──數(shù)學(xué)教育熱點(diǎn)問(wèn)題系列訪談錄之三

史寧中，濮安山

(東北師范大學(xué)  教育科學(xué)學(xué)院，吉林  長(zhǎng)春  130024）

摘要：代數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的重要內(nèi)容，而函數(shù)又是代數(shù)的核心知識(shí)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)的難點(diǎn)。從中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)中關(guān)于函數(shù)概念的幾種定義出發(fā)，討論了函數(shù)的本質(zhì)和學(xué)習(xí)函數(shù)的要點(diǎn)以及課程設(shè)計(jì)的原則。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；課程；教學(xué)；函數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6　  文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：D

20世紀(jì)以來(lái)，世界各國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于代數(shù)的內(nèi)容逐漸從以解方程為中心轉(zhuǎn)到以研究函數(shù)為中心。 ^［1］現(xiàn)在，函數(shù)概念已經(jīng)成為中學(xué)數(shù)學(xué)中最為重要的概念之一。因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革中，理解函數(shù)思想，把握函數(shù)本質(zhì)，處理好函數(shù)的教學(xué)是很重要的。針對(duì)上述問(wèn)題，我對(duì)史寧中教授進(jìn)行了訪談，下面是經(jīng)過(guò)整理后的訪談?dòng)涗洝?/span>

一、函數(shù)及其思想

問(wèn)：函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，函數(shù)定義的形成經(jīng)歷了較長(zhǎng)的演變過(guò)程，您可以談?wù)労瘮?shù)定義的發(fā)展歷史嗎？

▲史教授：是的，函數(shù)定義的形成確實(shí)經(jīng)歷了較長(zhǎng)的時(shí)間。即使在今天，在我們數(shù)學(xué)教科書(shū)中，函數(shù)的定義在初中、高中、大學(xué)還是有所不同的，這也從一個(gè)側(cè)面反映了函數(shù)定義的發(fā)展歷史。

最初，是德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨（Leibniz）在他的一部手稿中，用到了Function一詞。是用來(lái)表示任何一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)變動(dòng)而變動(dòng)的量，例如，切線、法線、次切線等的長(zhǎng)度和縱坐標(biāo)等，那是在17世紀(jì)（1673年）。 ^［2］

到了18世紀(jì)（1718年），貝努利（Bernoulli）給出了函數(shù)的解析定義：是由變量x和常數(shù)組成的式子。

歐拉（Euler）首先給出了函數(shù)的變量定義（1755年）：“如果某變量以如下方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后者變化時(shí)，前者本身也發(fā)生變化，則稱(chēng)前一個(gè)變量是后一些變量的函數(shù)。”可以看到，我國(guó)初中數(shù)學(xué)教科書(shū)中關(guān)于函數(shù)的定義就采用了這一說(shuō)法。

后來(lái)，黎曼（Riemann）給出了函數(shù)的對(duì)應(yīng)定義（1851年）：“我們假定Z是一個(gè)變量，如果對(duì)它的每一個(gè)值，都有未知量W的一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)W是Z的函數(shù)。”這可以被看作我國(guó)高中數(shù)學(xué)教科書(shū)中關(guān)于函數(shù)定義的雛形。

到了上個(gè)世紀(jì)（1939年），布爾巴基學(xué)派認(rèn)為，函數(shù)的定義應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)關(guān)系，于是借用了笛卡兒積：若X、Y是兩個(gè)集合，二者的笛卡兒積是指集合{（x,y|x∈X，y∈Y）}，笛卡兒積中的子集F被稱(chēng)為x與y之間的一種關(guān)系。如果關(guān)系F滿足：對(duì)于每一個(gè)x∈X，都存在唯一的一個(gè)Y，使得（x,y）∈F，則稱(chēng)F是一個(gè)函數(shù)。在美國(guó)中學(xué)的一些教科書(shū)中就采用了這種定義， ^［3］我國(guó)的一些大學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)也有采用這種定義的。 ^［4］

有時(shí)，分別稱(chēng)上述三種定義為變量說(shuō)、對(duì)應(yīng)說(shuō)和關(guān)系說(shuō)。

問(wèn)：既然函數(shù)的定義可以是多樣的，那么函數(shù)定義的核心思想是什么呢？

▲史教授：我認(rèn)為，在整個(gè)基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)的核心是研究關(guān)系，具體來(lái)說(shuō)研究三種關(guān)系，即數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系和隨機(jī)關(guān)系，我在一篇文章中曾經(jīng)談到這一點(diǎn)。 ^［5］函數(shù)研究的是兩個(gè)變量之間的數(shù)量關(guān)系：一個(gè)變量的取值發(fā)生了變化，另一個(gè)變量的取值也發(fā)生變化，這就是函數(shù)表達(dá)的數(shù)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。其中有三點(diǎn)是重要的：一是變量的取值是實(shí)數(shù)；二是因變量的取值是唯一的；三是必須借助數(shù)字以外的符號(hào)來(lái)表示函數(shù)。我想，這些就是函數(shù)定義的核心思想。關(guān)于符號(hào)表達(dá)，無(wú)論是借助解析式，還是利用圖像或者列表都是可以的。

問(wèn)：函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，您能否談一下在中學(xué)學(xué)習(xí)函數(shù)的重要性？

▲史教授：在中學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)要突出函數(shù)的內(nèi)容，這是數(shù)學(xué)家們長(zhǎng)期實(shí)踐后得出的結(jié)論?？巳R因（F.Klein）在為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)起草的《米蘭大綱》（1905年）中明確提出：“應(yīng)將養(yǎng)成函數(shù)思想和空間觀察能力作為數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)。”在他的名著《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》中，他進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)用近代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)改造傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，主張加強(qiáng)函數(shù)和微積分的教學(xué)，改革和充實(shí)代數(shù)的內(nèi)容。 ^{［6］（19—21）}

剛才已經(jīng)談到，要表達(dá)函數(shù)必須借助數(shù)字以外的符號(hào)。利用符號(hào)表達(dá)是具有一般性的，因此函數(shù)表達(dá)是數(shù)字表達(dá)的抽象和深化。同時(shí)，利用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算和推理所得到的結(jié)論也是具有一般性的，正因?yàn)檫@一點(diǎn)，使得人們能夠借助函數(shù)構(gòu)建模型，能夠更好地刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系，并且通過(guò)數(shù)量關(guān)系的研究來(lái)解釋現(xiàn)實(shí)世界。這不僅僅體現(xiàn)在自然科學(xué)、體現(xiàn)在工程技術(shù)上，也逐漸廣泛地體現(xiàn)在人文社會(huì)科學(xué)上：世界萬(wàn)物之間的聯(lián)系與變化都有可能以各種不同的函數(shù)作為它們的數(shù)學(xué)模型。這些，又促使數(shù)學(xué)家們深入地研究各種函數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算以及與空間形式的關(guān)聯(lián)，使得數(shù)學(xué)經(jīng)歷了從常量到變量、從有限到無(wú)限、從低維到高維的發(fā)展，一批新的數(shù)學(xué)分支應(yīng)運(yùn)而生。因此，無(wú)論是從數(shù)學(xué)的應(yīng)用還是從數(shù)學(xué)本身的發(fā)展上，函數(shù)的重要性怎么說(shuō)都不過(guò)分。

問(wèn)：函數(shù)、方程、不等式都是中學(xué)代數(shù)的重要數(shù)學(xué)內(nèi)容，您能否談一談它們之間的聯(lián)系和區(qū)別？

▲史教授：函數(shù)、方程、不等式是從不同角度刻畫(huà)變量之間的數(shù)量關(guān)系，它們之間是有關(guān)聯(lián)的，但又有本質(zhì)的區(qū)別。比如，令f（x）=x²-3x-4，這是一個(gè)函數(shù)。表面上看，f(x)=0與方程x²=3x+4是等價(jià)的，但是二者所表達(dá)的意義是不同的：前者表示函數(shù)取0值，而后者表示變量之間的等量關(guān)系。同樣，f(x)＞0與不等式x²＞3x+4所表達(dá)的意義也是不同的。在解決具體問(wèn)題時(shí)應(yīng)當(dāng)注意它們之間的關(guān)聯(lián)，比如，在求不等式的解的過(guò)程中，可以先求出等式的解，借助等式的解畫(huà)出函數(shù)的圖像，然后通過(guò)函數(shù)的圖像寫(xiě)出不等式的解。

二、函數(shù)的課程設(shè)計(jì)

問(wèn)：剛才您已經(jīng)談到，關(guān)于函數(shù)的定義我國(guó)初中和高中的數(shù)學(xué)教科書(shū)中是有所不同的，您認(rèn)為這種課程設(shè)計(jì)是合理的嗎？

▲史教授：我認(rèn)為，整個(gè)基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)教育，應(yīng)當(dāng)從課程設(shè)計(jì)的角度統(tǒng)籌考慮。我們應(yīng)當(dāng)清楚每個(gè)年齡段的學(xué)生適于學(xué)習(xí)什么，怎樣學(xué)。說(shuō)得詳細(xì)些，如果把小學(xué)分為兩個(gè)學(xué)段，初中和高中各為一個(gè)學(xué)段，則在基礎(chǔ)教育階段共有四個(gè)學(xué)段。第一學(xué)段不要過(guò)多地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，因?yàn)槟菚r(shí)的孩子還不能很好地理解數(shù)學(xué)所表達(dá)的意義；第二階段不要過(guò)多地涉及邏輯，因?yàn)閷W(xué)生還沒(méi)有建立起足夠的可以理解邏輯的概念；第三階段不要過(guò)多地涉及形式化的抽象，因?yàn)槭紫纫囵B(yǎng)學(xué)生基于物理屬性的、基于本原的抽象；到了第四階段，可以逐漸讓學(xué)生接觸形式化的抽象概念。

上述想法是否合理是需要驗(yàn)證的，需要通過(guò)數(shù)據(jù)調(diào)查與分析。如果是合理的，那么關(guān)于函數(shù)概念的定義在初中數(shù)學(xué)教科書(shū)中采用變量說(shuō)，在高中數(shù)學(xué)教科書(shū)采用對(duì)應(yīng)說(shuō)是有道理的。特別是，在初中階段學(xué)生已經(jīng)掌握了函數(shù)知識(shí)的主干部分，到高中階段再進(jìn)一步發(fā)展和擴(kuò)充，也是符合布魯納所主張的建構(gòu)主義方法的。 ^{［6］（50—51）}

問(wèn)：函數(shù)概念比較抽象，學(xué)生不容易理解，您是否可以談一談在數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)上如何處理這個(gè)問(wèn)題？

▲史教授：函數(shù)概念本身就不好理解，又是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中第一次遇到的一般意義的抽象概念，學(xué)生對(duì)其理解有困難是不言而喻的。國(guó)外關(guān)于函數(shù)教學(xué)的研究也表明了這一點(diǎn)：函數(shù)概念有許多復(fù)雜的層次和許多相關(guān)的下層概念。這樣，函數(shù)確實(shí)變成了中學(xué)數(shù)學(xué)中最難教、最難學(xué)的概念之一。因此，針對(duì)這樣的概念，我們不要期望一堂課或者幾堂課就能讓學(xué)生很好地理解，應(yīng)當(dāng)通過(guò)各種具體的例子和習(xí)題的分析幫助學(xué)生理解函數(shù)概念。

至于函數(shù)概念的引入，一般來(lái)說(shuō)有兩種處理辦法：一種是從一般到特殊，直接給出函數(shù)的概念，然后舉例加以說(shuō)明；另一種是從特殊到一般，先舉一些學(xué)生熟悉的特殊例子，通過(guò)對(duì)這些例子的分析，抽象出函數(shù)的本質(zhì)屬性，然后歸納出函數(shù)的定義。我想，在初中階段用后一種方法可能比較合適，而在高中階段用前一種方法可能比較合適。有了初中的基礎(chǔ)，在高中階段直接給出定義，可以與初中的定義比較，在差異中加深理解。

問(wèn)：為了加強(qiáng)對(duì)函數(shù)的理解，您認(rèn)為在中學(xué)數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)中還要注意哪些？

▲史教授：還要幫助學(xué)生樹(shù)立建立模型的思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在函數(shù)的重要性那里我已經(jīng)談到，函數(shù)是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的抽象，是具有一般性的，是建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。因此通過(guò)建立模型、分析模型、求解模型、解釋規(guī)律等過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)是一個(gè)好的學(xué)習(xí)途徑。一定要注意到，在建立模型的過(guò)程中，除了分析的方法之外，還有嘗試的方法，就是先用具體的數(shù)值計(jì)算一些特殊的情況，然后再歸納出一般的模型。比如雞兔同籠問(wèn)題，可以先用具體的數(shù)計(jì)算一下，摸索頭的數(shù)與腿的數(shù)之間的關(guān)系，然后再尋求一般的結(jié)論。

在這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程中幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是重要的。要使學(xué)生在實(shí)踐活動(dòng)中感悟：數(shù)學(xué)不僅僅需要演繹，也需要?dú)w納。所謂歸納推理（包括類(lèi)比）是指一類(lèi)事物中，部分事物具有某種屬性，推斷這一類(lèi)事物都具有這種屬性，這是一個(gè)由特殊到一般的過(guò)程。而演繹推理則恰恰相反，是從已有的事實(shí)（公理、定義、定量等）出發(fā)，按照一定的法則（包括運(yùn)算法則）進(jìn)行推理，是從一般到特殊的過(guò)程?？梢韵胂?，前者利于推測(cè)結(jié)論，后者利于驗(yàn)證結(jié)論，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，這二者缺一不可。可以想象，通過(guò)類(lèi)似建立數(shù)學(xué)模型這樣的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力，在實(shí)踐中應(yīng)用函數(shù)，從而加深對(duì)函數(shù)的理解。

問(wèn)：函數(shù)和中學(xué)數(shù)學(xué)的其他內(nèi)容有著密切的聯(lián)系，您認(rèn)為在課程設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)當(dāng)如何協(xié)調(diào)好這些關(guān)系？

▲史教授：關(guān)鍵要處理好函數(shù)與圖形的關(guān)系。正如萊布尼茨提出Function這個(gè)名詞時(shí)所思考的那樣，函數(shù)與圖形有著密不可分的關(guān)聯(lián)。一方面，只有借助圖形才能使毫無(wú)生機(jī)的數(shù)學(xué)符號(hào)變得形象，使得學(xué)生可以直觀地把握函數(shù)的特性，把握函數(shù)中系數(shù)的作用，分析函數(shù)的變化規(guī)律、函數(shù)的定義域、函數(shù)取正值或者負(fù)值的區(qū)間，等等；另一方面，借助平面直角坐標(biāo)系，通過(guò)函數(shù)可以把代數(shù)與幾何有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，可以讓學(xué)生感悟：有些幾何問(wèn)題可以利用代數(shù)的方法進(jìn)行研究，有些代數(shù)問(wèn)題則可以利用幾何的直觀進(jìn)行分析。根據(jù)這個(gè)理由，我想，雖然在課程標(biāo)準(zhǔn)中，平面直角坐標(biāo)系是放在幾何部分闡述的，但是進(jìn)行課程設(shè)計(jì)時(shí)可以根據(jù)需要，與函數(shù)同時(shí)出現(xiàn)。

因?yàn)楹瘮?shù)的知識(shí)、方法和思想是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，所以在課程設(shè)計(jì)時(shí)還應(yīng)當(dāng)考慮知識(shí)的銜接和前后呼應(yīng)。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中，把立體幾何安排在第一學(xué)期，把三角函數(shù)安排在第二學(xué)期，如果在解決立體幾何問(wèn)題時(shí)用到三角函數(shù)就會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題。特別是，學(xué)生在初中階段已經(jīng)接觸到函數(shù)了，到了高中可以趁熱打鐵。

三、函數(shù)的教學(xué)

問(wèn)：您談到在函數(shù)的教學(xué)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)使學(xué)生加深對(duì)函數(shù)的理解，您能否談得再詳細(xì)一些？

▲史教授：一個(gè)好的教學(xué)應(yīng)當(dāng)能夠?qū)崿F(xiàn)下面兩條：一是能夠引發(fā)學(xué)生思考、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，另一是能夠培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣、掌握有效的學(xué)習(xí)方法。簡(jiǎn)單明了、切中要害的例子是幫助學(xué)生加深理解最好的媒介，一位好的教師應(yīng)當(dāng)掌握一些具體的例子，這樣在教學(xué)過(guò)程中可以根據(jù)學(xué)生的反映舉出簡(jiǎn)單一些或者復(fù)雜一些的例子，引發(fā)學(xué)生思考，幫助學(xué)生理解。良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和有效的學(xué)習(xí)方法是需要日積月累的，有效的學(xué)習(xí)方法包括獨(dú)立思考、善于嘗試、能夠提出有意義的問(wèn)題。所以我曾經(jīng)談到，在進(jìn)行函數(shù)教學(xué)的過(guò)程中應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生用具體的數(shù)試一試。

剛才我已經(jīng)談到，函數(shù)與圖形的聯(lián)系是非常重要的，因此在教學(xué)過(guò)程中要利用圖形，在有條件的地方可以用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)。幾何畫(huà)板制作的教學(xué)課件可能會(huì)有助于學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的直觀理解。

問(wèn)：學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的學(xué)習(xí)有這樣一種現(xiàn)象，如求函數(shù)的定義域、值域等技巧性很強(qiáng)的問(wèn)題解決得很好，但對(duì)函數(shù)概念的理解卻不是很深刻，請(qǐng)您談?wù)勥@和教學(xué)是否有關(guān)系。

▲史教授：你說(shuō)的這種現(xiàn)象是存在的。形成這種現(xiàn)象的原因是多方面的，有考試的，有教學(xué)的，也有歷史文化方面的。記得有一篇文章談到：西方人主張“理解、理解、理解”，而我們則多半主張“練習(xí)、練習(xí)、練習(xí)”。 ^［7］最近，我聽(tīng)說(shuō)有的學(xué)校要求學(xué)生：“一看就會(huì)，一做就對(duì)。”為了做到這一點(diǎn)，在課堂教學(xué)時(shí)就必須進(jìn)行大量的解題訓(xùn)練，甚至是相當(dāng)繁雜題目的解題訓(xùn)練。他們讓學(xué)生練習(xí)的目的不是為了加深對(duì)知識(shí)的理解，而是為了加強(qiáng)對(duì)技巧的掌握，是為了“熟能生巧”，認(rèn)識(shí)只有通過(guò)這樣的訓(xùn)練才能應(yīng)付考試。他們的想法是不對(duì)的，在這種想法之下是不可能派生出好的教學(xué)的。應(yīng)當(dāng)知道，知識(shí)的理解往往是具有一般性的，可以舉一反三，可以再創(chuàng)造，技能的掌握則往往是個(gè)案的，需要親身經(jīng)歷，需要記憶。因此，幫助學(xué)生理解才是最重要的，因?yàn)槔斫獗仨毥?jīng)過(guò)學(xué)生的獨(dú)立思考，才能使學(xué)生真正地掌握知識(shí)，從而能夠真正地掌握技巧，甚至發(fā)明技巧，才能以不變應(yīng)萬(wàn)變。我想，要求學(xué)生能夠熟練地回答問(wèn)題是不必要的，時(shí)間長(zhǎng)一點(diǎn)只要把問(wèn)題做出來(lái)就可以了。不經(jīng)過(guò)思考的解題不是數(shù)學(xué)教學(xué)。另一方面，在教學(xué)活動(dòng)中的大量重復(fù)訓(xùn)練必然要破壞數(shù)學(xué)的趣味性，引起學(xué)生的反感，抑制學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，更談不到創(chuàng)新人才的培養(yǎng)了。

你問(wèn)到函數(shù)的定義域和值域。事實(shí)上，要理解函數(shù)就必須理解定義域和值域，因?yàn)檫@些是函數(shù)的基本概念。在一般情況下，根據(jù)問(wèn)題的背景可以先得到定義域，然后通過(guò)函數(shù)的變化規(guī)律得到值域；在有些情況下，希望控制函數(shù)在某一個(gè)區(qū)間取值，于是就先得到了值域，然后反推定義域。通過(guò)練習(xí)，很好地理解定義域和值域，對(duì)于深入理解函數(shù)性質(zhì)是很重要的。但是，那些在求定義域和值域中加了許多花樣的題目，不是在求定義域和值域，而是在進(jìn)行代數(shù)方程的運(yùn)算。這樣的技巧訓(xùn)練，往往會(huì)破壞學(xué)生對(duì)函數(shù)的定義域和值域本身的理解，是不可取的。

四、函數(shù)的學(xué)習(xí)

問(wèn)：函數(shù)通常有三種表示形式，這是不是造成學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)困難的原因呢？應(yīng)當(dāng)如何理解函數(shù)的表示形式？

▲史教授：我想，表示方法本身不應(yīng)當(dāng)是學(xué)生理解函數(shù)概念困難的主要原因。正如我剛才談到的，函數(shù)是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中第一次遇到的具有一般意義的抽象概念，在這個(gè)定義下可以派生出許許多多具體的函數(shù)。對(duì)于初中學(xué)生來(lái)說(shuō)，對(duì)于這種多層次概念的理解是需要時(shí)間和經(jīng)驗(yàn)積累的，如果在這個(gè)時(shí)候不能很好地處理函數(shù)的表達(dá)形式，必將引起學(xué)生的困惑。因此，在教學(xué)過(guò)程中，先不要忙于教三種表達(dá)形式，而要讓學(xué)生通過(guò)各種實(shí)例，逐漸熟悉了函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系之后，再適時(shí)地歸納出函數(shù)通常的三種表達(dá)形式。事實(shí)上，表達(dá)形式不是函數(shù)的本質(zhì)，對(duì)應(yīng)關(guān)系才是重要的。

雖然函數(shù)通常有三種表達(dá)形式，但功能是有所區(qū)別的。解析式是最常用的方法，適用于表述連續(xù)函數(shù)或者分段函數(shù)，解析式有利于研究函數(shù)的性質(zhì)、構(gòu)建教學(xué)模型，但對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)也是最抽象的；列表法適用于表述變量取值是離散的情況；利用圖像法可以直觀地表述函數(shù)的形態(tài)，有利于分析函數(shù)的性質(zhì)，但作圖是比較困難的。世間沒(méi)有十全十美的方法，可以根據(jù)討論問(wèn)題的不同選擇恰當(dāng)?shù)谋硎拘问健?/span>

問(wèn)：您能否針對(duì)函數(shù)概念的形式化，再談?wù)剬W(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)遇到的困難？

▲史教授：這是一個(gè)非常普遍的問(wèn)題。正如我剛才談到的，學(xué)生第一次接觸如此形式化的概念，感到困惑是自然的。應(yīng)當(dāng)注意到，初中階段是人的身心發(fā)育最為顯著的階段，也是形成人的基本觀念的重要階段，這個(gè)階段的學(xué)生開(kāi)始希望自己獨(dú)立思考，并且有能力進(jìn)行獨(dú)立思考了。正如皮亞杰（Piaget）說(shuō)的那樣，十一二歲的兒童已經(jīng)到了形式操作（Formal Operations）階段，可以區(qū)分思維形式與思維內(nèi)容，能夠運(yùn)用假設(shè)進(jìn)行各種邏輯推理（J.Piaget,The Principles of Genetic Epistemology,Routledge & Kegan Paul Ltd.,1972（W.Mays從1970年的法文版翻譯成英文））。我們的教學(xué)必須充分考慮到這一點(diǎn)，只要教學(xué)得當(dāng)，學(xué)生是可以理解形式化的概念的。但這種形式化要建立在物理的背景之下，讓學(xué)生逐漸熟悉形式化的概念。

對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，最難于理解的大概是形式化的反函數(shù)。這不僅僅是抽象的問(wèn)題，還涉及辯證的思維。再有一個(gè)是變量的概念。研究表明，初中階段還有很大一部分學(xué)生不能用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)來(lái)看待問(wèn)題。但是變量是從算術(shù)提升到代數(shù)的關(guān)鍵，必須通過(guò)一些實(shí)例讓學(xué)生逐漸感悟：變量的研究具有一般性，這是建立數(shù)學(xué)模型的根本，也是數(shù)學(xué)的根本。不過(guò)，這些概念的形成必須引導(dǎo)學(xué)生自己逐漸感悟。只有到高中階段，學(xué)生才能對(duì)其所理解的概念，作出較全面的反應(yīng)本質(zhì)特征和屬性的合乎邏輯的定義。 ^［8］

作者簡(jiǎn)介：史寧中（1950—  ），江蘇南京人，博士，教授，統(tǒng)計(jì)學(xué)博士生導(dǎo)師，數(shù)學(xué)教育博士生導(dǎo)師，東北師范大學(xué)校長(zhǎng)；濮安山（1965—  ），黑龍江哈爾濱人，哈爾濱師范大學(xué)副教授，東北師范大學(xué)博士生，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)課程與教學(xué)論。

參考文獻(xiàn)：

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