萬物皆數(shù)——從幾何化到數(shù)學(xué)化

沈致遠

  “萬物皆數(shù)”，是古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的重要思想，據(jù)說是畢氏等首先從音樂和聲規(guī)律以及天體運動中總結(jié)而成。這種觀點自近代至現(xiàn)代都不乏傳人，從開普勒、萊布尼茨到愛因斯坦、狄拉克，每次都較過去達到了更為深入的理念和層次。如今，物理學(xué)在追求“終極理論”，萬物皆數(shù)再次引起關(guān)注。

   甲：古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派提出：萬物皆數(shù)。

   乙：萬物皆數(shù)代有傳人。伽利略說：“宇宙是一部以數(shù)學(xué)語言寫成的巨作。”開普勒說：“幾何學(xué)在上帝創(chuàng)造萬物前就已存在，為上帝創(chuàng)世提供了模型。”他試圖在金木水火土加上地球這六大行星軌道所在的球面之間，介入五個不同的正多面體。開普勒此舉以失敗告終，卻表達了他對萬物皆數(shù)信念的一種追求。

   甲：英國物理學(xué)家、諾貝爾獎獲得者狄拉克說：“上帝是高明的數(shù)學(xué)家，他用非常先進的數(shù)學(xué)創(chuàng)造宇宙。”

   乙：老子說：“道生一，一生二，二生三，三生萬物。”這也包含了萬物皆數(shù)的意思。

   甲：老子說得更具體：萬物源于道，始于最基本的三個自然數(shù)：一、二、三。

   乙：英雄所見略同。

   甲：科學(xué)家和哲學(xué)家思考到極深處發(fā)現(xiàn)：萬物同源，不同也難。

   乙：麻省理工學(xué)院的泰格馬克（M.Tegmark）教授提出“數(shù)之宇宙假說”[1]，他主張：物理現(xiàn)實是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，不是數(shù)學(xué)描述宇宙，而是宇宙即數(shù)學(xué)。

   甲：這是萬物皆數(shù)現(xiàn)代版。

   乙：泰格馬克提出的只是一種哲學(xué)思考，并無具體方案。

   甲：能想一些根本問題總是好的，即使錯了也知所趨避?？茖W(xué)家要想取得重大突破，就應(yīng)對根本問題不斷進行思考。愛因斯坦深明此理，深思熟慮步步深入。

   乙：是的！愛因斯坦在廣義相對論中將引力歸結(jié)為時空彎曲，異軍突起，石破天驚。

   甲：不僅天驚，天也認可，天文觀測證實了廣義相對論的預(yù)言。最近對廣義相對論的驗證，精確度已達到10-13。

   乙：愛因斯坦從廣義相對論的成功得到啟發(fā)，提出“幾何化”設(shè)想，試圖將萬物皆數(shù)體現(xiàn)為幾何化。

   甲：開普勒的幾何化失敗了，愛因斯坦的廣義相對論卻成功了。這是劃時代的創(chuàng)舉。但廣義相對論的幾何化并不徹底，其基本方程左邊幾何化了，右邊的“能量－動量－張力”張量并未幾何化。據(jù)說愛因斯坦曾戲稱：方程左邊刻在大理石上，右邊是草編的。

   乙：愛因斯坦本人對此非常清楚，他試圖沿幾何化思路探討萬物之理，在某種意義上正是想解決這個問題?？上屡c愿違，物理學(xué)家沿幾何化途徑探討萬物之理，除引力外，其他方面并無進展。在主流理論“標準模型”中，基本粒子全為點粒子，既無拓撲結(jié)構(gòu)也無幾何模型，即為明證。想想看！不是幾個人而是上千人，不是一代人而是幾代人。號稱“全世界最聰明”的一群人，鍥而不舍孜孜以求，探索過每一條歧路，翻轉(zhuǎn)過每一塊石頭……

   甲：“眾里尋他千百度”，是“驀然回首”的時候了。

   乙：對！尋求下一個重大突破，首先要進行反思。

   甲：科學(xué)史一再證明，尋求重大突破不能因循守舊固步自封。突破首先思想上要突破。

   乙：我在想，數(shù)學(xué)包含三個內(nèi)容：數(shù)、形、關(guān)系。幾何論形，只占三分之一。為何只重形而忽視數(shù)與關(guān)系？

   甲：你的意思是從幾何化過渡到數(shù)學(xué)化。

   乙：正是此意。數(shù)學(xué)不僅比幾何更廣泛，而且更基本。

   甲：愿聞其詳。

   乙：萊布尼茨和牛頓各自獨立創(chuàng)立了微積分。他對空間的認識和牛頓不同。牛頓的絕對空間觀認為空間獨立于物體而存在，萊布尼茨否認絕對空間。他的名言：“空間只是物體位置之間的關(guān)系，去掉物體何來空間？好比語句是字母之排列，去掉字母，何來語句？”

   甲：此論深刻。

   乙：是的！尋求萬物之理者屢遭挫折后，想起了萊布尼茨，有人主張放棄空間代之以關(guān)系。另有人不同意，認為此舉背離幾何化。其實從數(shù)學(xué)化觀點看，兩者并不互斥。數(shù)學(xué)包含形和關(guān)系，可兼容并包幾何化與萊布尼茨的關(guān)系論。

   甲：有意思！笛卡兒將代數(shù)與幾何相結(jié)合，創(chuàng)立解析幾何；黎曼將微分與幾何相結(jié)合，創(chuàng)立微分幾何。兩者皆兼容并包數(shù)與形。

   乙：兼容并包不等于平起平坐，數(shù)比形更基本。

   甲：何以見得？

   乙：歐拉提出著名公式：eiπ＋１＝０。

   甲：歐拉公式之所以著名，在于以一個簡單公式聯(lián)系不同類別的數(shù)，包括：數(shù)軸的原點 0，自然數(shù)的起點 1，虛數(shù)的單元 i，以及兩個無理數(shù)e和π。

   乙：e和π均為無理數(shù)，但兩者很不一樣。自然對數(shù)的底e=2.71828…是不變的普適常數(shù)。圓周率π=3.14159…只適用于平面，曲面上的圓周率可以取不同數(shù)值，所以圓周率并非普適常數(shù)。這只是一個例子，關(guān)鍵在于形可變而數(shù)恒定。你可以改變拓撲流形的形狀，但你無法改變1和2以及１+１＝２ 。

   甲：萬物流變，為什么恒定的數(shù)比可變的形更基本呢？

   乙：萬變不離其宗。

   甲：此話怎講？

   乙：萬物之理重在理，理者規(guī)律也。萬物固然流變，其基本規(guī)律不變。探索萬物之理，就是要在萬變中尋求其不變的基本規(guī)律。

   甲：所以你認為，恒定之數(shù)比可變之形更基本；探討萬物之理，應(yīng)該從幾何化過渡到數(shù)學(xué)化。

   乙：數(shù)學(xué)化并不排斥幾何化，而是擴展和提升。愛因斯坦的幾何化是一種抽象，數(shù)學(xué)化則是更進一步的抽象。

   甲：太抽象會不會脫離實際？

   乙：問題不在于抽象而在于是否正確，正確的抽象理論比具體理論更接近實際。拉格朗日和哈密頓將牛頓力學(xué)抽象化，得出的拉格朗日原理不僅包含牛頓力學(xué)，還適用于電動力學(xué)、量子論和相對論。由此可見，正確的抽象不僅更接近實際，而且具有前瞻性。

   甲：言之有理！但我還是有點擔(dān)心。當前對弦論的批評就是“純數(shù)學(xué)脫離實際”，再提倡數(shù)學(xué)化抽象化豈不是火上加油。

   乙：弦論的癥結(jié)是缺少選擇規(guī)則[2]。在其多維空間中，三維以外的多余空間如何卷曲收縮，至少有10200種不同方式，在弦論框架內(nèi)不知何所從。

   甲：于是就提出地貌（landscape）說和多宇宙（multiverse）說，試圖繞過困難。

   乙：困難是繞不過去的，關(guān)鍵是要找到選擇規(guī)則。

   甲：他們找過，就是找不到。

   乙：那是找錯了地方。打個比方，丟了鑰匙，在臥室中找不到，為何不在整個屋子里找？

   甲：我懂你的意思了，數(shù)學(xué)是屋，幾何學(xué)是臥室。應(yīng)該從幾何化擴展為數(shù)學(xué)化。

   乙：對！所以弦論之困境并不在于“純數(shù)學(xué)”，而在于用偏了數(shù)學(xué)。就好像偏食會導(dǎo)致營養(yǎng)不良。

   甲：在整個屋子里也找不到，該怎么辦呢？

   乙：如果弦論確實包含正確因素，選擇規(guī)則一定能找到。否則，只有改弦易轍。

   甲：對！難怪萬物之理候選諸論者中有許多數(shù)學(xué)家。

   乙：還不夠。目前投入的主要是論形者——幾何學(xué)家及拓撲學(xué)家。還需要論數(shù)者——數(shù)論學(xué)家。

   甲：數(shù)論！萬物之理竟與數(shù)論搭界？

   乙：大數(shù)學(xué)家高斯有言：“數(shù)學(xué)是科學(xué)之女王，數(shù)論是數(shù)學(xué)之女王。”承認了第一位女王，就得承認第二位女王。數(shù)論之核心是質(zhì)數(shù)，質(zhì)數(shù)乃眾數(shù)之母。萬物之理數(shù)學(xué)化能少了這位母親嗎？

   甲：好！還有呢？

   乙：還需要概率統(tǒng)計學(xué)家。

   甲：這我能理解。量子論與相對論是物理學(xué)的兩大支柱，萬物之理必須將兩者統(tǒng)一。量子論的核心概念是代表不確定性的概率。

   乙：對！量子論在基本理論中引入不確定性，這一步非常重要。萬物之理應(yīng)在最基本的層面上予以繼承。量子力學(xué)是在對波函數(shù)作解釋時才引入概率。我在想，可否將概率作為基本前提假設(shè)？

   甲：大膽假設(shè)！你能否更具體些？

   乙：更具體就只能猜測了。我覺得，高斯概率分布非常值得注意。

   甲：我完全同意！高斯分布的許多特點具有基本重要性，可在萬物之理數(shù)學(xué)化中擔(dān)任重要角色。萬物之理寄厚望于數(shù)學(xué)家。

   乙：更重要的是，物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家的大同盟；尤其是實驗物理學(xué)家，唯有他們才能請來判官。否則只是紙上談兵。

   甲：萬物皆數(shù)言之成理。

   乙：關(guān)鍵還在于是否持之有故，有待提出具體方案，讓實驗這位鐵面判官來作判決。

   甲和乙：樂觀其成，拭目以待！

   [1] Tegmark M. New Scientist, 2007，195（2621）：38.

   [2] 沈致遠. 科學(xué), 2007, 59（3）: 42.

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