一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

內(nèi)容

人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊“15.2乘法公式”（第一課時）

內(nèi)容解析

《平方差公式》是在學(xué)習(xí)了有理數(shù)運(yùn)算、列簡單的代數(shù)式、一次方程及不等式、整式的加減及整式乘法等知識的基礎(chǔ)上，在學(xué)生已經(jīng)掌握了多項式乘法之后，自然過渡到具有特殊形式的多項式的乘法，是從一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律的典型范例.對它的學(xué)習(xí)和研究，不僅給出了特殊的多項式乘法的簡便算法，而且為以后的因式分解、分式的化簡、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函數(shù)等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)，同時也為完全平方公式的學(xué)習(xí)提供了方法.因此，平方差公式在初中階段的教學(xué)中也具有很重要地位，是初中階段的第一個公式.

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：經(jīng)歷探索平方差公式的全過程，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的運(yùn)算.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

目標(biāo)

1、經(jīng)歷平方差公式的探索過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號感和推理能力、歸納能力；

2、掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的運(yùn)算；

3、會用幾何圖形說明公式的意義，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法.

目標(biāo)解析：

1、讓學(xué)生經(jīng)歷“特例──歸納──猜想──驗證──用數(shù)學(xué)符號表示”這一數(shù)學(xué)活動過程，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號感、推理能力、歸納能力，同時體會數(shù)學(xué)的簡潔美、培養(yǎng)他們的合情推理和歸納的能力以及在解決問題過程中與他人合作交流的重要性.

2、讓學(xué)生了解平方差公式產(chǎn)生的背景，理解平方差公式的意義，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，并能靈活運(yùn)用平方差公式解決問題.在數(shù)學(xué)活動中，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義，并在練習(xí)中，對發(fā)生的錯誤做具體分析，加深學(xué)生對公式的理解.

3、通過自主探究與合作交流的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生經(jīng)歷探索新知、鞏固新知和拓展新知這一過程，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣.同時，讓學(xué)生在公式的運(yùn)用中積累解題的經(jīng)驗，體會成功的喜悅.

三、教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生已熟練掌握了冪的運(yùn)算和整式乘法，但在進(jìn)行多項式乘法運(yùn)算時常常會確定錯某些項符號及漏項等問題．學(xué)生學(xué)習(xí)平方差公式的困難在于對公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義學(xué)生的理解．因此，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生分析公式的結(jié)構(gòu)特征，并運(yùn)用變式訓(xùn)練揭示公式的本質(zhì)特征，以加深學(xué)生對公式的理解．

本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解釋平方差公式，靈活運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計算．

四、教學(xué)過程設(shè)計

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

問題１：計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

（1）（x+1）（x-1）=         ；

（2）（m+2）（m-2）=         ；

（3）=          ；

（4）（2x+1）（2x-1）=         ．

【設(shè)計意圖】通過對特殊的多項式與多項式相乘的計算，既復(fù)習(xí)了舊知，又為下面學(xué)習(xí)平方差公式作了鋪墊，讓學(xué)生感受從一般到特殊的認(rèn)識規(guī)律，引出乘法公式----平方差公式．

（二）探索新知，嘗試發(fā)現(xiàn)

問題２：依照以上四道題的計算回答下列問題：

     ①式子的左邊具有什么共同特征？

     ②它們的結(jié)果有什么特征？

     ③能不能用字母表示你的發(fā)現(xiàn)？

師生活動：教師提問，學(xué)生通過自主探究、合作交流，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，式子左邊是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，右邊是這兩個數(shù)的平方差，并猜想出：．

【設(shè)計意圖】根據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”理論，在學(xué)生已掌握的多項乘法法則的基礎(chǔ)上,探索具有特殊形式的多項式乘法──平方差公式，這樣更加自然、合理．

　　（三）數(shù)形結(jié)合，幾何說理

問題3：活動探究：將長為（a+b），寬為（a－b）的長方形，剪下寬為b的長方形條，拼成有空缺的正方形，并請用等式表示你剪拼前后的圖形的面積關(guān)系． 

【設(shè)計意圖】通過學(xué)生小組合作，完成剪拼游戲活動,利用這些圖形面積的相等關(guān)系,進(jìn)一步從幾何角度驗證了平方差公式的正確性,滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生體會到代數(shù)與幾何的內(nèi)在聯(lián)系．引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從多角度、多方面來思考問題．對于任意的a、b，由學(xué)生運(yùn)用多項式乘法計算：，驗證了其公式的正確性．

（四）總結(jié)歸納，發(fā)現(xiàn)新知

問題4：你能用文字語言表示所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差．

【設(shè)計意圖】鼓勵學(xué)生用自己的語言表述，從而提高學(xué)生的語言組織與表達(dá)能力．

（五）剖析公式，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)

在平方差公式中，其結(jié)構(gòu)特征為：

①左邊是兩個二項式相乘，其中“a與a”是相同項，“b與-b”是相反項；右邊是二項式，相同項與相反項的平方差，即；

②讓學(xué)生說明以上四個算式中，哪些式子相當(dāng)于公式中的a和b，明確公式中a和b的廣泛含義，歸納得出：a和b可能代表數(shù)或式．

【設(shè)計意圖】通過觀察平方差公式，體驗公式的簡潔性并通過分析公式的本質(zhì)特征掌握公式．在認(rèn)清公式的結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步剖析a、b的廣泛含義，抓住了概念的核心，使學(xué)生在公式的運(yùn)用中能得心應(yīng)手，起到事半功倍的效果．

（六）鞏固運(yùn)用，內(nèi)化新知

問題5：判斷下列算式能否運(yùn)用平方差公式計算：

（1）（2x+3a）（2x–3b）；         （2）；

（3）（－m+n）（m－n）；          （4）；

（5）；      （6）．

【設(shè)計意圖】學(xué)生經(jīng)過思考、討論、交流，進(jìn)一步熟悉平方差公式的本質(zhì)特征，掌握運(yùn)用平方差公式必須具備的條件．鞏固平方差公式，進(jìn)一步體會字母a、b可以是數(shù)，也可以是式，加深對字母含義廣泛性的理解．

問題6：判斷下列計算是否正確：

    （1）（2a–3b）（2a–3b）=4a²－9b²           （       ）

    （2）（x+2）（x – 2）=x²－2                   （       ）

（3）（－3a－2）（3a－2）=9a²－4             （       ）

（4）                （       ）

【設(shè)計意圖】對學(xué)生常出現(xiàn)的錯誤，作具體的分析，以加深學(xué)生對公式的理解，進(jìn)一步掌握平方差公式的本質(zhì)特征和運(yùn)用平方差公式必須具備的條件．

問題7：計算：

（1）（2x +3）（3x－3）；（2）（b+2a）（2a－b）；（3）．

解：（1）（2x + 3）（2x –3）=（2x）²－3²  = 4x ²－9

   （2）（b+2a）（2a－b）

       =（2a）²－b²

       =4a²－b²

（3）

＝

＝

【設(shè)計意圖】解決操作層面問題．可提議用不同方法計算，以體現(xiàn)學(xué)生的創(chuàng)造性．

（七）拓展深化，發(fā)展思維

　　問題8：計算：

（1）98×（－102）；   （2）．

【設(shè)計意圖】把相乘兩數(shù)轉(zhuǎn)化成兩數(shù)和與兩數(shù)差的乘積形式，此題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)式通性；另一題是平方差公式與一般多項式乘法的綜合，注意不能用公式的仍按多項式乘法法則進(jìn)行．

　　問題9：小明家有一塊“L”形的自留地，現(xiàn)在要分成兩塊形狀、面積相同的部分，種上兩種不同的蔬菜，請你來幫小明設(shè)計，并算出這塊自留地的面積．

【設(shè)計意圖】運(yùn)用平方差公式解決實(shí)際問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活，學(xué)生感受到學(xué)習(xí)了有用的數(shù)學(xué)，設(shè)計此題與平方差公式的幾何意義相吻合，加深學(xué)生對平方差公式的理解．

（八）小試牛刀，挑戰(zhàn)自我

1．計算：

2．在下列括號中填上合適的多項式：

3．看誰算得快：

【設(shè)計意圖】設(shè)計此組題旨在從正反兩方面靈活運(yùn)用平方差公式，由結(jié)果追溯算式中的相同項和相反項，關(guān)鍵在于理解公式結(jié)構(gòu)特征，同時鍛煉了學(xué)生逆向思維能力，也為后續(xù)的學(xué)習(xí)做了鋪墊．第2個填空題有兩種填法，屬開放設(shè)計．目的是加強(qiáng)學(xué)生對公式結(jié)構(gòu)特征的理解，同時也鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維．

（九）總結(jié)概括，自我評價

問題10：這節(jié)課你有哪些收獲？還有什么困惑？

【設(shè)計意圖】從知識和情感態(tài)度兩個方面加以小結(jié)，使學(xué)生對本節(jié)課的知識有一個系統(tǒng)全面的認(rèn)識．

（十）課后作業(yè)

必做題：P156習(xí)題15.2   1

選做題：1．，則A的末位數(shù)是_______．

2．計算：（1）；

                      （2）；

            （3）；

            （4）．

【設(shè)計意圖】作業(yè)分層處理有較大的彈性，體現(xiàn)作業(yè)的鞏固性和發(fā)展性原則，尊重學(xué)生的個體差異，滿足多樣化的學(xué)習(xí)需要，讓不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展．

六.目標(biāo)檢測設(shè)計

一、選擇題：

1．下列多項式乘法中，可以用平方差公式計算的是（　 　）

A.　　　　　　　B.

C.　  　　D.

2．下列計算中，結(jié)果正確的是（     ）

A.　　　　　　　　 　B.＝25－4

C.　　  D.

二、填空題：

3．計算： ；

4．計算：；

5．(_____－4b)(_____+4b)=9a²－16b²．

三、計算：

6.；                   7.；

8．；                  9．53×47.

四、解答題：

10.已知：兩個正方形的周長之和等于32cm，它們的面積之差為48cm²，求這兩個正方形的邊長.

　　【設(shè)計意圖】對本節(jié)重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行現(xiàn)場檢測，及時了解教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成情況．