥
49.壬子 50.癸丑 51.甲寅 52.乙卯 53.丙辰 54.丁巳 55.戊午 56.己未
57.庚申 58.辛酉 59.壬戌 60.癸亥
細(xì)心觀察這張表，不難發(fā)現(xiàn)，由序號得到對應(yīng)干支是很容易的，序號除以10的余數(shù)就
是天干的序數(shù)（如果余數(shù)是0，則為最后一個天干癸），序號除以12的余數(shù)就是地支的序
數(shù)（如果余數(shù)是0，則為最后一個地支亥）。比如37號干支，因為37 mod 10=7（mod表示
取余數(shù)），對應(yīng)的天干是庚，37 mod 12=1，對應(yīng)的地支是子，所以37號干支就是庚子。
顯然，一個整數(shù)除以10的余數(shù)就是它的個位數(shù)，這就使求天干更方便了。
而由干支推它的序號，也不困難。這其實就是一個同余方程組的求解問題，我們用初
等數(shù)論中的中國剩余定理就可以解決。比如要算戊午的序號是多少，根據(jù)上面由序號得到
對應(yīng)干支的原理，很容易得到如下方程組：
{ x mod 10 = 5
{ x mod 12 = 7．
其中x是待求的干支序號。根據(jù)中國剩余定理，有：
x ≡ 6 * 5 - 5 * 7 (mod 60) = 55，
即戊午的序號是55．這和上面的對照表的是一致的。一般地，若天干的序號為m，地支的
序號為n，則干支的序號為：
x ≡ 6m - 5n (mod 60) (1)
簡單點(diǎn)說，如果6m-5n的結(jié)果是正數(shù)，這個數(shù)就是干支的序號；如果是負(fù)數(shù)，把它加上60
就是干支的序號。
了解了干支及其序號的相互推算，下面我們先來介紹年干支的求算。需要說明的是，
干支紀(jì)年紀(jì)的是農(nóng)歷年，而不是公歷年。但因為農(nóng)歷年的歲首和公歷年的歲首相隔較近，
使農(nóng)歷年總是和某一公歷年的大部分重合，因此，通常也用公歷年的年份表示和它大部分
重合的農(nóng)歷年。這樣我們就很容易給出農(nóng)歷年的干支序號為：
x = (Y-3) mod 60， (2)
其中Y是年份。得到了干支序號x，就可以求出相應(yīng)的干支來。比如2004年的干支序號：
x = (2004-3) mod 60 = 2001 mod 60 = 21，
21 mod 10=1，天干為甲，21 mod 12=9，地支為申，因此，2004年是甲申年。
細(xì)心觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)，其實用Y-3直接除以10，就可以得到天干，用Y-3直接除以
12，就可以得到地支。這是因為
x = (Y-3) mod 60
等價于
Y-3 = 60 * n + x，
其中n是Y-3除以60的商數(shù)。等式兩邊同時除以10，余數(shù)也必然相等。而右邊第一項是60的
倍數(shù)，自然也是10的倍數(shù)，能夠被10整數(shù)，于是Y-3除以10的余數(shù)就必然等于x除以10的余
數(shù)。
因此，其實我們完全用不著先求干支的序號，而可以分別求天干和地支，合起來就是干
支，這樣就減少了一步運(yùn)算。而對于年份的天干，同樣只須看末尾一位。末尾為4的年份
的天干總是甲，末尾為5的年份的天干總是乙……依次類推。
再來看日干支的求算。我們可以仿照星期的求算，得到一個比較直觀的計算日干支的
公式如下：
G = (Y-1)*5 + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D + 15， (3)
其中Y是年份，D是累積天數(shù)，[...]表示取商數(shù)，也就是只取計算結(jié)果的整數(shù)部分。把G除
以60，余數(shù)就是干支的序號?；蛘甙袵除以10或12，可以直接得到日天干和日地支。不
過，和形式相似的求星期的公式一樣，這個公式還不夠簡煉，特別是第一項(Y-1)*5，在
Y為四位數(shù)年份時，計算出來的結(jié)果是一個較大的四位數(shù)或五位數(shù)，口算很不方便。
我們用推導(dǎo)蔡勒公式的辦法，可以改進(jìn)這個公式。先來看和年份有關(guān)的部分的改進(jìn)。
我們知道，按公歷的置閏規(guī)則，一個世紀(jì)的總天數(shù)可能是36524天，或36525天。如果這個
世紀(jì)中末尾為00的年份是閏年，這個世紀(jì)就只有36525天；否則就只有36524天。我們不妨
稱有36524天的世紀(jì)為“平世紀(jì)”，有36525天的世紀(jì)為“閏世紀(jì)”。對于平世紀(jì)，因為
36524 mod 60 = 44，
所以，每過一個平世紀(jì)，同一天的干支就向后推進(jìn)44個序號。同樣，每過一個閏世紀(jì)，同
一天的干支就向后推進(jìn)45個序號。這就使我們很容易得到一個計算每個世紀(jì)第一年（年份
末尾為01）3月1日的公式：
G = 44C + [C/4] + 15， (4)
其中C是世紀(jì)數(shù)減一。
而計算任一年3月1日的干支的公式也可以很快得到：
G = 44C + [C/4] + 5(y-1) + [y/4] + 15，
即
G = 44C + [C/4] + 5y + [y/4] + 10， (5)
其中y是年份后兩位數(shù)字。
下面我們再列出每月天數(shù)：
月 份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
---------------------------------------------------------------------------
天 數(shù) 31 28(29) 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31
減30后的
剩余天數(shù) 1 -2(-1) 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1
如果把1月和2月看成是上一年的13月和14月，同樣可以得到下面的式子：
D’ ≡ [3*(M+1) / 5] + d - 2 (mod 10) (6)
及
D’ ≡ [3*(M+1) / 5] + d - 2 + i (mod 12) (奇數(shù)月i=0，偶數(shù)月i=6)， (7)
其中，D’是從3月1日開始算起的累積天數(shù)，M是月份，d是日數(shù)。把(6)(7)兩式和(5)式合
起來，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕啠偷玫搅擞嬎愎珰v任意一天的天干和地支的公式：
g = 4C + [C/4] + 5y + [y/4] + [3*(M+1) / 5] + d - 3； (8)
z = 8C + [C/4] + 5y + [y/4] + [3*(M+1) / 5] + d + 7 + i (奇數(shù)月i=0，偶數(shù)月i=6)
(9)
如果先求得了g，那么
z = g + 4C + 10 + i (奇數(shù)月i=0，偶數(shù)月i=6)． (10)
g的個位數(shù)就是天干序號，z除以12的余數(shù)就是地支序號。這里需要再次強(qiáng)調(diào)：1月和2月是
當(dāng)做上一年的13月和14月來算的，因此C和y也要按上一年的年份來取值。
我們可以把(8)(9)兩式和蔡勒公式對比一下：
W = -2C + [C/4] + y + [y/4] + [13*(M+1) / 5] + d - 1，
可以看出它們的形式非常相似，區(qū)別僅僅是幾個常數(shù)的不同。
盡管現(xiàn)在中國已經(jīng)不用干支紀(jì)日了，但有時還是需要計算日干支的。比如，歷法有所
謂“三伏”和“入梅”“出梅”，都和日干支有關(guān)。三伏包括初伏、中伏和末伏，是指夏
天最熱的一段時間，入梅和出梅是指江南一帶梅雨季節(jié)的開始和結(jié)束，本來是和氣候有關(guān)
的用語。但因為古代沒有準(zhǔn)確的天氣預(yù)報，無法準(zhǔn)確預(yù)測三伏和入出梅的時間，所以就在
歷書上硬性規(guī)定幾個日子作為三伏開始和入出梅的日子，這樣確定一個大致的日期以備參
考。現(xiàn)在雖然有了比較準(zhǔn)確的天氣預(yù)報，但三伏和入出梅作為一種傳統(tǒng)歷法，仍然流傳下
歷法規(guī)定夏至之后的第三個庚日為初伏開始，共十天；第四個庚日為中伏開始，十天
或二十天；立秋之后的第一個庚日為末伏開始，共十天。中伏的長度之所以不固定，是因
為夏至、立秋的日期和庚日的日期是逐年浮動的，立秋之后的第一個庚日可能是夏至之后
的第五個庚日，也可能是第六個庚日。如果是前者，中伏就只有十天；如果是后者，中伏
就長達(dá)二十天。注意如果夏至當(dāng)天是庚日，夏至之后第一個庚日是指夏至之后第十天，而
不是夏至當(dāng)天，這時初伏第一天就是夏至之后第三十天。同樣，如果立秋當(dāng)天是庚日，末
伏第一天就是立秋之后第十天，而不是立秋當(dāng)天。入梅則是指芒種之后的第一個丙日，出
梅是指小暑之后的第一個未日，也有同樣的規(guī)定。
知道了這些，我們可以算一下2004年的初伏、中伏和末伏都是什么日子。這需要先知
道夏至和立秋的日子。如果知道夏至是6月21日，立秋是8月7日，那么運(yùn)用公式(8)，夏至
這天的g為：
g = 4 * 20 + [20/4] + 5*4 + [4/4] + [3*(6+1) / 5] + 21 - 3
= 80 + 5 + 20 + 1 + 4 + 21 - 3
= 128，
個位數(shù)是8，天干是辛。夏至之后第三個庚日就是夏至之后第29天，也就是7月20日，這天
也就是初伏第一天。中伏第一天則是7月30日。同樣可算出立秋這天的g為：
g = 4 * 20 + [20/4] + 5*4 + [4/4] + [3*(8+1) / 5] + 7 - 3
= 80 + 5 + 20 + 1 + 5 + 7 - 3
= 115， 是個戊日。立秋之后第一個庚日就是立秋之后第2天，也即8月9日，這天就是末伏第一
天。由此也可知，2004年的中伏只有十天。同樣可以由芒種和小暑兩節(jié)氣的日期，算出
2004年的入梅日和出梅日分別是6月6日和7月15日。
反過來，知道了年干支和日干支，求相應(yīng)的年份和日期就相對麻煩一點(diǎn)了。因為干
支是循環(huán)使用的，所以必須先知道欲求對應(yīng)年份和日期的干支是屬于哪一次循環(huán)。比如
我們預(yù)先用公式(2)算出來1864、1924、1984年都是甲子年，如果要知道戊戌變法是哪
一年，首先要確定它是十九世紀(jì)末的事情，也即是屬于1864年開始的這一個循環(huán)里。那
么，我們用公式(1)可以算出來戊戌的序號是35，于是戊戌年就是(1864-1)+35=1898年。
之所以要先減一，是因為甲子的序號為1，需要把這個序號先減去。
