【同步教育信息】

一. 本周教學(xué)內(nèi)容：

互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率；相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率

二. 本周教學(xué)重、難點(diǎn)：

1. 重點(diǎn)：

（1）了解互斥事件的意義，會(huì)用互斥事件的概率加法公式計(jì)算一些事件的概率。

（2）相互獨(dú)立事件，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率，相互獨(dú)立事件的概率乘法公式。

2. 難點(diǎn)：

（1）把復(fù)雜事件分拆成彼此互斥的簡單事件，求簡單事件的基本事件數(shù)。

（2）判斷各事件之間是否獨(dú)立。

【典型例題】

[例1] 在20件產(chǎn)品中，有15件一級品；5件二級品，從中任取3件，其中至少有1件為二級品的概率是多少？

解法一：基本事件總數(shù)為，從20件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有1件二級品的事件為，恰有2件二級品的事件為，恰有3件二級品的事件為，則

   =

解法二：

[例2] 從10個(gè)數(shù)字0，1，2，……，9中取4個(gè)不重復(fù)的數(shù)字排四位數(shù)，能排成一個(gè)4位偶數(shù)的概率是多少？

解：試驗(yàn)結(jié)果的總數(shù)為種情況，設(shè)所求事件為A，因?yàn)橐蟮氖桥紨?shù)，所以個(gè)位數(shù)字只能取0，2，4，6，8中的任何一個(gè)，它需要分兩種情況：（1）個(gè)位數(shù)是0時(shí)，其余三位數(shù)可從1，2，……，9中選出，共有種；（2）當(dāng)個(gè)位數(shù)取2，4，6，8中任何一個(gè)時(shí)，還需從其余的9個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，共有種。由于0不能放在首位（而0在首位有種），故以2，4，6，8為個(gè)位的四位偶數(shù)共有，于是能排成一個(gè)4位偶數(shù)的概率為。

[例3] 在一只袋子中裝有7個(gè)紅玻璃球和3個(gè)綠玻璃球，從中無放回地任意抽取兩次，每次只取一個(gè)。試求：

（1）取得兩個(gè)紅球的概率；

（2）取得兩個(gè)綠球的概率；

（3）取得兩個(gè)同顏色的球的概率；

（4）至少取得一個(gè)紅球的概率。

解：從10個(gè)球中先后取2個(gè)，共有種不同取法。

（1）由于取得兩個(gè)紅球的情況有種，所以取得兩個(gè)紅球的概率為

。

（2）取得兩個(gè)綠球的概率為。

（3）由于“取得兩個(gè)紅球”與“取得兩個(gè)綠球”是互斥事件，取得兩個(gè)同色球，只需兩互斥事件有一個(gè)發(fā)生即可，因而取得兩同色球的概率為。

（4）由于事件C“至少取得一個(gè)紅球”與事件B“取得兩個(gè)綠球”是對立事件，因而至少取得一個(gè)紅球的概率為

[例4] 甲、乙兩個(gè)獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能譯出密碼的概率分別為和，求：

（1）兩個(gè)人都譯出密碼的概率；

（2）兩個(gè)人都譯不出密碼的概率；

（3）恰有一個(gè)譯出密碼的概率；

（4）至多一個(gè)人譯出密碼的概率；

（5）至少一個(gè)人譯出密碼的概率。

解：記“甲獨(dú)立地譯出密碼”為事件A，“乙獨(dú)立地譯出密碼”為事件B，A、B為相互獨(dú)立事件，且。

（1）兩個(gè)人都譯出密碼的概率為。

（2）兩個(gè)人都譯不出密碼的概率為

（3）恰有一個(gè)人譯出密碼可以分為兩類：甲譯出乙未譯出以及甲未譯出乙譯出，且兩個(gè)事件為互斥事件，所以恰有一個(gè)人譯出密碼的概率為

（4）“至多1個(gè)人譯出密碼”的對立事件為“有兩個(gè)人譯出密碼”，所以至多1個(gè)人譯出密碼的概率為。

（5）“至少有1個(gè)人譯出密碼”的對立事件為“兩個(gè)未譯出密碼”，所以至少有1個(gè)人譯出密碼的概率為

[例5] 某戰(zhàn)士射擊中靶的概率為0.99，若連續(xù)射擊兩次，求：

（1）兩次都中靶的概率；

（2）至少有一次中靶的概率。

解：記事件為“第一次射擊中靶”，事件為“第二次射擊中靶”。

（1）兩次都中靶的概率為

（2）方法一：（直接法）

事件“至少有一次中靶”為，其概率為

方法二：（間接法）

事件“至少有一次中靶”的對立事件為“兩次都未中靶”，，其概率為

∴ 至少有一次中靶的概率為

[例6] 加工某一零件共需經(jīng)過三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別是2%、3%、5%，假定各道工序是互不影響的，問加工出來的零件的次品率是什么？

解法一：設(shè)、、分別是第一、二、三道工序得到次品的事件，由題設(shè)可知，這些事件是相互獨(dú)立的，因?yàn)檫@些事件中任意一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)事件發(fā)生時(shí)，加工出來的零件即為次品。

設(shè)加工出來的零件為次品的事件為A，則

∴

即加工出來的零件為次品的概率為0.09693。

解法二：、、分別為第一、二、三道工序得到次品的事件，A為加工出來的零件為次品的事件，則，

又，

∴

∴

即加工出來的零件為次品的概率為0.09693。

[例7] 在某次1500米體能測試中，甲、乙、丙三人各自通過測試的概率分別為、、，求：

（1）3人都通過體能測試的概率；

（2）只有2人通過體能測試的概率；

（3）只有1人通過體能測試的概率。

解：設(shè)A表示事件“甲通過體能測試”，B表示事件“乙通過體能測試”，C表示事件“丙通過體能測試”。由題意有，，。

（1）設(shè)M₁表示“甲、乙、丙3人都通過體能測試”，即M₁=ABC。由事件A、B、C相互獨(dú)立，可得。

（2）設(shè)M₂表示事件“甲、乙、丙3人只有2人通過體能測試”，則。

由于事件A、B、，A、、C，、B、C均相互獨(dú)立，并且事件、、兩兩互斥，因此所求的概率為

。

（3）設(shè)表示事件“甲、乙、丙3人只有1人通過體能測試”，則

。

    由于A、、，、B、，、、C相互獨(dú)立，并且事件，，兩兩互斥，所以所求的概率為

。

[例8] 如下圖，設(shè)每個(gè)電子元件能正常工作的概率均為，問甲、乙哪一種正常工作的概率大？

解：記元件正常工作為事件

甲電路中：、串聯(lián)，路中能工作的概率為，不能正常工作的概率為。

同理，路中不能工作的概率為。

而路與路為并聯(lián)電路，不能工作的概率為路，路同時(shí)不能工作，故甲線路中不能工作的概率為，所以甲線路正常工作的概率為

對于乙電路：、為并聯(lián)電路，路不能工作的概率為，能正常工作的概率為

同理，路能正常工作的概率為

又路與路為串聯(lián)電路，能正常工作的概率為

∵

∴ 圖乙正常工作的概率大。

[例9] 在一次考試中出了六道是非題，正確的記“√”，不正確的記“×”，若某考生完全記上六個(gè)符號，試求：

（1）全部正確的概率；

（2）正確解答不少于4道的概率；

（3）至少正確解答一半的概率。

解：

（1）

（2）

（3）

【模擬試題】

一. 選擇：

1. 設(shè)有10個(gè)零件，其中6個(gè)是一等品，4個(gè)是二等品，從中任取3個(gè)，至少有一個(gè)是一等品的概率為（    ）

A.                   B.

C.                                                    D.

2. 奔騰市派出甲、乙兩支球隊(duì)參加全省足球冠軍賽，甲、乙兩隊(duì)奪取冠軍的概率分別是和，則該市足球隊(duì)奪得全省足球冠軍的概率為（    ）

    A.     B.     C.      D.

3. 從1，2，……9中任取兩數(shù)，其中① 恰有一個(gè)是偶數(shù)和恰有一個(gè)是奇數(shù)；② 至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)；③ 至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)是偶數(shù)；④ 至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)偶數(shù)。

在上述事件中，是對立事件的是（    ）

A. ①    B. ②④   C. ③    D. ①③

4. 若事件A與B相互獨(dú)立，則下列不相互獨(dú)立的事件為（    ）

    A. A與    B. 與    C. 與    D. B與A

5. 甲、乙兩人獨(dú)立地解同一問題，甲解決這個(gè)問題的概率是，乙解決這個(gè)問題的概率是，那么恰好有1人解決這個(gè)問題的概率是（    ）

A.                                 B.

C.                               D.

6. 設(shè)A、B互斥，且，有下面四個(gè)命題，其中正確命題的個(gè)數(shù)為（    ）

① A與B相互獨(dú)立                    ② A與B對立

③ A與B不一定相互獨(dú)立         ④

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

7. 某機(jī)械零件加工由2道工序組成，第1道工序的廢品率為，第2道工序的廢品率為，假定這2道工序出廢品是彼此無關(guān)的，那么產(chǎn)品的合格率是（    ）

A.                              B.

C.                                          D.

8. 在一次考試中，某班語文、數(shù)學(xué)、外語平均分在80分以上的概率分別為、、，則該班的三科平均分在80分以上的概率是（    ）

A.     B.     C.     D.

二. 解答：

1. 在放有5個(gè)紅球，4個(gè)黑球，3個(gè)白球的袋中，任意取出3個(gè)球，分別求出3個(gè)全是同色球的概率及三球顏色互不相同的概率。

2. 一個(gè)工人看管三臺(tái)車床，在1小時(shí)內(nèi)車床不需要工人照管的概率：第一臺(tái)等于0.9，第二臺(tái)等于0.8，第三臺(tái)等于0.7，求在1小時(shí)內(nèi)至少有一臺(tái)車床需要工人照管著的概率。

3. 一電路由電池A與兩個(gè)并聯(lián)的電池B及C串聯(lián)而成，如圖，設(shè)電池A、B、C損壞的概率分別為0.3、0.2、0.2，求電路發(fā)生間斷的概率。

4. 甲廠生產(chǎn)的脫粒機(jī)，每臺(tái)連續(xù)使用不少于10年的概率是，乙廠生產(chǎn)的柴油機(jī)，每臺(tái)連續(xù)使用不少于10年的概率是。將一臺(tái)脫粒機(jī)與一臺(tái)柴油機(jī)配套使用，求下列各事件的概率。

（1）A（脫粒機(jī)與柴油機(jī)的連續(xù)使用期都不少于10年）；

（2）B（只有脫粒機(jī)的連續(xù)使用期不少于10年）；

（3）C（至少有一臺(tái)機(jī)器的連續(xù)使用期不少于10年）。

【試題答案】

一.

1. D   2. D   3. C   4. C   5. B   6. B   7. A   8. D

二.

1. 解：從12個(gè)球中任取3個(gè)，共有種不同取法，故全是同色球的概率為

三球的顏色互不相同的概率為

∴ ，

2. 解：設(shè)第一、二、三臺(tái)車床在1小時(shí)內(nèi)不需要工人照管的事件分別為A、B、C；在1小時(shí)內(nèi)至少有一臺(tái)車床需要工人照管的事件為D，則

又由于三臺(tái)車床在1小時(shí)內(nèi)不需要工人照管的事件是相互獨(dú)立的，所以

3. 解：設(shè)電池A、B、C損壞的事件分別為，電路發(fā)生間斷的事件為D，則

又 ∵    

∴     

∴

∴

即電池發(fā)生間斷的概率為0.328。

4. 解：記事件“脫粒機(jī)連續(xù)使用期不少于10年”為，事件“柴油機(jī)連續(xù)使用期不少于10年”為。

（1）脫粒機(jī)與柴油機(jī)的連續(xù)使用期都不少于10年的概率為

（2）只有脫粒機(jī)的使用期不少于10年的概率為

（3）至少有一臺(tái)機(jī)器的連續(xù)使用期不少于10年的概率為

【勵(lì)志故事】

半杯理論

亨利福特被美國人稱為“汽車之父”。1913年他率先采用流水線組裝汽車，第一次實(shí)現(xiàn)了10秒鐘組裝一部汽車的神話。幾年后民用汽車的價(jià)格降低了一半，小轎車不再是富豪的專屬。福特的思想對全世界的制造業(yè)也產(chǎn)生了極大的影響。今天，大到一架飛機(jī)，小到一包糖果，都可以在流水線上生產(chǎn)。福特汽車公司初具規(guī)模后，有一次，福特在高層會(huì)議中建議改進(jìn)現(xiàn)有的裝配線，從而提高生產(chǎn)效率。這個(gè)提議遭到很多人反對：有人覺得改進(jìn)裝配線，既要投資購買機(jī)器，又得重新培訓(xùn)工人，風(fēng)險(xiǎn)太大了；另一部分人則認(rèn)為公司的生產(chǎn)能力已經(jīng)夠強(qiáng)，效益也很好，沒必要花力氣去提高效率。

聽完大家的意見，福特舉起桌上的玻璃杯問：“你們看到了什么？”有人擔(dān)憂地說：“半杯水被喝了，杯子空了一半。”“別擔(dān)心，”有人樂觀地說，“杯子里還有一半水，渴了還有半杯水可喝。”“和你們不同，我看到杯子容積是水的2倍。”福特說，“這里的水用個(gè)一半大小的杯子就能盛下。用一只大杯子做一只小杯子能做到的事，是對資源的浪費(fèi)，是低效率。現(xiàn)在生產(chǎn)線上的員工們就像這個(gè)大杯子，有一半的潛力沒發(fā)揮出來。我要做的是換個(gè)小杯子，然后我們就可以用大杯子來盛更多、更好的東西了！”